概率相关实际问题汇总及解析

一时失言乱红尘 2023-08-17 15:29 126阅读 0赞

**目录**

1、圆上任意三点组成锐角三角形的概率？

2.  三个鸭子在圆形内游泳，落在同一个半圆内的概率？

3、 四个鸭子在圆形内游泳，落在同一个半圆的概率？

4、 n个骰子扔一下，点数加起来等于m的概率？

5、扔硬币，正面次数大于反面的概率？

6、抛硬币，抛多少次第一次出现连续两次正面，期望？

7、一副扑克牌54张，给3个人发牌，把大小王发到了同一个人的概率？

8、最大值的概率分布函数？

9、有n个人，m个坏人。每次检查一个人无论是不是坏人都会导致这个人死亡。那么查到第一个坏人的死掉好人的期望是多少？

10、某大公司有这么一个规定：只要有一个员工过生日，当天所有员工全部放假一天。但在其余时候，所有员工都没有假期，必须正常上班。这个公司需要雇用多少员工，才能让公司一年内所有员工的总工作时间期望值最大？

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# **1****、圆上任意三点组成锐角三角形的概率？** #

首先，圆上前两点A,B，与圆心的连线必然构成了一个夹角α，此夹角α是一个\[0,180\]度数之间的均匀分布。

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如果想要构成锐角三角形，第三个点C必须落在α的对角β所对应的弧上。

α与β一样，均为\[0,180\]度数之间的均匀分布，所以概率是0.25

**重积分的视角考虑问题**

![20190930184933104.png][]

α角在0-π之间均匀分布，β在0-2π之间均匀分布，但是必须落到0-α之间才能实现构成锐角三角形。

# **2. ** **三个鸭子在圆形内游泳，落在同一个半圆内的概率？** #

两个鸭子A，B，到圆心的夹角是0-180度均匀分布，另一个必须落到180-均匀分布的概率之外，也就是下图红色部分外，才不是同一个半圆。因此答案为0.75

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**重积分的视角考虑问题**

![2019093018493345.png][]

α角在0-π之间均匀分布，β在0-2π之间均匀分布，但是必须落到α的对角之外，即\[0,2π-α\]之间才能实现构成锐角三角形。

# **3、 四个鸭子在圆形内游泳，落在同一个半圆的概率？** #

N只鸭子的概率是 N×(2^N)，4只鸭子概率是0.5

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略难，重积分相对容易理解一些（暂时看不太懂，需要花时间研究下）。

![20190930184933278.png][]

![2019093018493346.png][]

# **4、 n****个骰子扔一下，点数加起来等于m的概率？** #

n=m或者m=6n的时候，1/6^n

其他情况的时候分情况讨论。

第一问，掷三个骰子，掷出来的三个值之和为10的概率。可以列举出所有情况算出。

第二问，掷四个骰子，掷出来的四值之和概率最大的是哪一个。14。

# **5、扔硬币，正面次数大于反面的概率？** #

**奇数次，**则只有两种情况，大于或者小于，结果是0.5

**偶数次，**投了n次，共有2^n种情况，则为：

0.5\*(总情况数-正反相等情况数)/总情况数

![20190930184933277.png][]

# 6、抛硬币，抛多少次第一次出现连续两次正面，期望？ #

概率是四分之一，期望就是4次？ 抛需要两次，就是6次？

# 7、一副扑克牌54张，给3个人发牌，把大小王发到了同一个人的概率？ #

三分之一。必然发给其中一个人大王，则小王发给三个人的概率均等。所以发给这个人小王的概率是1/3

# 8、最大值的概率分布函数？ #

[https://www.jianshu.com/p/0cfc3204af77][https_www.jianshu.com_p_0cfc3204af77]

注意概念，概率密度函数与概率分布函数。

概率密度函数与概率分布函数的区别。

*  max(x)=F(x)^n
 *  min(x)=1-(1-F(x))^n

注意F(x)是概率分布函数，不是概率密度函数

# 9、有n个人，m个坏人。每次检查一个人无论是不是坏人都会导致这个人死亡。那么查到第一个坏人的死掉好人的期望是多少？ #

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把E(n,m)定义为，总数n个人，m个坏人，抽到第一个坏人之前死掉的好人的人数。

动态规划，如果抽中是坏人，则概率是m/n，死掉的好人数是0. 如果抽中好人，则概率是(n-m)/n, 期望就是死掉的好人数是 E(n-1,m)+1

# 10、某大公司有这么一个规定：只要有一个员工过生日，当天所有员工全部放假一天。但在其余时候，所有员工都没有假期，必须正常上班。这个公司需要雇用多少员工，才能让公司一年内所有员工的总工作时间期望值最大？ #

假设一年恒定365天，每个员工的生日都概率均等地分布在这365天里。

对E求导，得到n约等于365。

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