【理解】参数估计，最大似然，最大后验，贝叶斯估计

本是古典何须时尚 2023-08-17 16:04 84阅读 0赞

### 文章目录 ###

*  参数估计
 *   *  1、最大似然估计（MLE）
     *   *  推导
         *   *  伯努利分布（Bernoulli）
             *  正态分布（Gaussian）
         *  例子
         *  计算步骤
     *  2、最大后验估计(MAP)
     *   *  推导
         *   *  正态分布
         *  例子
     *  3、贝叶斯估计
     *   *  例子
         *  计算步骤
     *  总结
     *  知识点
     *  参考

# 参数估计 #

先给出以下定义：

先验分布： P ( θ ) P(\\theta) P(θ)

似然函数： P ( D ∣ θ ) P(D | \\theta) P(D∣θ)

后验分布： P ( θ ∣ D ) P(\\theta | D) P(θ∣D)

贝叶斯公式： P ( θ ∣ D ) = P ( D ∣ θ ) P ( θ ) P ( D ) P(\\theta | D)=\\frac\{P(D | \\theta) P(\\theta)\}\{P(D)\} P(θ∣D)=P(D)P(D∣θ)P(θ) 其中  P ( D ) = ∑ i = 1 n P ( x i ∣ θ ) P ( θ ) P(D)=\\sum\_\{i=1\}^\{n\} P(x\_i|\\theta)P(\\theta) P(D)=∑i=1nP(xi∣θ)P(θ)

这样我们很容易得到他们四者的关系：后验分布 = 似然函数 × 先验分布 / P(D)

接着再用一个例子来帮助理解

> 路人甲在一个不透明的袋里放了若干个黑色和白色的球，他感觉是白色球更多；路人乙想知道袋中球的情况，就从袋中有放回式取球，一共取了10次，有7次是白球，3次是黑球。

通过这个例子，白球或黑球的比例就是  θ \\theta θ （ 0 ≤ θ ≤ 1 0 \\leq \\theta \\leq 1 0≤θ≤1） ，路人甲的感觉就是先验分布  P ( θ ) P(\\theta) P(θ) ，路人乙观测到的就是  D = \{ x 1 , x 2 . . . x 10 \} D=\\\{x\_1, x\_2... x\_\{10\}\\\} D=\{ x1,x2...x10\} （其中 x i x\_i xi = 1(白色) or 0(黑色)），路人乙通过观测想知道比例就是似然  P ( D ∣ θ ) P(D | \\theta) P(D∣θ) ，路人乙在知道路人甲的感觉后想知道比例就是后验分布  P ( θ ∣ D ) P(\\theta | D) P(θ∣D)

当知道观测值  x x x 时，估计参数  θ \\theta θ 就是参数估计；当知道参数  θ \\theta θ 时，预测观测值  x x x 就是预测；**参数估计的目的时为了对新的观测值进行预测**。

有了初步的理解认识后，我们开始介绍正题

## 1、最大似然估计（MLE） ##

Maximum Likelihood Estimation

最大似然估计的思想是：认为参数是一个固定的值，找到使得发生观测数据情况概率最大的参数，即让似然函数最大的参数。

似然函数表示如下：  
 L ( θ ∣ x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ∣ θ ) = ∏ i = 1 n f ( x i ∣ θ ) L\\left(\\theta | x\_\{1\}, x\_\{2\}, \\cdots, x\_\{n\}\\right)=f\\left(x\_\{1\}, x\_\{2\}, \\cdots, x\_\{n\} | \\theta\\right)=\\prod\_\{i=1\}^\{n\} f\\left(x\_\{i\} | \\theta\\right) L(θ∣x1,x2,⋯,xn)=f(x1,x2,⋯,xn∣θ)=i=1∏nf(xi∣θ)  
因为连乘不好求解，通常会进行一个对数变换，转换为累加：  
 l ( θ ) = ln ⁡ L ( θ ∣ x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = ∑ i = 1 n f ( x i ∣ θ ) l(\\theta) = \\ln L\\left(\\theta | x\_\{1\}, x\_\{2\}, \\cdots, x\_\{n\}\\right)=\\sum\_\{i=1\}^\{n\} f\\left(x\_\{i\} | \\theta\\right) l(θ)=lnL(θ∣x1,x2,⋯,xn)=i=1∑nf(xi∣θ)

