灰色关联分析

╰半橙微兮° 2023-09-28 14:44 32阅读 0赞

来源：数学建模清风 学习内容所整理

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### 文章目录 ###

*  评价类模型
 *  灰色关联分析
 *   *  应用一：系统分析
     *   *  01 画统计图（Excel画就行）
         *  02 确定分析数列
         *  03 对变量进行预处理
         *  04 计算子序列中各个指标与母序列的关联系数
         *  05 计算灰色关联度
         *  06 比较关联度得结论
         *  拓展
         *  matlab代码实现
     *  应用二：综合评价
     *   *  01 指标正向化
         *  02 预处理
         *  03 虚构母序列
         *  04 计算灰色关联度
         *  05 计算权重
         *  06 得分
         *  07 得分归一化
         *  matlab代码实现

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# 评价类模型 #

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评价类问题中主要分为确定评价指标，形成评价体系，就是对目标打分排序选最优解。

（例如：选择哪种方案最好、哪位运 动员或者员工表现的更优秀）。

> 解决评价类问题先从三个问题入手：
> 
> > **①评价的目标是什么？**
> > 
> > > 从题目要求中获取
> > 
> > **②为了达到目标有哪些可选方案？**
> > 
> > > 题目中所给可执行方案
> > 
> > **③评价的指标是什么？**
> > 
> > > 从背景材料、常识、及网上搜集的参考资料（文献）筛选合适指标

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# 灰色关联分析 #

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**灰色关联分析：** 根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接近，相应序列之间的关联度就越大，反之就越小。

*  灰色关联分析可用于：

**1. 系统分析**

> 如经济系统、生态系统等，探究影响系统的变量，因变量与自变量之间的关系，哪些变量影响最大，哪些变量影响最小。

**2. 综合评价**

*  **什么时候用灰色关联分析？**  
    尽量选择主流的回归分析、方差分析、主成分分析等经典的数理统计模型。样本个数n较大时，一般用标准化回归，当样本个数n较少时，才用灰色关联分析。美赛别用，老外不懂。
 *  不足之处：  
    ①需要大量数据，数据量少就难以找出统计规律  
    ②样本服从某个典型的概率分布，要求各因素数据与系统特征数据之间呈线性关系且各因素之间彼此无关  
    ③可能出现量化结果与定性分析结果不符的现象，导致系统的关系和规律遭到歪曲和颠倒

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## 应用一：系统分析 ##

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用例题说明：分析产业对GDP的影响程度  
![在这里插入图片描述][37f679d395b445f68946d650977d1ad5.png]

### 01 画统计图（Excel画就行） ###

![在这里插入图片描述][9030989f71484561af09a044895b7444.png]  
画图后配上简单的分析：  
①四个变量均呈上升的趋势  
②第二产业的增幅较为明显  
③第二产业和第三产业的差距在后三年相差更大

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### 02 确定分析数列 ###

*  **母序列（又称参考数列、母指标）：** 能反映系统行为特征的数据序列。
    
    \---->*类似于因变量Y，此处记为 x 0 x\_0 x0*
 *  **子序列（又称比较数列、子指标）：** 影响系统行为的因素组成的数据序列。
    
    \---->*类似于自变量X，此处记为（ x 1 x\_1 x1、 x 2 x\_2 x2、 x 3 x\_3 x3… x m x\_m xm）*

![在这里插入图片描述][c6c106b741bd4c6788173b355b836477.png]

### 03 对变量进行预处理 ###

两个目的：去量纲、缩小变量范围简化计算

*  **对母序列和子序列中的每个指标进行预处理**：先求出每个指标的均值，再用该指标中的每个元素除以其均值。  
    ![在这里插入图片描述][aaf76305adb8449c9066a1f0d4deb5e0.png]

### 04 计算子序列中各个指标与母序列的关联系数 ###

![在这里插入图片描述][d967e234dc9042aaa05e16778469a1b9.png]

—> *这里的Gamma 即**关联系数***

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### 05 计算灰色关联度 ###

*----> 定义灰色关联度，即灰色关联系数的均值*  
![在这里插入图片描述][c9d5aebc51224d37bde2482ec51288d1.png]

