克鲁斯卡尔算法(Kruskal)

墨蓝 2023-07-13 10:40 17阅读 0赞

应用场景-公交站问题

1.  某城市新增7个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个站点连通
2.  各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12公里
3.  问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?  
    如图：  
    ![在这里插入图片描述][20200311153019525.png]

### 克鲁斯卡尔算法 ###

*  **基本介绍**

1.  克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的**最小生成树**的算法。
2.  基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路
3.  具体做法：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中**不产生回路**，直至森林变成一棵树为止

最小生成树：

> 在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2Z5ajEzOTI1NDc1OTU3_size_16_color_FFFFFF_t_70]

例如，对于如上图G4所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树  
![在这里插入图片描述][20200311153349837.png]

*  **克鲁斯卡尔算法图解**  
    以上图G4为例，来对克鲁斯卡尔进行演示(假设，用数组R保存最小生成树结果)
    
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2Z5ajEzOTI1NDc1OTU3_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
    边按小到大加入
    
    > 第1步：将边<E,F>加入R中。  
    > 边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。  
    > 第2步：将边<C,D>加入R中。  
    > 上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。  
    > 第3步：将边<D,E>加入R中。  
    > 上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。  
    > 第4步：将边<B,F>加入R中。  
    > 上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。  
    > 第5步：将边<E,G>加入R中。  
    > 上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。  
    > 第6步：将边<A,B>加入R中。  
    > 上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。  
    > 此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。
 *  **克鲁斯卡尔算法分析**  
    根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：

1.  问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。
2.  问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。
    
    问题一很好解决，采用排序**算法进行排序**即可。  
    问题二，处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。

*  **如何判断是否构成回路-举例说明(如图)**  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2Z5ajEzOTI1NDc1OTU3_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]  
    在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点：  
    (01) C的终点是F。  
    (02) D的终点是F。  
    (03) E的终点是F。  
    (04) F的终点是F。

关于终点的说明：

> 1.  就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。
> 2.  因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的终点都是F，即它们的终点相同，因此，将<C,E>加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。也就是说，我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路

*  **代码示例**  
    边（Edge）类（实现了Comparable接口，可排序）

// 边
    public class Edge implements Comparable<Edge>{ 
        // 边的开始顶点
        char start;
        // 边的另一个顶点
        char end;
        // 边的权
        int weight;
    
        public Edge(char start, char end, int weight) { 
            this.start = start;
            this.end = end;
            this.weight = weight;
        }
    
        @Override
        public String toString() { 
            return "Edge{" +
                    "start=" + start +
                    ", end=" + end +
                    ", weight=" + weight +
                    '}';
        }
    
        @Override
        public int compareTo(Edge o) { 
            return this.weight - o.weight;
        }
    }

图类

// 图
    public class Graph { 
        // 图的顶点
        private char[] vertex;
        // 图的边，邻接矩阵表示
        private int[][] weight;
    
        public Graph(char[] vertex, int[][] weight) { 
            this.vertex = vertex;
            this.weight = weight;
        }
    
        /** * 获取对应顶点c的在数组的下标 * @param c 顶点的值 * @return 返回顶点的下标，找不到返回-1 */
        public int getPosition(char c) { 
            if (vertex == null || vertex.length == 0) { 
                return -1;
            }
           for (int i = 0; i < vertex.length; i++) { 
                if (vertex[i] == c) { 
                    return i;
                }
           }
           // 找到不到返回-1
            return -1;
        }
    
        public char[] getVertex() { 
            return vertex;
        }
    
        public void setVertex(char[] vertex) { 
            this.vertex = vertex;
        }
    
        public int[][] getWeight() { 
            return weight;
        }
    
        public void setWeight(int[][] weight) { 
            this.weight = weight;
        }
    }

Kruskal类，核心类

public class Kruskal { 
        private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;
    
        /** * 获取图所有的边，按照从大到小排序 * @param graph * @return */
        private List<Edge> getEdgesByAsc(Graph graph) { 
            if (graph == null) { 
                return null;
            }
    
            // 用来装边的集合
            List<Edge> edgeList = new ArrayList<>();
            // 获取图的顶点数组
            char[] vertex = graph.getVertex();
            // 获取图的邻接矩阵
            int[][] graphWeight = graph.getWeight();
            for (int i = 0; i < vertex.length; i++) { 
                for (int j = i + 1; j < vertex.length; j++) { 
                    // 表示有边
                    if (graphWeight[i][j] != 0 && graphWeight[i][j] != INF) { 
                        Edge edge = new Edge(vertex[i],vertex[j],graphWeight[i][j]);
                        // 添加到集合中
                        edgeList.add(edge);
                    }
                }
            }
    
