计算共形几何课程总结

ゝ一纸荒年。 2023-09-25 14:25 9阅读 0赞

每年暑期，笔者或者在清华大学丘成桐数学中心，或者在线上开设公开课程：计算共形几何。截至2022年，这一传统已经延续十余年，一直得到丘成桐先生的大力支持。在讲课过程中，笔者结交了很多数学界和工程界的朋友，共同探索取得了很多首创学术成果，一直推动发展着这个领域。例如，现代几何的核心概念是“黎曼度量”，目前唯一能够计算黎曼度量的算法就是Ricci流方法。在过去十年间，我们系统地发展了离散曲面Ricci流的理论和算法，在世界上首次证明了解的存在性和唯一性，得到了离散单值化定理；扎哈·哈迪德设计的大兴国际机场使得广大群众直观感受到了曲面叶状结构的概念。为了满足几何建模、建筑设计的需求，我们首次提出了基于全纯二次微分的叶状结构算法；近期以来，依随工业软件的发展，业界对于结构化网格生成的需求日益迫切。我们首次发现了结构化网格与黎曼面上的亚纯微分之间的本质联系，基于阿贝尔-雅克比定理提出了结构化网格理论，从而有望将依赖于人类灵性的手工经验性方法用科学严密的自动算法取代；再如，丘先生在1992年提出了100个微分几何开放问题，其中第19问题是有关如何通过高斯曲率重建曲面的Minkowski问题。我们首次基于几何变分方法给出了求解算法，这等价于球面最优传输问题，在几何领域和可解释AI领域得到深入的应用。

2022年的科技热点在于元宇宙、自动驾驶、工业软件、可解释人工智能等领域，共形几何的理论和算法有助于直接解决这些领域的一些基本问题。

**工业应用**

在现实生活中，所有物理实体的表面都是黎曼曲面，因此在工程、医疗所有涉及三维形状的领域，共形几何无所不在。这里我们仅仅简介共形几何方法在工业领域中的直接应用。

**图形渲染：**高效逼真的图形渲染强烈依赖于纹理贴图和法向贴图技术，而这些技术归结为曲面参数化方法（图 1.）。共形几何的单值化定理可以将具有复杂拓扑和几何的曲面映射到平面区域，并且这种映射局部保形，没有引入几何畸变。

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Fig 1. 曲面参数化、纹理贴图。

近期虚幻引擎5的Nanite虚拟几何技术将渲染效率提高了几个数量级，使得元宇宙中超大场景的实时渲染成为可能。而虚拟几何技术的核心是将不规则的三角网格转换成规则的几何图像（图 2.），而这种转换依赖于曲面全局参数化。迄今为止，计算共形几何是唯一的可行方法。

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Fig 2. 虚拟几何技术，几何图像。

**几何建模：**传统的机械几何建模是将简单的基本形状进行布尔运算得到复杂几何实体。比较现代的方法是直接扫描三维实体得到稠密点云（图 3.），然后用SLAM技术将点云融合，再用数字几何技术重建三维曲面（图 4.）。

Fig 3. 扫描得到的点云。

Fig 4. 曲面融合后的重建曲面。

Fig 5. 三角网格剖分。

初始重建的曲面往往具有大量的拓扑和几何噪音，需要用计算拓扑的方法去除拓扑噪音，用计算几何的方法去除几何噪音，再用共形几何方法进行三角剖分，得到高质量三角网格（图5.）。高质量的网格可以用于后端的CAE数值模拟仿真，也可以应用于CAM，直接三维打印出来 （图 6.）。

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Fig 6. 左侧，原始雕塑；右侧，3D打印的重新建模曲面。

传统几何建模领域中，最终曲面都被表示成高阶光滑的样条曲面，例如B-Spline，NURBS 和 T-样条曲面。通过共形几何的方法，我们可以将三角网格曲面转换成样条曲面（图7.）。

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Fig 7. 三角网格转换为样条曲面。

**几何约束求解：**在工程实践中，我们往往需要求解带有几何约束的问题。计算共形几何给出系统性的方法来解决这类问题。例如扎哈设计的大兴国际机场的建筑大量采用曲面的叶状结构概念（图8.），而曲面的叶状结构等价于黎曼面上的全纯二次微分，归结为在曲面上特定的上同调类中求非线性椭圆型偏微分方程。计算共形几何给出精确的算法（图 9.）, 可以计算复杂曲面上所有的叶状结构。

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Fig 8. 大兴国际机场建筑设计。

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Fig 9. 曲面上的叶状结构。

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