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### 06 比较关联度得结论 ###

*  通过比较三个子序列和母序列的关联度可以得到结论：

该地区在2002年至2005年间的国内生产总值GDP受到第三产业的影响最大（其灰色关联度最大）

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### 拓展 ###

*  如果母序列中有多个指标，应该怎么分析？

例如： Y 1 Y\_1 Y1 和  Y 2 Y\_2 Y2 是母序列， x 1 x\_1 x1， x 2 x\_2 x2， x 3 x\_3 x3，…， x m x\_m xm是子序列  
\----> 那么我们首先计算  Y 1 Y\_1 Y1 和  x 1 x\_1 x1， x 2 x\_2 x2， x 3 x\_3 x3，…， x m x\_m xm的灰色关联度进行分析；  
     再计算 Y 1 Y\_1 Y1 和  x 1 x\_1 x1， x 2 x\_2 x2， x 3 x\_3 x3，…， x m x\_m xm的灰色关联度进行分析。

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### matlab代码实现 ###

%% 灰色关联分析用于系统分析例题的讲解
    clear;clc
    load gdp.mat  % 导入数据 一个6*4的矩阵 % ---->这一步可以自由定义
    % 我们也可以自己在工作区新建变量，并把Excel的数据粘贴过来
    % 注意Matlab的当前文件夹一定要切换到有数据文件的这个文件夹内
    Mean = mean(gdp);  % 求出每一列的均值以供后续的数据预处理
    gdp = gdp ./ repmat(Mean,size(gdp,1),1);  %size(gdp,1)=6, repmat(Mean,6,1)可以将矩阵进行复制，复制为和gdp同等大小，然后使用点除（对应元素相除），这些在第一讲层次分析法都讲过
    disp('预处理后的矩阵为：'); disp(gdp)
    Y = gdp(:,1);  % 母序列
    X = gdp(:,2:end); % 子序列
    absX0_Xi = abs(X - repmat(Y,1,size(X,2)))  % 计算|X0-Xi|矩阵(在这里我们把X0定义为了Y)
    a = min(min(absX0_Xi))    % 计算两级最小差a
    b = max(max(absX0_Xi))  % 计算两级最大差b
    rho = 0.5; % 分辨系数取0.5
    gamma = (a+rho*b) ./ (absX0_Xi  + rho*b)  % 计算子序列中各个指标与母序列的关联系数
    disp('子序列中各个指标的灰色关联度分别为：')
    disp(mean(gamma))
    
    
    
    % % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
    % % 国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭

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## 应用二：综合评价 ##

**评价下表中20条河流水质情况**  
注：含氧量越高越好；PH值越接近7越好；细菌总数越少越好；植物性营养物质量介于10-20之间最佳，超过20或低于20均不好 (也可用Topsis结合熵权法解决)  
![在这里插入图片描述][fbc2bbf50b7749a5b09f9a78d06e5388.png]

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### 01 指标正向化 ###

*  对于极小型、中间型、区间型指标正向化处理统一为极大型指标。(具体可看Topsis模型中的第一步)

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### 02 预处理 ###

*  和灰色关联系统分析中的预处理一样

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### 03 虚构母序列 ###

*  将预处理后的矩阵每一行取出最大值构成母序列（虚构的）

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### 04 计算灰色关联度 ###

*  计算各个指标与母序列的灰色关联度

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### 05 计算权重 ###

w 1 = r 1 ( r 1 + r 2 + r 3 + . . . + r m ) w\_1=\{ r\_1\\over(r\_1+r\_2+r\_3+...+r\_m)\} w1=(r1\+r2\+r3\+...\+rm)r1  
 w 2 = r 2 ( r 1 + r 2 + r 3 + . . . + r m ) w\_2=\{ r\_2\\over(r\_1+r\_2+r\_3+...+r\_m)\} w2=(r1\+r2\+r3\+...\+rm)r2  
**. . . . . .**  
 w m = r m ( r 1 + r 2 + r 3 + . . . + r m ) w\_m=\{ r\_m\\over(r\_1+r\_2+r\_3+...+r\_m)\} wm=(r1\+r2\+r3\+...\+rm)rm

