图的单源最短路径（Dijkstra算法）

忘是亡心i 2023-07-22 03:46 16阅读 0赞

## 单源最短路径问题 ##

如果从图中某一顶点（源点）到达另一顶点（终点）的路径可能不止一条，如何找到一条路径使得沿此路径各边上的权值总和达到最小。

## Dijkstra算法由来 ##

迪杰斯特拉算法(Dijkstra)是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959 年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有权图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是从起始点开始，采用贪心算法的策略，每次遍历到始点距离最近且未访问过的顶点的邻接节点，直到扩展到终点为止。

## 算法的具体思想 ##

#### 辅助数组 ####

①采用一个path\[\]数组来存储路径：path\[a\] = b 表示最短路径中顶点a的上一顶点为b；  
②采用一个info\[\]数组来存储各个顶点到源点的最短距离，同时此数组也有着标记的作用，即info\[x\]=0时，表示x顶点已经在路径中。

#### 具体流程 ####

①初始化辅助数组，确定源点(orign)

②使用图中的结构来对辅助数组中的最短距离进行更新：  
Ⅰ、对于能到达的点：info\[x\] = map\[orign\]\[x\]；并且将这些点的前置点设为源点：path\[x\]=orign  
Ⅱ、对于不能到达的点：info\[x\] = ∞

③定位info数组中权值最小（除0，0表示已加入）的点(min)，取出最小权值minInfo，将该点加入路径，设置info\[min\]=0，并根据min顶点，对辅助数组中未加入的顶点进行更新：  
若minInfo+map\[min\]\[x\] < info\[x\]，则使得info\[x\] = minInfo+map\[min\]\[x\]，并将路径中x顶点的前置顶点设置为min顶点  
Ps：此步可将minInfo对应的权值大小进行存储，即源点到该点的最短路径长度。

④重复操作步骤③，直至所有顶点最短路径都得出，即数组info\[\]所有值都为零

#### 输出路径 ####

在path\[\]数组中存储着路径的具体信息：最短路径中当前顶点的前置路径  
可使用栈的特性将其中数据取出来：

path[] = dijkstra(sMap, 1);
    int end = 5;
    //借助栈的特性
    int stack[] = new int[sMap.num];
    int top = 0;
    end--;	//从零开始
    while(end != -1) {
       	stack[top++] = end;
       	end = path[end];
    }
    System.out.print(stack[--top]+1);
    while(top > 0) {
       	//位置比索引大一
       	System.out.print("---->"+(stack[--top]+1));
    }

## 代码实现 ##

/**
      * 得出最小路径表
      * @param map 用二维数组存储的图结构
      * @return 路径数组
      */
     public static int[] dijkstra(SimpleMap sMap,int first) {
      	//路径数组
      	int[] path = new int[sMap.num];
      	//标记与权值数组(权值为0，表示已加入路径)
      	int[] markAndInfo = new int[sMap.num];
      	//辅助数组初始化
      	for(int i=0; i<sMap.num; i++) {
       		path[i] = -1;
       		markAndInfo[i]= CreateAMap.MAX;
     	}
      	//定位初始位置(从零开始）
      	first = first-1;
      	for(int j=0; j<sMap.num; j++) {
       		if(j != first) {
        			path[j] = first;
       		}
       		markAndInfo[j]= sMap.map[first][j];
      	}
      	//已经加入到路径的顶点
      	int judge = 1;
      	while(judge < sMap.num) {
       		//从权值数组中找出最小的的值
       		int index = 0;
       		int min = CreateAMap.MAX;
       		for(int i=0; i<sMap.num; i++) {
        			//需判断当前点是否已经在路径中
        			if(markAndInfo[i] != 0 && markAndInfo[i] < min) {
         				index = i;
         				min = markAndInfo[i];
        			}
    	   	}	
       		//更新权值数组以及路径数组
       		markAndInfo[index] = 0;
       		for (int i = 0; i < sMap.num; i++) {    
        				if(markAndInfo[i] !=0 && min+sMap.map[index][i] < markAndInfo[i]) {
         					markAndInfo[i] =  min+sMap.map[index][i];
         					path[i] = index;
        				}
       		}
       		judge++;
      	}
      	return path;
     }

测试图及其结果：  
![在这里插入图片描述][20200404135116894.png]  
源点为1，终点为5：  
![在这里插入图片描述][20200404135203504.png]

[20200404135116894.png]: /images/20230528/3b8962ccbdf745599ded1177a6e3fb37.png
[20200404135203504.png]: /images/20230528/0ed335fe22dc484b9999d4cbe555148b.png