【2022年高教杯数学建模】C题：古代玻璃制品的成分分析与鉴别方案及代码实现（二）

你的名字 2023-09-27 11:24 64阅读 0赞

**问题二：**

根据附件数据分析高钾玻璃、铅钡玻璃的分类规律；对于每个类别选择合适的化学成分对其进行亚类分析，给出具体的划分方法以及划分结果，并对分类结果的合理性和敏感性进行分析。

### 1.问题2的分析 ###

题目要求我们探究高钾玻璃和铅钡玻璃的分类规律，并对每个类别进行亚类划分，最后分析模型的合理性和敏感性。

第一步分析：针对高钾玻璃和铅钡玻璃不同化学成分的数值进行统计，找到其具有代表性的化学指标的变化情况作为分类的依据。并针对玻璃种类进行聚类分析，将系统聚类的结果与实际值进行比较，从而判断分类标准划分的合理性。

第二步分析：在此基础上进行亚类划分，观察化学成分在风化前后的变化情况，颜色变化，纹理变化等，并给出相应的分类依据。

### 2.问题二的建模与求解 ###

题目要求我们根据附件数据分析高钾玻璃以及铅钡玻璃的分类规律，并对于 每个类别选取合适的化学成分进行亚类分类，对分类结果的合理性和敏感性进行 分析。我们结合附件的表 1 和表 2 ，对高钾玻璃进行聚类，对铅钡玻璃进行聚类， 采用层次聚类算法，并可视化聚类效果，统计分析两种玻璃分别在这几种亚类别 在成分上的区别。

#### 2.1玻璃种类的系统聚类模型 ####

首先针对玻璃种类进行聚类分析，不划分具体的玻璃类型，仅根据是否风化 进行分析，将系统聚类的结果与实际值进行比较，从而判断分类标准划分的合理性。

系统聚类的合并算法通过计算两类数据点间的距离，对最为接近的两类数据 点进行组合，并反复迭代这一过程，直到所有的数据点合成一类，并生成聚类谱系图，如下图所示：

![在这里插入图片描述][5cbf017c9a2d401ab779f43d75ca8fad.png]  
算法总结如下表：

![在这里插入图片描述][c326243d8f32499cb793011c1e2967ab.png]  
![在这里插入图片描述][3f0f0655b7d34ff7b901158fb43801f4.png]  
我们利用 Python 求出聚类系数与 K 值的关系为：  
![在这里插入图片描述][a6a11baaf8064879958f8e821cba4c15.png]  
根据聚合系数折线图可知，当类别数为 4 时，折线的下降趋势趋于缓慢，故 可将类别数设定为 4。 从图中可以看出，K 值从 2 到 4，畸变程度变化最大，超过 4 以后，畸变程 度变化显著降。因此肘部就是 K = 4,故可将类别数设定为 4（当然， K =5 或者 6 也可以解释）。

根据以上计算步骤，带入到 Python 中进行求解，得出系统聚类中不同玻璃 类型树状图如下图所示：  
![在这里插入图片描述][a384bea305634ff9ae6b919ea040ef4a.png]  
![在这里插入图片描述][37aa0522dfde4664a267e5ff312bbb5c.png]  
根据上图所示的分类结果，结合每一类中文物编号，计算其所属的类别，并 与实际是否属于高钾玻璃与铅钡玻璃进行分析，计算分类正确与错误的个数，并 将错误数据标红处理，分类结果如下表所示：

![在这里插入图片描述][c5b604ced9c24958a0e3b06d42265033.png]  
![在这里插入图片描述][edd44df92c0f40038ae335ac346b3c5b.png]  
由上表可知，高钾玻璃中风化前后的分类正确率为 90%，铅钡玻璃风化前后 的分类正确率 74%，说明模型的合理性较好。

#### 2.2基于 PCA 降维后的玻璃种类亚类划分模型的建立 ####

![在这里插入图片描述][30e228b8eec84301861dae50f205200b.png]  
![在这里插入图片描述][24318007d0554e3c87aa76531adfff17.png]  
![在这里插入图片描述][a5255b48a1a94a80b5b2c2b753513008.png]  
![在这里插入图片描述][d550bff42598440f813909337233dad5.png]  
![在这里插入图片描述][6372b769d7c446a384428180251754ab.png]  
高钾数据经过 PCA 降维后的部分数据为：

![在这里插入图片描述][0bcb509861aa49ac8c571f4d42fe9472.png]  
我们接下来对高钾玻璃的数据进行 K-means 聚类分析。 K-means 算法是基于划分方法聚类的，原理是先初始化 k 个簇类中心，基于 计算样本与中心点的距离归纳各簇类下的所属样本，迭代实现样本与其归属的簇 类中心的距离为最小的目标（如下目标函数）：

![在这里插入图片描述][676873f0699b4086b4a473c876e70572.png]  
![在这里插入图片描述][c454fab18b82438c8e36fee80885954b.png]  
![在这里插入图片描述][3268a4980b0c4696baf06b6cebc2fe5e.png]  
我们利用 Python 求解后的分类为：  
![在这里插入图片描述][5c10191d600c4c4a84174602b9464ca3.png]  
分类结果为：  
![在这里插入图片描述][32468e8e58334b619590b7df81a26117.png]  
聚类中心为：  
![在这里插入图片描述][0fe2a9cd562345ac88cd92aa9f36dd95.png]  
![在这里插入图片描述][5e1b0ebb873e4855bb79d4d5f9991cfd.png]  
![在这里插入图片描述][1c838e4b8c1a4851a1c0c3268d39583e.png]  
与上面的步骤相同，我们对铅钡玻璃进行聚类分析，取 k=5，分类结果如下 图所示：  
![在这里插入图片描述][8d7eac8fbb154f788aaf9d52a4032b1b.png]

分类结果为：  
![在这里插入图片描述][accd0dfcbb5845a0a4f9b84e308286de.png]  
铅钡玻璃的聚类中心为：  
（下面仅展示部分数据）  
![在这里插入图片描述][d68d917a5a354ac59537322e0a4a1c94.png]

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