            // 对集合进行排序，返回
            Collections.sort(edgeList);
            return edgeList;
        }
    
        /** * 该方法不好理,请看注释 * @param ends 每个顶点对应的数组， 刚初始化时，每个元素都为0 * @param index 需要寻找终点的下标 * @return * {1，0，3，0} */
        private int getEnd(int[] ends, int index) { 
            // ends[index] = 0 表示找到了终点，下标index就是最后一个终点，inedex终点为0即表示它自己没有终点或者就是自己
            // ends[index] != 0表示没有找到最后的终点，继续循环找ends[index]的终点，
            // 直到找到最后一个终点，ends[index] = 0 表示找到终点
            while (ends[index] != 0) { 
                index = ends[index];
            }
            return index;
        }
    
        /** * 克鲁斯卡尔算法核心 * @param graph 传入的图 * @return 返回最小边的数组 */
        public List<Edge> kruskal(Graph graph) { 
            if (graph == null) { 
                return null;
            }
    
            // 最后要返回得结果，边的集合
            List<Edge> res = new ArrayList<>();
            // 获取图的所有边的集合，按大小排序
            List<Edge> edgesByAsc = getEdgesByAsc(graph);
            // 获取顶点数组
            char[] vertex = graph.getVertex();
            // 初始化记录最小生成树各顶点对应终点的下标，初始化都为0
            int[] ends = new int[vertex.length];
    
            // 定义一个下标用来记录从集合中取最小边的位置
            int index = 0;
    
            for (int i = 0; i < edgesByAsc.size(); i++) { 
                // 取出集合中最小的边,没取完一次下标加1
                Edge edge = edgesByAsc.get(index++);
                // 获取该边2个顶点的下标
                int n = graph.getPosition(edge.start);
                int m = graph.getPosition(edge.end);
                // 获取n顶点在最小生成树的中终点下标
                int a = getEnd(ends, n);
                // 获取m顶点在最小生成树中的终点下标
                int b = getEnd(ends, m);
                // 表示m,n对应的终点不一样，没有构成回路
                if (a != b) { 
                    // 记录n对应的下一个终点是m,加入到数组
                    ends[a] = b;
                    // 把该边加入到集合
                    res.add(edge);
                }
            }
            return res;
        }
    }

测试类

public class MyTest { 
        private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;
    
        public static void main(String[] args) { 
            //使用 INF 表示两个顶点不能连通
            char[] vertexs = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
            //克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵
            int matrix[][] = { 
                    /*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/
                    /*A*/ {    0,  12, INF, INF, INF,  16,  14},
                    /*B*/ {   12,   0,  10, INF, INF,   7, INF},
                    /*C*/ {  INF,  10,   0,   3,   5,   6, INF},
                    /*D*/ {  INF, INF,   3,   0,   4, INF, INF},
                    /*E*/ {  INF, INF,   5,   4,   0,   2,   8},
                    /*F*/ {   16,   7,   6, INF,   2,   0,   9},
                    /*G*/ {   14, INF, INF, INF,   8,   9,   0}};
            // 创建图
            Graph graph = new Graph(vertexs, matrix);
    
            Kruskal kruskal = new Kruskal();
            List<Edge> edgeList = kruskal.kruskal(graph);
            System.out.println(edgeList.toString());
        }
    }

运行结果：

[Edge{ start=E, end=F, weight=2}, Edge{ start=C, end=D, weight=3}, Edge{ start=D, end=E, weight=4}, Edge{ start=B, end=F, weight=7}, Edge{ start=E, end=G, weight=8}, Edge{ start=A, end=B, weight=12}]

看运行结果可知，该结果已经是最小生成树的表的集合了

代码分析：  
克鲁斯卡尔算法就分为2个步骤

> 1.  对所有边按从小到大进行排序，
> 2.  从小到大依次把边加入到要生成的最小生成树中，判断是**否形成回路**，如果形成回路则跳过，继续添加下一个边，直到最后。

思路很简单，关键是对是否形成回路进判断这段代码不好理解

/** * 该方法不好理,请看注释 * @param ends 每个顶点对应的数组， 刚初始化时，每个元素都为0 * @param index 需要寻找终点的下标 * @return * {1，0，3，0} */
        private int getEnd(int[] ends, int index) { 
            // ends[index] = 0 表示找到了终点，下标index就是最后一个终点，inedex终点为0即表示它自己没有终点或者就是自己
            // ends[index] != 0表示没有找到最后的终点，继续循环找ends[index]的终点，
            // 直到找到最后一个终点，ends[index] = 0 表示找到终点
            while (ends[index] != 0) { 
                index = ends[index];
            }
            return index;
        }

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