因式分解法

太过爱你忘了你带给我的痛 2023-08-17 17:31 24阅读 0赞

## 前言 ##

> 因式分解的主要方法有：提取公因式法；公式法；拆添项法；十字相乘法；分组分解法；多项式除法；待定系数法；

## 常用方法 ##

>  *  提取公因式法；

引例，已知\$f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)^2\$．求\$f'(x)\$；

分析：\$f'(x)=1\\cdot e^x+(x-2)\\cdot e^x+2a(x-1)\$\$=e^x(x-1)+2a(x-1)\$\$=(x-1)(e^x+2a)\$，

引例，涉及提取公因式法的常用变形

$4^n=(2^2)^n=(2^n)^2;$

$2^n+2^n=2^\{n+1\};$

$2^\{n+1\}-2^n=2^n;$

$2^\{n\}-2^\{n-1\}=2^\{n-1\}$；

$2^\{n+1\}+2^n=3\\cdot 2^n$；

$2^\{-(n+1)\}\\cdot 2=2^\{-n\}$；

$2^n\\cdot 2^n=2^\{2n\}$；

$3^\{n-1\}-3^n=-2\\cdot 3^\{n-1\}$；

$2^\{n+1\}÷2^n=2;$

$\\frac\{1\}\{2^n\}+\\frac\{1\}\{2^\{n+1\}\}=\\frac\{3\}\{2^\{n+1\}\}$；

$3^\{n-1\}\\cdot 3^n=3^\{2n-1\}$；

$2^\{n+1\}\\cdot 2^n=2^\{2n+1\};$

>  *  拆添项法；

已知\$3t^3-7t^2+4=0\$，求\$t\$的值；

分析：先将方程拆项变形为\$3t^3-3t^2-4t^2+4=0\$，然后分组分解得到，\$3t^2(t-1)-4(t-1)(t+1)\$ \$=(t-1)(3t^2-4t-4)\$ \$=(t-1)(t-2)(3t+2)=0\$，

>  *  公式法；

\$a^3\\pm b^3=(a\\pm b)(a^2\\mp ab+b^2)\$；\$a^2\\pm 2ab+b^2=(a\\pm b)^2\$；

>  *  十字相乘法，使用最为广泛。实际高三数学教学和考试中的解不等式常常是这样的，熟练掌握对你的数学学习会有帮助的。

①\$x^2-5\\sqrt\{2\}x+8\\ge 0\$，即\$(x-\\sqrt\{2\})(x-4\\sqrt\{2\})\\ge 0\$；

②\$x^2-(2m+1)x+m^2+m-2\\leq 0\$，即\$\[x-(m+2)\]\[x-(m-1)\]\\leq 0\$；

③\$x^2-3mx+(m-1)(2m+1)\\ge 0\$；即\$\[x-(m-1)\]\[x-(2m+1)\]\\ge 0\$；

④\$x^2-(a+a^2)x+a^3\\leq 0\$，即\$(x-a)(x-a^2)\\leq 0\$；

⑤\$x^2-(a+1)x+a\\leq 0\$，即\$(x-1)(x-a)\\leq 0\$；

⑥\$x^2-(2a+1)x+a(a+1)\\leq 0\$；即\$(x-1)\[x-(a+1)\]\\leq 0\$；

⑦\$\\cfrac\{x-2a\}\{x-(a^2+1)\}<0(a\\neq 1)\$；即\$(x-2a)\[x-(a^2+1)\]<0\$，解集为\$(2a，a^2+1)\$；

⑧\$x^2+(m+4)x+m+3<0\$，即\$(x+1)\[x+(m+3)\]<0\$；

⑨\$x^2-(a+\\cfrac\{1\}\{a\})x+1<0\$，即\$(x-a)(x-\\cfrac\{1\}\{a\})<0\$；

⑩\$f'(x)=x+(a-e)-\\cfrac\{ae\}\{x\}=\\cfrac\{x^2+(a-e)x-ae\}\{x\}=\\cfrac\{(x+a)(x-e)\}\{x\}\$；

⑾\$x^2-2ax+a^2-4=x^2-2ax+(a+2)(a-2)=\[x-(a-2)\]\[x-(a+2)\]\\leq0\$，即\$a-2\\leq x\\leq a+2\$ ；

>  *  分组分解法，也能使用于高次式的分解，难点是不容易发现分组的思路。

比如\$3x^3-7x^2+4=0\$，可以分解为\$3x^3-3x^3-4x^3+4=3x^2(x-1)-4(x^2-1)=(x-1)(3x^2-4x-4)=(x-1)(x-2)(3x+2)\$；

那么，上式的分解中怎么会想到将\$-7x^2\$分解为\$-3x^2-4x^2\$的呢？

>  *  试商法，原理：若\$f(x)=0\$，则\$f(x)\$中至少含有一个因子\$x\$，即\$f(x)=x\\cdot g(x)\$或\$f(x)=x\\cdot a\$\$a\$为常数。