### 推导 ###

#### 伯努利分布（Bernoulli） ####

每一个样本的概率可以表示为： P ( x ∣ θ ) = θ x ( 1 − θ ) 1 − x P(x|\\theta)=\\theta^\{x\}(1-\\theta)^\{1-x\} P(x∣θ)=θx(1−θ)1−x ， x = 0 o r 1 x=0 or 1 x=0or1 ， θ \\theta θ 是成功的概率

我们现在有n个样本， D = \{ x 1 , x 2 , . . . , x n \} D = \\\{ x\_1, x\_2,...,x\_n \\\} D=\{ x1,x2,...,xn\} ，

写出对数最大似然函数表达式：  
 l ( θ ) = ∑ i = 1 n log ⁡ P ( x i ∣ θ ) = ∑ i = 1 n log ⁡ θ x i ( 1 − θ ) 1 − x i = ∑ i = 1 n x i log ⁡ θ + ( 1 − x i ) log ⁡ ( 1 − θ ) = ( ∑ i = 1 n x i ) log ⁡ θ + ( ∑ i = 1 n ( 1 − x i ) ) log ⁡ ( 1 − θ ) = m log ⁡ θ + ( n − m ) log ⁡ ( 1 − θ ) \\begin\{aligned\}l(\\theta)&=\\sum\_\{i=1\}^\{n\}\\log\{P(x\_i|\\theta)\} \\\\ &= \\sum\_\{i=1\}^\{n\}\\log\{\\theta^\{x\_i\}(1-\\theta)^\{1-x\_i\}\} \\\\ &= \\sum\_\{i=1\}^\{n\}x\_i \\log\{\\theta\}+(1-x\_i)\\log(1-\\theta) \\\\ &= (\\sum\_\{i=1\}^\{n\}x\_i)\\log\{\\theta\}+(\\sum\_\{i=1\}^\{n\}(1-x\_i))\\log\{(1-\\theta)\} \\\\ &= m\\log\{\\theta\} + (n-m)\\log(1-\\theta)\\end\{aligned\} l(θ)=i=1∑nlogP(xi∣θ)=i=1∑nlogθxi(1−θ)1−xi=i=1∑nxilogθ\+(1−xi)log(1−θ)=(i=1∑nxi)logθ\+(i=1∑n(1−xi))log(1−θ)=mlogθ\+(n−m)log(1−θ)  
对  l ( θ ) l(\\theta) l(θ) 进行求导，解得当  θ = 1 n ∑ i = 1 n x i \\theta = \\frac\{1\}\{n\}\\sum\_\{i=1\}^\{n\}x\_i θ=n1∑i=1nxi ，似然函数  l ( θ ) l(\\theta) l(θ) 取最大值

#### 正态分布（Gaussian） ####

每一个样本的概率可以表示为：  P ( x ∣ θ ) = 1 2 π σ exp ⁡ ( − ( x − θ ) 2 2 σ 2 ) P(x|\\theta )=\\frac\{1\}\{\\sqrt\{2 \\pi\} \\sigma\}\\exp(-\\frac\{(x-\\theta)^\{2\}\}\{2 \\sigma^\{2\}\}) P(x∣θ)=2πσ1exp(−2σ2(x−θ)2)

所以对数最大似然函数表达式：  
 l ( θ ) = ∑ i = 1 n log ⁡ P ( x i ∣ θ ) = ∑ i = 1 n \[ − 1 2 l o g 2 π − l o g σ − ( x i − θ ) 2 2 σ 2 \] = − n 2 l o g 2 π − n l o g σ − ∑ i = 1 n ( x i − θ ) 2 2 σ 2 \\begin\{aligned\}l(\\theta)&=\\sum\_\{i=1\}^\{n\}\\log\{P(x\_i|\\theta)\} \\\\ &= \\sum\_\{i=1\}^\{n\} \[-\\frac\{1\}\{2\}log\{2\\pi\}-log\{\\sigma\}-\\frac\{(x\_i-\\theta)^2\}\{2\\sigma^2\}\] \\\\ &= -\\frac\{n\}\{2\}log\{2\\pi\}-nlog\{\\sigma\}-\\frac\{\\sum\_\{i=1\}^\{n\}(x\_i-\\theta)^2\}\{2\\sigma^2\}\\end\{aligned\} l(θ)=i=1∑nlogP(xi∣θ)=i=1∑n\[−21log2π−logσ−2σ2(xi−θ)2\]=−2nlog2π−nlogσ−2σ2∑i=1n(xi−θ)2  
对  l ( θ ) l(\\theta) l(θ) 进行求导，解得当  θ = 1 n ∑ i = 1 n x i \\theta = \\frac\{1\}\{n\}\\sum\_\{i=1\}^\{n\}x\_i θ=n1∑i=1nxi ，似然函数  l ( θ ) l(\\theta) l(θ) 取最大值

