从三点共线到四点共面

本是古典何须时尚 2023-08-17 17:32 102阅读 0赞

## 前言 ##

> 请注意其中的类比思维的学习方式。

## 三点共线 ##

*  初中使用，距离表示形式：\$|AB|+|BC|=|AC|\$
 *  高中使用，斜率表示形式:\$k\_\{AB\}=k\_\{AC\}\$
 *  高中使用向量表示形式：\$\\overrightarrow\{OC\}=\\lambda\\overrightarrow\{OA\}+(1-\\lambda)\\overrightarrow\{OB\}\$ 或\$\\overrightarrow\{AB\}=k\\cdot \\overrightarrow\{AC\}\$

## 四点共面 ##

*  任意两点的连线平行或者相交，

比如线段\$AC\$和线段\$BD\$相交或者平行，则可知点\$A，B，C，D\$四点共面。

*  点共面的问题，可以转化为向量共面的问题，

要证明\$P、A、B、C\$四点共面，只要能证明\$\\overrightarrow\{PA\}=x\\overrightarrow\{PB\}+y\\overrightarrow\{PC\}\$，

或者对空间任意一点\$O\$，有\$\\overrightarrow\{OA\}=\\overrightarrow\{OP\}+x\\overrightarrow\{PB\}+y\\overrightarrow\{PC\}\$

或者\$\\overrightarrow\{OP\}=x\\overrightarrow\{OA\}+y\\overrightarrow\{OB\}+z\\overrightarrow\{OC\}\$，其中\$x+y+z=1\$。

例1如图所示，在空间四边形\$ABCD\$中，点\$E\$，\$H\$分别是边\$AB\$，\$AD\$的中点，点\$F\$，\$G\$分别是边\$BC\$，\$CD\$上的点，且\$\\cfrac\{CF\}\{CB\}=\\cfrac\{CG\}\{CD\}=\\cfrac\{2\}\{3\}\$，则下列说法正确的是【】

①\$EF\$与\$GH\$平行；②\$EF\$与\$GH\$异面；  
③\$EF\$与\$GH\$的交点\$M\$可能在直线\$AC\$上，也可能不在直线\$AC\$上；④\$EF\$与\$GH\$的交点\$M\$一定在直线\$AC\$上；

$A.①④$ $B.④$ $C.①③$ $D.②$

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分析：连接\$EH\$，\$FG\$，由题意可知，\$EH//BD\$，\$FG//BD\$，故\$EH//FG\$，且有\$EF\$和\$GH\$不平行，故四边形\$EFGH\$为梯形，所以\$E,F,G,H\$四点共面。故①②错误；

延长\$FE\$和\$GH\$必然交予一点，两线的交点一定在平面在\$ACD\$上，延长\$FE\$和\$CA\$必然交予一点，两线的交点一定在平面\$ACB\$上，

故两线的交点一定在平面\$ACD\$和平面\$ACB\$的交线\$AC\$上，故③错误；故选\$B\$；

另解：\[动态观点\]设想线段\$FG\$平行移动\[和\$BD\$平行\]，当\$FG\$缩减为点\$C\$时，说明④正确，当\$FG\$扩充为线段\$BD\$时，也说明④正确，故①②③错误，故选\$B\$.

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