计算时间复杂度

╰+哭是因爲堅強的太久メ 2023-07-22 06:57 17阅读 0赞

步骤：  
1、找到执行次数最多的语句

2、语句执行语句的数量级

3、用O表示结果

计算时间复杂度的3个出发点，掌握这三个出发点，那么一向搞不懂的时间复杂度就可以迎刃而解啦。

然后：

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项

3、如果最高阶项存在且不是1，那么我们就去除于这个项相乘的常数。比如3n^2我们取n^2

最后就可以得到你们想要的结果了。

举几个例子：

我们来看一下这个例子，用的是java，内容就是打印8条语句，问这个程序的时间复杂度是多少？

public class TS \{  
    public static void main(String\[\] args) \{  
        System.out.println("111");  
        System.out.println("111");  
        System.out.println("111");  
        System.out.println("111");  
        System.out.println("111");  
        System.out.println("111");  
        System.out.println("111");  
        System.out.println("111");  
    \}  
\}

O（8）？ 当然不是！！！按照时间复杂度的概念“T（n）是关于问题规模为n的函数”，这里跟问题规模有关系吗？没有关系，用我们的第一个方法，时间复杂度为O（1）。

第二个例子：（线性阶）

public class TS \{  
    public static void main(String\[\] args) \{  
        int sum = 0;  
        for(int i=1;i<=100;i++) \{  
            sum = sum + i;  
        \}  
    \}  
\}  
时间复杂度为O（n）。

第三个例子：（平方阶）

public class TS \{  
    public static void main(String\[\] args) \{  
        int sum = 0;  
        for(int i=1;i<=100;i++) \{  
            for(int j=1;j<=100;j++)  
                sum = sum + i;  
        \}  
    \}  
\}  
 外层i的循环执行一次，内层j的循环就要执行100次，所以外层执行100次，那么总的就需要执行100\*100次，那么n次呢？就是n的平方次了。所以时间复杂度为：O（n^2）。

平方阶的另外一个例子：

public class TS \{  
    public static void main(String\[\] args) \{  
        int sum = 0;  
        for(int i=1;i<=100;i++) \{  
            for(int j=i;j<=100;j++)  
                sum = sum + i;  
        \}  
    \}  
\}  
当i=1的时候执行n次，当n=2的时候执行（n-1）次，......

一直这样子下去就可以构造出一个等差数列：n+（n-1）+（n-2）+......+2+1

根据等差数列的求和公式：或者

求和易得：n+n\*(n-1)/2整理一下就是n\*(n+1)/2然后我们将其展开可以得到n^2/2+n/2。

根据我们的步骤走，保留最高次项，去掉相乘的常数就可以得到时间复杂度为：O（n^2）

第四个例子：（对数阶）

public class TS \{  
    public static void main(String\[\] args) \{  
        int i=1;  
        int n= 100;  
        while(i<n) \{  
            i = i\*2;  
        \}      
\}  
2^x = n,所以时间复杂度为O(log2n)。

补充常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是：  
O(1 )< O(logn) < O(n) < O(n\*logn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)

最坏情况与平均情况：  
平均运行时间是期望的运行时间。

最坏的运行时间是一种保证。我们提到的运行时间都是最坏的运行时间。

可以通过空间来换取时间。