### 例子 ###

> 问：我们还是用开头的例子，路人甲在一个不透明的袋里放了若干个黑色和白色的球；路人乙想知道袋中球的情况，就从袋中有放回式取球，一共取了10次，有7次是白球，3次是黑球。问白球的比例是多少？

### 计算步骤 ###

1.  选择参数模型（伯努利、高斯…），设参数为  θ \\theta θ
2.  获得样本数据  D = \{ x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n \} D = \\\{ x\_1, x\_2, x\_3,...,x\_\{n\} \\\} D=\{ x1,x2,x3,...,xn\}
3.  通过最大似然公式求解

## 2、最大后验估计(MAP) ##

Maximum A Posteriori Estimation

在最大似然估计的例子中，如果样本数量不够多，其实存在着很大的问题

MLE简单又客观，但是过分的客观有时会导致过拟合(Over fitting)。在样本点很少的情况下，MLE的效果并不好

> 一个最简单的例子就是，一个伯努利模型，我们知道通过最大似然估计得到的先验值为  1 N ∑ i = 1 N x i \\frac\{1\}\{N\}\\sum\_\{i=1\}^\{N\}\{x\_i\} N1∑i=1Nxi ，那如果实验过程中，全部出现1或者0，那么估计出的参数显然是不对的

最大似然估计认为使似然函数  P ( D ∣ θ ) P(D|θ) P(D∣θ) 最大的参数  θ θ θ 即为最好的  θ θ θ ；最大后验估计认为使  P ( X ∣ θ ) P ( θ ) P(X|θ)P(θ) P(X∣θ)P(θ) 最大的参数  θ θ θ 即为最好的  θ θ θ ；最大似然估计可以看作是一种特殊的最大后验估计，将  θ \\theta θ 看作是固定的，  P ( θ ) = 1 P(\\theta)=1 P(θ)=1 。

最大后验概率估计的公式表示：（P(D)是一个常数，与  θ \\theta θ 无关）  
 argmax ⁡ θ P ( θ ∣ D ) = argmax ⁡ θ P ( D ∣ θ ) P ( θ ) P ( D ) ∝ argmax ⁡ θ P ( D ∣ θ ) P ( θ ) \\underset\{\\theta\}\{\\operatorname\{argmax\}\} P(\\theta|D)=\\underset\{\\theta\}\{\\operatorname\{argmax\}\} \\frac\{P(D|\\theta) P(\\theta)\}\{P(D)\} \\propto \\underset\{\\theta\}\{\\operatorname\{argmax\}\} P(D|\\theta) P(\\theta) θargmaxP(θ∣D)=θargmaxP(D)P(D∣θ)P(θ)∝θargmaxP(D∣θ)P(θ)

### 推导 ###

要求解MAP，还需要知道参数的先验分布，

#### 正态分布 ####

我们假设高斯分布方差已知，现在要估计均值，将均值记为  θ \\theta θ

每一个样本的概率可以表示为  P ( x ∣ θ ) = 1 2 π σ exp ⁡ ( − ( x − θ ) 2 2 σ 2 ) P(x|\\theta )=\\frac\{1\}\{\\sqrt\{2 \\pi\} \\sigma\}\\exp(-\\frac\{(x-\\theta)^\{2\}\}\{2 \\sigma^\{2\}\}) P(x∣θ)=2πσ1exp(−2σ2(x−θ)2)

