【DS】树和二叉树的理论知识梳理

男娘i 2023-09-25 12:16 48阅读 0赞

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#### 文章目录 ####

*  一. 树形结构
 *   *  1. 树的概念
     *  2. 关于树的一些术语
     *  3. 树的表示形式
     *  4. 树的应用
 *  二. 二叉树
 *   *  1. 概念
     *  2. 两种特殊的二叉树
     *  3. 二叉树的性质
     *  4. 二叉树的存储

## 一. 树形结构 ##

### 1. 树的概念 ###

树是一种**非线性**的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合; **把它叫做树是因为它看 起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的**。它具有以下的特点:

*  有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点 ;
 *  除根结点外，其余结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继 ;
 *  树是递归定义的 , 一棵树 (空树除外) 是由m棵子树构成的 (m >= 0) .

**注意**：**树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构** .

![img][]

### 2. 关于树的一些术语 ###

![img][img 1]

**结点的度**：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6

**树的度**：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6

**叶子结点或终端结点**：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶结点

**双亲结点或父结点**：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点

**孩子结点或子结点**：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点

**根结点**：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A

**结点的层次**：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推

**树的高度或深度**：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4

下面的几个概念相对上面来说就没那么重要了,知道一下就行

**非终端结点或分支结点**：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支结点

**兄弟结点**：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点

**堂兄弟结点**：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点

**结点的祖先**：从根到该结点所经分支上的所有结点被称作该结点的祖先结点；如上图：P的祖先节点为J, E, A; A是所有结点的祖先

**子孙**：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：A所有结点都是A的子孙

**有序树和无序树：** 若树中各结点的子树是按照一定的次序**从左向右**安排的，且相对次序是不能随意变换的，则称为有序树，否则称为无序树，不指明是否是有序树，则一般默认是有序树。

**森林**：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

### 3. 树的表示形式 ###

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：**双亲表示法， 孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法**等等。我们这里就简单的了解其中最常用的最常用的孩子表示法（二叉树用的最多），孩子兄弟表示法（非二叉树用的较多）。

*  孩子表示法:

一个结点中有一个数据域和一些指针域（数目不确定，二叉树是两个，三叉树是三个，以此类推），这些指针都指向孩子结点

*  孩子兄弟表示法

就是一个结点中有一个数据域和两个指针域，一个指针指向左边的孩子结点，另一个指针指向右边的兄弟结点

class TreeNode {
        
        public char val; //节点中存储的数据
        public TreeNode firstChild; //第一个孩子引用
        public TreeNode nextBrother; //下一个兄弟引用
        public TreeNode(char val) {
        
            this.val = val;
        }
    }

![img][img 2]

### 4. 树的应用 ###

文件系统管理（目录和文件）

![img][img 3]

## 二. 二叉树 ##

### 1. 概念 ###

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1.  或者为空
2.  或者是由**一个根节点**加上两棵别称为**左子树**和**右子树**的二叉树组成

![img][img 4]

从上图可以看出：

1.  二叉树不存在度大于2的结点
2.  二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

![img][img 5]

### 2. 两种特殊的二叉树 ###

1.  **满二叉树**: 一棵二叉树，如果**每层的结点数都达到最大值**，**则这棵二叉树就是满二叉树**。也就是说，**如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是2 ^ k - 1 ，则它就是满二叉树**。
2.  **完全二叉树**: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，**当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一 一对应时称之为完全二叉树**。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

![img][img 6]

![img][img 7]

### 3. 二叉树的性质 ###

1.  若规定**根结点的层数为1**，则一棵**非空二叉树的第i层上最多有2 ^ (i-1) (i>0)个结点**;
2.  若规定只有**根结点的二叉树的深度为1**，则**深度为K的二叉树的最大结点数是2 ^ k-1(k>=0)**
3.  对任何一棵二叉树, 如果其**叶结点个数为 n0**, **度为2的非叶结点个数为 n2**,**则有n0＝n2＋1**
4.  **总结点个数为奇数**, **度为1**的节点个数有**0**个; 总结点个数**为偶数**, **度为1**的节点个数有**1**个;
5.  **具有n个结点的完全二叉树的深度k为log(n+1)上取整**
6.  对于具有**n个结点的完全二叉树**，如果按照**从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号**，则对于**序号为i的结点有**：

*  若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，则无双亲结点; 若从1开始编号，则它的双亲结点的编号为( i / 2 );
 *  若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子; 若从1开始编号左孩子结点的编号为2 i;
 *  若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子; 若从1开始编号左孩子结点的编号为2 i +1;

**小试牛刀:**

![img][img 8]

### 4. 二叉树的存储 ###

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储;

**二叉树的顺序存储，指的是使用顺序表存储二叉树**; 需要注意的是，顺**序存储只适用于完全二叉树**; 完全二叉树的顺序存储，仅需**从根节点开始，按照层次依次将树中节点存储到数组**即可;

**二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式**，具体如下：

// 孩子表示法
    class Node {
        
        int val; // 数据域
        Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
        Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
    }
    // 孩子双亲表示法
    class Node {
        
        int val; // 数据域
        Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
        Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
        Node parent; // 当前节点的根节点
    }

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[Java]: https://blog.csdn.net/trong_/category_11997769.html
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[img 3]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/9ec9bd84c0d3cf705797b33d817cfbde.png
[img 4]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/30b1fef0a62cd1f9f178c9cbfa62fe91.png
[img 5]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/efa78fd1b5ae5b1c69cad8e7535988bb.png
[img 6]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/a3482eda410999bf01a88dbf8d3b20a5.png
[img 7]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/dffc654387253f0f1f12b8ada1645ac2.png
[img 8]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/10418df991d4afcc94d5324eabbfacc9.png