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### 06 得分 ###

第k个评价对象的得分：  
 S k = ∑ i = 1 m Z k i × w i （ k = 1 , 2 , 3 , . . . , n ） S\_k=\\sum\_\{i=1\}^m\{Z\_ki×w\_i\} （k=1,2,3,...,n） Sk=i=1∑mZki×wi（k=1,2,3,...,n）

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### 07 得分归一化 ###

对得分进行归一化：  
 S 1 ’ = S 1 ( S 1 + S 2 + S 3 + . . . + S n ) S\_1’=\{ S\_1\\over(S\_1+S\_2+S\_3+...+S\_ n)\} S1’=(S1\+S2\+S3\+...\+Sn)S1  
 S 2 ’ = S 2 ( S 1 + S 2 + S 3 + . . . + S n ) S\_2’=\{ S\_2\\over(S\_1+S\_2+S\_3+...+S\_ n)\} S2’=(S1\+S2\+S3\+...\+Sn)S2  
**. . . . . .**

S n ’ = S n ( S 1 + S 2 + S 3 + . . . + S n ) S\_n’=\{ S\_n\\over(S\_1+S\_2+S\_3+...+S\_ n)\} Sn’=(S1\+S2\+S3\+...\+Sn)Sn

### matlab代码实现 ###

*  自定义正向化函数

% function [输出变量] = 函数名称(输入变量）  
    % 函数的中间部分都是函数体
    % 函数的最后要用end结尾
    % 输出变量和输入变量可以有多个，用逗号隔开
    % function [a,b,c]=test(d,e,f)
    %     a=d+e;
    %     b=e+f;
    %     c=f+d;
    % end
    % 自定义的函数要单独放在一个m文件中，不可以直接放在主函数里面（和其他大多数语言不同）
    
    function [posit_x] = Positivization(x,type,i)
    % 输入变量有三个：
    % x：需要正向化处理的指标对应的原始列向量
    % type： 指标的类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型）
    % i: 正在处理的是原始矩阵中的哪一列
    % 输出变量posit_x表示：正向化后的列向量
        if type == 1  %极小型
            disp(['第' num2str(i) '列是极小型，正在正向化'] )
            posit_x = Min2Max(x);  %调用Min2Max函数来正向化
            disp(['第' num2str(i) '列极小型正向化处理完成'] )
            disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')
        elseif type == 2  %中间型
            disp(['第' num2str(i) '列是中间型'] )
            best = input('请输入最佳的那一个值： ');
            posit_x = Mid2Max(x,best);
            disp(['第' num2str(i) '列中间型正向化处理完成'] )
            disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')
        elseif type == 3  %区间型
            disp(['第' num2str(i) '列是区间型'] )
            a = input('请输入区间的下界： ');
            b = input('请输入区间的上界： '); 
            posit_x = Inter2Max(x,a,b);
            disp(['第' num2str(i) '列区间型正向化处理完成'] )
            disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')
        else
            disp('没有这种类型的指标，请检查Type向量中是否有除了1、2、3之外的其他值')
        end
    end

*  自定义**极小型**指标正向化函数

function [posit_x] = Min2Max(x)
        posit_x = max(x) - x;
         %posit_x = 1 ./ x;    %如果x全部都大于0，也可以这样正向化
    end

*  自定义**中间型**指标正向化函数

function [posit_x] = Mid2Max(x,best)
        M = max(abs(x-best));
        posit_x = 1 - abs(x-best) / M;
    end

*  自定义**区间型**指标正向化函数

function [posit_x] = Inter2Max(x,a,b)
        r_x = size(x,1);  % row of x 
        M = max([a-min(x),max(x)-b]);
        posit_x = zeros(r_x,1);   %zeros函数用法: zeros(3)  zeros(3,1)  ones(3)
        % 初始化posit_x全为0  初始化的目的是节省处理时间
        for i = 1: r_x
            if x(i) < a
               posit_x(i) = 1-(a-x(i))/M;
            elseif x(i) > b
               posit_x(i) = 1-(x(i)-b)/M;
            else
               posit_x(i) = 1;
            end
        end
    end

