机器学习——线性回归-蒲公英云

参考：
https://cuijiahua.com/blog/2017/11/ml\_6\_logistic\_1.html
https://cuijiahua.com/blog/2017/11/ml\_7\_logistic\_2.html

一、线性回归前置简介

1.1、Sigmoid函数

在这里插入图片描述

优点：

Sigmoid函数的输出映射在(0,1)之间，单调连续，输出范围有限，优化稳定，可以用作输出层。
求导容易。

缺点：

由于其软饱和性，容易产生梯度消失，导致训练出现问题。
其输出并不是以0为中心的。

这 Sigmoid 函数作为激活函数，x 可以代表很多参数，例如：单个数字、矩阵
在这里插入图片描述

则 Sigmoid 函数就如下图所示：

其中：z是一个矩阵，θ是参数列向量(要求解的)，x是样本列向量(给定的数据集)。θ^T表示θ的转置。

1.2、损失函数

根据sigmoid函数的特性，我们可以做出如下的假设：
在这里插入图片描述
在已知样本x和参数θ的情况下，样本x属性正样本(y=1)和负样本(y=0)的条件概率。理想状态下，根据上述公式，求出各个点的概率均为1，也就是完全分类都正确。

但是考虑到实际情况，样本点的概率越接近于1，其分类效果越好。比如一个样本属于正样本的概率为0.51，那么我们就可以说明这个样本属于正样本。另一个样本属于正样本的概率为0.99，那么我们也可以说明这个样本属于正样本。但是显然，第二个样本概率更高，更具说服力。我们可以把上述两个概率公式合二为一：
在这里插入图片描述
合并出来的Loss，我们称之为损失函数(Loss Function)。当y等于1时，(1-y)项(第二项)为0；当y等于0时，y项(第一项)为0。

为s了简化问题，我们对整个表达式求对数，(将指数问题对数化是处理数学问题常见的方法)：
在这里插入图片描述
这个损失函数，是对于一个样本而言的。给定一个样本，我们就可以通过这个损失函数求出，样本所属类别的概率，而这个概率越大越好，所以也就是求解这个损失函数的最大值。既然概率出来了，那么最大似然估计也该出场了。假定样本与样本之间相互独立，那么整个样本集生成的概率即为所有样本生成概率的乘积，再将公式对数化，便可得到如下公式：
在这里插入图片描述
其中，m为样本的总数，y(i)表示第i个样本的类别，x(i)表示第i个样本，需要注意的是θ是多维向量，x(i)也是多维向量。

1.3、梯度上升算法

在这里插入图片描述

在我们用数学求解时，自然使用到求导 f’(x)=-2x+4，然后使其等于0，我们就可以得到最大值时的 x=2。

但是真实环境中的函数不会像上面这么简单，就算求出了函数的导数，也很难精确计算出函数的极值。此时我们就可以用迭代的方法来做。就像爬坡一样，一点一点逼近极值。这种寻找最佳拟合参数的方法，就是最优化算法。爬坡这个动作用数学公式表达即为：
在这里插入图片描述
编程实现：

# !/usr/bin/python
# -*- coding: utf-8 -*- 
# @Time : 2020/1/6 16:26 
# @Author : ljf
# @File : LOG_test1.py
def f_prime(x_old):  # f(x)的导数
    return -2 * x_old + 4
def Gradient_Ascent_test():
    """
    函数说明:梯度上升算法测试函数
    求函数f(x) = -x^2 + 4x的极大值
    Returns:
        无
    """
    x_old = -1  # 初始值，给一个小于x_new的值
    x_new = 0  # 梯度上升算法初始值，即从(0,0)开始
    alpha = 0.01  # 步长，也就是学习速率，控制更新的幅度
    presision = 0.00000001  # 精度，也就是更新阈值
    while abs(x_new - x_old) > presision:
        x_old = x_new
        x_new = x_old + alpha * f_prime(x_old)  # 上面提到的公式
    print(x_new)  # 打印最终求解的极值近似值
if __name__ == '__main__':
    Gradient_Ascent_test()