我们假设  θ \\theta θ 服从高斯分布， θ ∼ N ( μ 0 , σ 0 2 ) \\theta \\sim N(\\mu\_0,\\sigma^2\_0) θ∼N(μ0,σ02) 则： P ( θ ) = 1 2 π σ 0 e x p ( − ( θ − μ 0 ) 2 2 σ 0 2 ) P(\\theta) = \\frac\{1\}\{\\sqrt\{2 \\pi\} \\sigma\_0\} exp(\{-\\frac\{(\\theta-\\mu\_0)^\{2\}\}\{2 \\sigma^\{2\}\_0\}\}) P(θ)=2πσ01exp(−2σ02(θ−μ0)2)  
 argmax ⁡ θ P ( D ∣ θ ) P ( θ ) = argmax ⁡ θ l o g P ( D ∣ θ ) + l o g P ( θ ) = argmax ⁡ θ \[ − n 2 l o g 2 π − n l o g σ − ∑ i = 1 n ( x i − θ ) 2 2 σ 2 \] − 1 2 l o g 2 π − l o g σ 0 − ( θ − μ 0 ) 2 2 σ 0 2 \\begin\{aligned\}\\underset\{\\theta\}\{\\operatorname\{argmax\}\} P(D|\\theta) P(\\theta) &=\\underset\{\\theta\}\{\\operatorname\{argmax\}\} log\{P(D|\\theta)\}+logP(\\theta) \\\\&=\\underset\{\\theta\}\{\\operatorname\{argmax\}\} \[-\\frac\{n\}\{2\}log\{2\\pi\}-nlog\{\\sigma\}-\\frac\{\\sum\_\{i=1\}^\{n\}(x\_i-\\theta)^2\}\{2\\sigma^2\}\]-\\frac\{1\}\{2\}log\{2\\pi\}-log\{\\sigma\_0\}-\\frac\{(\\theta-\\mu\_0)^2\}\{2\\sigma\_0^2\} \\end\{aligned\} θargmaxP(D∣θ)P(θ)=θargmaxlogP(D∣θ)\+logP(θ)=θargmax\[−2nlog2π−nlogσ−2σ2∑i=1n(xi−θ)2\]−21log2π−logσ0−2σ02(θ−μ0)2  
求解上式得到  θ = σ 0 2 ∑ i = 1 n x i − σ 2 μ 0 σ 0 2 n − σ 2 \\theta = \\frac\{\\sigma\_0^2 \\sum\_\{i=1\}^\{n\} x\_\{i\} - \\sigma^2\\mu\_0\}\{\\sigma\_0^2 n -\\sigma^2\} θ=σ02n−σ2σ02∑i=1nxi−σ2μ0

### 例子 ###

> 问：我们还是用开头的例子，路人甲在一个不透明的袋里放了若干个黑色和白色的球，他感觉白色球更多；路人乙想知道袋中球的情况，就从袋中有放回式取球，一共取了10次，有7次是白球，3次是黑球。问白球的比例是多少？

**当样本个数无穷多的时候，MAP上会逼近MLE，因为样本足够多了，就不需要先验了，或者比起先验更相信样本**。

## 3、贝叶斯估计 ##

最大似然估计和最大后验估计都是估计了参数的具体值，但更令人信服的其实是参数的分布，知道参数在取每个值时的概率。

与最大后验估计一样，需要用到贝叶斯定理：  
 P ( θ ∣ D ) = P ( D ∣ θ ) P ( θ ) ∫ Θ P ( D ∣ θ ) P ( θ ) d θ P(\\theta | D)=\\frac\{P(D | \\theta) P(\\theta)\}\{\\int\_\{\\Theta\} P(D | \\theta) P(\\theta) d \\theta\} P(θ∣D)=∫ΘP(D∣θ)P(θ)dθP(D∣θ)P(θ)  
同样的我们需要知道先验分布  P ( θ ) P(\\theta) P(θ) ，但此时不再求  argmax ⁡ θ P ( θ ∣ D ) \\underset\{\\theta\}\{\\operatorname\{argmax\}\}P(\\theta|D) θargmaxP(θ∣D) ，而要求出  P ( θ ∣ D ) P(\\theta|D) P(θ∣D) 。这里如果先验分布十分复杂，上式会很难求解（因为要分母积分），所以一般会选择共轭先验。