**以上自定义函数都必须单独存放于 .m文件 和 主函数 在同一目录文件夹下，等待被主函数调用**

*  **灰色关联分析主函数**

%% 灰色关联分析用于综合评价模型例题的讲解
    clear;clc
    load data_xxx.mat  %导入数据文件，这个自行定义命名
    % 也可以自己在工作区新建变量，并把Excel的数据粘贴过来
    % 注意Matlab的当前文件夹一定要切换到有数据文件的这个文件夹内
    
    %%  判断是否需要正向化
    [n,m] = size(X);
    disp(['共有' num2str(n) '个评价对象, ' num2str(m) '个评价指标']) 
    Judge = input(['这' num2str(m) '个指标是否需要经过正向化处理，需要请输入1 ，不需要输入0：  ']);   %1
    
    if Judge == 1
        Position = input('请输入需要正向化处理的指标所在的列，例如第2、3、6三列需要处理，那么你需要输入[2,3,6]： '); %[2,3,4]
        disp('请输入需要处理的这些列的指  标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型） ')
        Type = input('例如：第2列是极小型，第3列是区间型，第6列是中间型，就输入[1,3,2]：  '); %[2,1,3]
        % 注意，Position和Type是两个同维度的行向量
        for i = 1 : size(Position,2)  %这里需要对这些列分别处理，因此我们需要知道一共要处理的次数，即循环的次数
            X(:,Position(i)) = Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i));
        % Positivization是我们自己定义的函数，其作用是进行正向化，其一共接收三个参数
        % 第一个参数是要正向化处理的那一列向量 X(:,Position(i))   回顾上一讲的知识，X(:,n)表示取第n列的全部元素
        % 第二个参数是对应的这一列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型）
        % 第三个参数是告诉函数我们正在处理的是原始矩阵中的哪一列
        % 该函数有一个返回值，它返回正向化之后的指标，我们可以将其直接赋值给我们原始要处理的那一列向量
        end
        disp('正向化后的矩阵 X =  ')
        disp(X)
    end
    
    %% 对正向化后的矩阵进行预处理
    Mean = mean(X);  % 求出每一列的均值以供后续的数据预处理
    Z = X ./ repmat(Mean,size(X,1),1);  
    disp('预处理后的矩阵为：'); disp(Z)
    
    %% 构造母序列和子序列
    Y = max(Z,[],2);  % 母序列为虚拟的，用每一行的最大值构成的列向量表示母序列
    X = Z; % 子序列就是预处理后的数据矩阵
    
    %% 计算得分
    absX0_Xi = abs(X - repmat(Y,1,size(X,2)))  % 计算|X0-Xi|矩阵
    a = min(min(absX0_Xi))    % 计算两级最小差a
    b = max(max(absX0_Xi))  % 计算两级最大差b
    rho = 0.5; % 分辨系数取0.5
    gamma = (a+rho*b) ./ (absX0_Xi  + rho*b)  % 计算子序列中各个指标与母序列的关联系数
    weight = mean(gamma) / sum(mean(gamma));  % 利用子序列中各个指标的灰色关联度计算权重
    score = sum(X .* repmat(weight,size(X,1),1),2);   % 未归一化的得分
    stand_S = score / sum(score);   % 归一化后的得分
    [sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend') % 进行排序
    
    
    
    
    % % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
    % % 国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭

> **代码降重方法：**
> 
> 1.  增加注释（甚至可以每一行都加注释）
> 2.  替换变量名
> 3.  增加恶心字符（emmmm…不作说明）
> 4.  附录代码块变为图片

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> **例题中使用熵权法Topsis和灰色关联分析对比：**  
> ![在这里插入图片描述][a568bc5f629c48f8a2fd4e00fb0d7c9e.png]

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