对于上式\$3x^3-7x^2+4=0\$，先尝试令\$x=0\$，不满足方程，说明三次三项式\$3x^3-7x^2+4\$中不能分解出因式\$x\$；

再尝试令\$x=1\$，发现方程成立，说明三次三项式\$3x^3-7x^2+4\$中应该能分解出因式\$x-1\$，这样另外一个因式的最高次必然会降低为\$2\$次；

如果还不行再尝试\$x=-1\$，依次类推，\$x=0\$，\$x=\\pm 1\$，\$x=\\pm 2\$，等等如此；

那么用试商法得到其中一个因式后，如何得到剩余的因式呢，这可以用多项式除法来解释说明。

>  *  多项式除法，多用于三次式或高次式的分解

引例解方程，\$x\_0^3-3x\_0^2+4=0\$；

分析：先用试商法，令\$x\_0=0\$，如果上述方程成立，说明方程能分解出因子\$x\_0\$，本题目中显然不成立；

再令\$x\_0=1\$,上述方程不成立，说明方程不能分解出因子\$x\_0-1\$；再令\$x\_0=-1\$,上述方程成立，

说明方程能分解出因子\$x\_0+1\$；这样\$x\_0^3-3x\_0^2+4=(x\_0+1)(x\_0^2+bx\_0+c)(b，c是常数，待定)\$，这样做的目的是为了降次；

以下用多项式除法探求另一个因式，多项式除法如下图所示；

![992978-20170529202237336-979149007.png][]

看完这个除法，你可能会有这样的想法：其一，多项式的除法和数字的除法本质做法是一样的；其二，这个做法还是比较麻烦；

能不能改进一下呢，回答是肯定的。

>  *  组合使用法

我们可以用试商法先确定一个因式，从而能确定分组分解的方向，即试商法和分组分解法组合使用。 接上例说明，由于我们知道必定有一个因式为\$(x\_0+1)\$，故和\$x\_0^3\$分组的只能是\$1\$，从而想到将\$4\$拆分为\$1+3\$，然后将\$-3x\_0^2\$和\$3\$分组，如下所示：

如\$x\_0^3-3x\_0^2+4=(x\_0^3+1)-3x\_0^2+3=(x\_0^3+1)-3(x\_0^2-1)\$ \$=(x\_0+1)(x\_0^2-x\_0+1)-3(x\_0+1)(x\_0-1)\$ \$=(x\_0+1)(x\_0^2-x\_0+1-3x\_0+3)=(x\_0+1)(x\_0-2)^2\$；

## 典例剖析 ##

例1【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】【难点题目，综合程度高，对学生的运算能力要求很高】

已知正项等比数列\$\\\{a\_n\\\}\$的前\$n\$项和为\$S\_n\$，若\$7S\_6=3S\_9\$，\$a\_4=2\$，则数列\$\\\{a\_\{3n-2\}+log\_2a\_n\\\}\$的前\$10\$项的和\$T\_\{10\}\$=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。

分析：先由条件容易判定，$q\\neq 1 $，由\$7S\_6=3S\_9\$，得到\$7\\times \\cfrac\{a\_1(1-q^6)\}\{1-q\}=3\\times \\cfrac\{a\_1(1-q^9)\}\{1-q\}\$

转化得到\$3q^9-7q^6+4=0\$，令\$q^3=t\$，变形为\$3t^3-7t^2+4=0\$，

即\$3t^3-3t^2-4t^2+4=0\$，即\$3t^2(t-1)-4(t-1)(t+1)=\$\$(t-1)(3t^2-4t-4)\$\$=(t-1)(t-2)(3t+2)=0\$，

解得\$t=1\$(舍去)，\$t=-\\cfrac\{2\}\{3\}\$(舍去)，\$t=2\$；

即\$t=q^3=2\$，则\$a\_n=a\_4\\cdot q^\{n-4\}=2q^\{n-4\}\$，

则\$a\_\{3n-2\}=2\\cdot q^\{3n-6\}=2\\cdot (q^3)^\{n-2\}=2\\cdot 2^\{n-2\}=2^\{n-1\}\$；

\$log\_2a\_n=log\_22\\cdot q^\{n-4\}=1+(n-4)log\_2q=1+(n-4)\\cdot \\cfrac\{1\}\{3\}log\_2q^3\$

\$=1+(n-4)\\cdot \\cfrac\{1\}\{3\}log\_22=1+\\cfrac\{n-4\}\{3\}\$；

则\$T\_\{10\}=(2^0+2^1+\\cdots+2^9)+\[(1+\\cfrac\{-3\}\{3\})+(1+\\cfrac\{-2\}\{3\})+\\cdots+(1+\\cfrac\{6\}\{3\})\$

\$=\\cfrac\{1(2^\{10\}-1)\}\{2-1\}+10+\\cfrac\{1\}\{3\}\\times\\cfrac\{(-3+6)10\}\{2\}=1023+15=1038\$;

解后反思：巧妙利用指数幂的运算性质，可以大大简化本题目的运算过程，降低运算难度。

*  上次编辑时间：2019-07-20