最大后验估计和贝叶斯估计也存在一个问题，实际应用场景中的先验概率不是那么好求，很多都是拍脑袋决定的。一旦是拍脑袋决定的，自然也就不准了，先验概率不准，那么计算出的后验概率也就相应的不准了。

贝叶斯估计用来预测新测量数据的概率，对于新出现的数据  x x x :  
 P ( x ∣ D ) = ∫ Θ P ( x ∣ θ ) P ( θ ∣ D ) d θ = ∫ Θ P ( x ∣ θ ) P ( D ∣ θ ) P ( θ ) P ( D ) d θ P(\{x\} | D)=\\int\_\{\\Theta\} P(\{x\} | \\theta) P(\\theta | D) d \\theta=\\int\_\{\\Theta\} P(\{x\} | \\theta) \\frac\{P(D | \\theta) P(\\theta)\}\{P(D)\} d \\theta P(x∣D)=∫ΘP(x∣θ)P(θ∣D)dθ=∫ΘP(x∣θ)P(D)P(D∣θ)P(θ)dθ

### 例子 ###

> 答：在这个例子中，每一次实验都是服从伯努利分布，我们设白球的概率为  θ \\theta θ ，所以每一次实验可以表示为：  P ( x i ∣ θ ) = θ x i ( 1 − θ ) 1 − x i P(x\_i|\\theta)=\\theta^\{x\_i\}(1-\\theta)^\{1-x\_i\} P(xi∣θ)=θxi(1−θ)1−xi 。样本为  D = \{ x 1 , x 2 , . . . , x 10 \} D = \\\{ x\_1, x\_2,...,x\_\{10\} \\\} D=\{ x1,x2,...,x10\} 。我们还知道路人甲的感觉是白色球更多，我们需要给出一个  θ \\theta θ 的分布，假设  θ ∼ Beta ⁡ ( α , β ) \\theta \\sim \\operatorname\{Beta\}(\\alpha, \\beta) θ∼Beta(α,β)  
>  f ( θ ; α , β ) = θ α − 1 ( 1 − θ ) β − 1 ∫ 0 1 u α − 1 ( 1 − u ) β − 1 d u = 1 B ( α , β ) θ α − 1 ( 1 − θ ) β − 1 f(\\theta ; \\alpha, \\beta)= \\frac\{\\theta^\{\\alpha-1\}(1-\\theta)^\{\\beta-1\}\}\{\\int\_\{0\}^\{1\} u^\{\\alpha-1\}(1-u)^\{\\beta-1\} d u\} = \\frac\{1\}\{B(\\alpha, \\beta)\} \\theta^\{\\alpha-1\}(1-\\theta)^\{\\beta-1\} f(θ;α,β)=∫01uα−1(1−u)β−1duθα−1(1−θ)β−1=B(α,β)1θα−1(1−θ)β−1  
> 写出后验概率函数：  
>  P ( θ ∣ D ) = P ( D ∣ θ ) P ( θ ) ∫ Θ P ( D ∣ θ ) P ( θ ) d θ = θ 7 ( 1 − θ ) 3 θ α − 1 ( 1 − θ ) β − 1 B ( α , β ) ∫ Θ θ 7 ( 1 − θ ) 3 θ α − 1 ( 1 − θ ) β − 1 B ( α , β ) d θ = θ α + 7 − 1 ( 1 − θ ) β + 3 − 1 ∫ Θ θ α + 7 − 1 ( 1 − θ ) β + 3 − 1 d θ = θ α + 6 ( 1 − θ ) β + 2 B ( α + 6 , β + 2 ) = Beta ⁡ ( θ ∣ α + 6 , β + 2 ) \\begin\{aligned\} P(\\theta | D) &=\\frac\{P(D | \\theta) P(\\theta)\}\{\\int\_\{\\Theta\} P(D | \\theta) P(\\theta) d \\theta\} \\\\ &=\\frac\{\\theta^\{7\}(1-\\theta)^\{3\} \\frac\{\\theta^\{\\alpha-1\}(1-\\theta)^\{\\beta-1\}\}\{B(\\alpha, \\beta)\}\}\{\\int\_\{\\Theta\} \\theta^\{7\}(1-\\theta)^\{3\} \\frac\{\\theta^\{\\alpha-1\}(1-\\theta)^\{\\beta-1\}\}\{B(\\alpha, \\beta)\}d \\theta\} \\\\ &=\\frac\{\\theta^\{\\alpha+7-1\}(1-\\theta)^\{\\beta+3-1\}\}\{\\int\_\{\\Theta\} \\theta^\{\\alpha+7-1\}(1-\\theta)^\{\\beta+3-1\} d \\theta\} \\\\ &=\\frac\{\\theta^\{\\alpha+6\}(1-\\theta)^\{\\beta+2\}\}\{B(\\alpha+6, \\beta+2)\} \\\\ &=\\operatorname\{Beta\}(\\theta | \\alpha+6, \\beta+2) \\end\{aligned\} P(θ∣D)=∫ΘP(D∣θ)P(θ)dθP(D∣θ)P(θ)=∫Θθ7(1−θ)3B(α,β)θα−1(1−θ)β−1dθθ7(1−θ)3B(α,β)θα−1(1−θ)β−1=∫Θθα\+7−1(1−θ)β\+3−1dθθα\+7−1(1−θ)β\+3−1=B(α\+6,β\+2)θα\+6(1−θ)β\+2=Beta(θ∣α\+6,β\+2)  
> 所以我们得到了参数的后验分布情况，得到  θ ∼ Beta ⁡ ( α + 6 , β + 2 ) \\theta \\sim \\operatorname\{Beta\}(\\alpha+6, \\beta+2) θ∼Beta(α\+6,β\+2)

