整数划分学习小记 Poj 1283 Moving Computer + Poj 1664 放苹果

矫情吗；* 2023-08-17 15:23 58阅读 0赞

以下第一部分的内容整理自：

[整数划分算法原理与实现 - 银河使者 - 博客园][- _ -]

**整数划分问题的最基本形式**

将一个正整数n拆成一组数连加并等于n的形式，且这组数中的最大加数不大于n。

如6的整数划分为  
  
6  
5 + 1  
4 + 2, 4 + 1 + 1  
3 + 3, 3 + 2 + 1, 3 + 1 + 1 + 1  
2 + 2 + 2, 2 + 2 + 1 + 1, 2 + 1 + 1 + 1 + 1  
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1  
  
共11种。下面介绍一种通过递归方法得到一个正整数的划分数。  
  
递归函数的声明 int split(int n, int m);其中n为要划分的正整数，m是划分中的最大加数(当m > n时，最大加数为n)  
1 当n = 1或m = 1时，split的值为1，可根据上例看出，只有一个划分1 或 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1  
可用程序表示为if(n == 1 || m == 1) return 1;  
  
2 下面看一看m 和 n的关系。它们有三种关系  
(1) m > n  
在整数划分中实际上最大加数不能大于n，因此在这种情况可以等价为split(n, n);  
可用程序表示为if(m > n) return split(n, n);  
(2) m = n  
这种情况可用递归表示为split(n, m - 1) + 1，从以上例子中可以看出，就是最大加  
数为6和小于6的划分之和  
用程序表示为if(m == n) return (split(n, m - 1) + 1);  
(3) m < n  
这是最一般的情况，在划分的大多数时都是这种情况。  
从上例可以看出，设m = 4，那split(6, 4)的值是最大加数小于4划分数和整数2的划分数的和。  
因此，split(n, m)可表示为split(n, m - 1) + split(n - m, m)  
  
根据以上描述，可得源程序如下：

#include <cstdio>
    
    int split(int n, int m)
    {
    	if (n<1 || m<1) return 0;
    	if (n==1 || m==1) return 1;
    	if (n < m) return split(n, n);
    	if (n == m) return (split(n, m - 1) + 1);
    	if (n > m) return (split(n, m - 1) + split((n - m), m));
    }
    
    int main ()
    {
    	printf("12的划分数: %d", split(12, 12));
    	return 0;
    }

**将正整数划分成连续的正整数之和**  
如15可以划分成4种连续整数相加的形式：  
15  
7 8  
4 5 6  
1 2 3 4 5  
  
首先考虑一般的形式，设n为被划分的正整数，x为划分后最小的整数。

如果n有一种划分，那么结果就是x,如果有两种划分，就是x和x x + 1， 如果有m种划分，就是 x 、x x + 1 、 x x + 1 x + 2 、... 、x x + 1 x + 2 ... x + m - 1

将每一个结果相加得到一个公式(i \* x + i \* (i - 1) / 2) = n，i为当前划分后相加的正整数个数。

满足条件的划分就是使x为正整数的所有情况。

如上例：

当i = 1时，即划分成一个正整数时，x = 15，

当i = 2时，x = 7。

当i = 3时，x = 4。

当i = 4时，4/9，不是正整数，因此，15不可能划分成4个正整数相加。  
当i = 5时，x = 1。  
  
这里还有一个问题，这个i的最大值是多少？不过有一点可以肯定，它一定比n小。我们可以做一个假设，假设n可以拆成最小值为1的划分，如上例中的1 2 3 4 5。这是n的最大数目的划分。如果不满足这个假设，那么 i 一定比这个划分中的正整数个数小。因此可以得到这样一个公式i \* (i + 1) / 2 <= n，即当i满足这个公式时n才可能被划分。

综合上述，源程序如下

int split1 (int n)
    {
    	int m = 0, x, t1, t2;
    	// 在这里i + 1之所以变为i - 1，是因为i * (i - 1) / 2这个式子在下面多次用到，
    	// 为了避免重复计算，因此将这个值计算完后保存在t1中。并且将<= 号变为了<号。
    	for (int i=1; (t1 = i * (i - 1) / 2) < n; i++) 
    	{
    		t2 = (n - t1);
    		x =  t2 / i;
    		if (x <= 0) break;
    		if ((n - t1) % i == 0)
    		{
    			printf("%d ", x);
    			for (int j=1;j<i;j++)
    				printf("%d ",x+j);
    			printf("\n");
    			m++;
    		}
    	}
    	return m;
    }

以下原理部分转自：[整数划分问题 - Gotta Write A Code - C++博客][- Gotta Write A Code - C]

以6的整数划分为例，探讨dp解法。

首先假设正整数n拆分成k个数(不允许有0)，用f(n,k)表示正整数n拆分成k个数的可行拆分种类的数目。

那么f(n,n)表示n拆分成n个数(即只有n个1)，显然f(n,n) = 1

然后，可以按照这k份中是否有一份的数为1分成两类：

1) 这k份中没有1份含1的：那么可以在n中拿出k个"1"出来，分到k份中，再将剩下n-k分到k份中，于是这时有f(n,k) = f(n-k,k)

2) 这k份中至少有一份含有1：首先在n中拿1个"1"出来，再将剩下n-1分到k-1份中，于是这时有：f(n,k) = f(n-1,k-1)

综合起来就是：

f(n,n) = 1

f(n,k) = f(n-k,k) + f(n-1,k-1)

**Poj 1283 Moving Computer**

分析见http://www.cnblogs.com/wuyiqi/archive/2011/12/19/2293367.html

#include <cstdio>
    #include <cstring>
    
    __int64 dp[210][210];//dp[i][j]表示i辆卡车装j台电脑的方法数。
    //状态转移方程dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i][j-i]
    void Init ()
    {
    	int i;
    	for (i=1;i<=200;i++)
    		dp[i][i]=dp[1][i]=dp[i][0]=dp[0][i]=1;
        for (i=2;i<=200;i++)
    		for (int j=i+1;j<=200;j++)
    			dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i][j-i];
    }
    
    int main ()
    {
    	int n,k;
    	Init();
    	while (scanf("%d%d",&n,&k),n||k)
    		printf("%I64d\n",dp[k][n]);
    	return 0;
    }

**Poj 1664 放苹果**

题意：允许为0的整数划分。

思路：我们先给每个盘子放上一个"1"，那么当这个盘子为1时，表示为空，于是答案便是dp\[k\]\[n+k\]

本题的另一种思路参见：http://blog.csdn.net/jackyzhengx1990/article/details/6049218

#include <cstdio>
    #include <cstring>
    
    int dp[30][30];
    void Init ()
    {
    	int i;
    	for (i=1;i<=25;i++)
    		dp[i][i]=dp[1][i]=dp[i][0]=dp[0][i]=1;
        for (i=2;i<=25;i++)
    		for (int j=i+1;j<=25;j++)
    			dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i][j-i];
    }
    
    int main ()
    {
    	int n,k,T;
    	Init();
    	scanf("%d",&T);
    	while (T--)
    	{
    		scanf("%d%d",&n,&k);
    		printf("%d\n",dp[k][n+k]);
    	}
    	return 0;
    }

[- _ -]: http://www.cnblogs.com/nokiaguy/archive/2008/05/11/1192308.html
[- Gotta Write A Code - C]: http://www.cppblog.com/bennycen/archive/2011/03/28/142877.html