### 计算步骤 ###

1、计算后验概率  P ( θ ∣ D ) P(\\theta|D) P(θ∣D)

根据贝叶斯定理：  
 P ( θ ∣ D ) = P ( D ∣ θ ) P ( θ ) ∫ Θ P ( D ∣ θ ) P ( θ ) d θ P(\\theta | D)=\\frac\{P(D | \\theta) P(\\theta)\}\{\\int\_\{\\Theta\} P(D | \\theta) P(\\theta) d \\theta\} P(θ∣D)=∫ΘP(D∣θ)P(θ)dθP(D∣θ)P(θ)  
2、计算新样本的估计  
 P ( x ∣ D ) = ∫ Θ P ( x ∣ θ ) P ( θ ∣ D ) d θ P(x|D) = \\int\_\{\\Theta\} P(x | \\theta) P(\\theta | D) d \\theta P(x∣D)=∫ΘP(x∣θ)P(θ∣D)dθ

## 总结 ##

MLE、MAP是选择相对最好的一个模型， 贝叶斯方法则是通过观测数据来估计后验分布，并通过后验分布做群体决策，所以后者的目标并不是在去选择某一个最好的模型，而是去评估每一个模型的好坏。

## 知识点 ##

*  概率是已知参数，对结果可能性的预测。似然是已知结果，对参数是某个值的可能性预测
 *  二项分布参数的共轭先验是Beta分布，多项式分布参数的共轭先验是Dirichlet分布，指数分布参数的共轭先验是Gamma分布，⾼斯分布均值的共轭先验是另⼀个⾼斯分布，泊松分布的共轭先验是Gamma分布。
 *  共轭先验：指后验分布与先验分布具有相同的数学形式，因为这样可以简化计算

## 参考 ##

[叶斯估计、最大似然估计、最大后验估计三者的区别][Link 1]

[贝叶斯估计、最大似然估计、最大后验概率估计][Link 2]

[Link 1]: https://yuanxiaosc.github.io/2018/06/20/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E4%BC%B0%E8%AE%A1%E3%80%81%E6%9C%80%E5%A4%A7%E4%BC%BC%E7%84%B6%E4%BC%B0%E8%AE%A1%E3%80%81%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%90%8E%E9%AA%8C%E4%BC%B0%E8%AE%A1%E4%B8%89%E8%80%85%E7%9A%84%E5%8C%BA%E5%88%AB/
[Link 2]: http://noahsnail.com/2018/05/17/2018-05-17-%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E4%BC%B0%E8%AE%A1%E3%80%81%E6%9C%80%E5%A4%A7%E4%BC%BC%E7%84%B6%E4%BC%B0%E8%AE%A1%E3%80%81%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%90%8E%E9%AA%8C%E6%A6%82%E7%8E%87%E4%BC%B0%E8%AE%A1/