1.4、J(θ)的求导

在这里插入图片描述

最后就是梯度上升迭代公式。

二、示例

示例就是把两种点用直线分类，求这条直线。
在这里插入图片描述

1、数据准备

https://github.com/Jack-Cherish/Machine-Learning/blob/master/Logistic/testSet.txt

2、步骤

把数据文件下载下来。

加载数据，并初步处理
利用梯度上升迭代公式计算出每一列的权重
根据每列权重画出直线

3、改进

因为这个梯度上升迭代公式，每次修改权重时，必须每次全部遍历，这样就会耗费很多时间和资源。
所以有了改进，每次修改随机挑取一个向量进行计算。

4、代码

# !/usr/bin/python
# -*- coding: utf-8 -*- 
# @Time : 2020/1/6 21:17 
# @Author : ljf
# @File : LOG_test5.py
from matplotlib.font_manager import FontProperties
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import random
def loadDataSet():
    """
    函数说明:加载数据
    Returns:
        dataMat:    数据列表
        labelMat:   标签列表
    """
    dataMat = []  # 创建数据列表
    labelMat = []  # 创建标签列表
    fr = open('testSet.txt')  # 打开文件
    for line in fr.readlines():  # 逐行读取
        lineArr = line.strip().split()  # 去回车，放入列表
        dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])  # 添加数据
        labelMat.append(int(lineArr[2]))  # 添加标签
    fr.close()  # 关闭文件
    return dataMat, labelMat  # 返回
def sigmoid(inX):
    """
    函数说明:sigmoid函数
    Args:
        inX: 数据
    Returns:
        sigmoid函数
    """
    return 1.0 / (1 + np.exp(-inX))
def gradAscent(dataMatIn, classLabels):
    """
    函数说明:梯度上升算法
    Args:
        dataMatIn:      数据集
        classLabels:    数据标签
    Returns:
        weights.getA(): 求得的权重数组(最优参数)
    """
    dataMatrix = np.mat(dataMatIn)  # 转换成numpy的mat
    labelMat = np.mat(classLabels).transpose()  # 转换成numpy的mat,并进行转置
    m, n = np.shape(dataMatrix)  # 返回dataMatrix的大小。m为行数,n为列数。
    alpha = 0.001  # 移动步长,也就是学习速率,控制更新的幅度。
    maxCycles = 500  # 最大迭代次数
    weights = np.ones((n, 1))
    for k in range(maxCycles):
        h = sigmoid(dataMatrix * weights)  # 梯度上升矢量化公式
        error = labelMat - h
        weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose() * error
    return weights.getA()  # 将矩阵转换为数组，返回权重数组
def plotBestFit(weights):
    """
    函数说明:绘制数据集
    Args:
        weights:    权重参数数组
    Returns:
        无
    """
    dataMat, labelMat = loadDataSet()  # 加载数据集
    dataArr = np.array(dataMat)  # 转换成numpy的array数组
    n = np.shape(dataMat)[0]  # 数据个数
    xcord1 = []
    ycord1 = []  # 正样本
    xcord2 = []
    ycord2 = []  # 负样本
    for i in range(n):  # 根据数据集标签进行分类
        if int(labelMat[i]) == 1:
            xcord1.append(dataArr[i, 1])
            ycord1.append(dataArr[i, 2])  # 1为正样本
        else:
            xcord2.append(dataArr[i, 1])
            ycord2.append(dataArr[i, 2])  # 0为负样本
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(111)  # 添加subplot
    ax.scatter(xcord1, ycord1, s=20, c='red', marker='s', alpha=.5)  # 绘制正样本
    ax.scatter(xcord2, ycord2, s=20, c='green', alpha=.5)  # 绘制负样本
    x = np.arange(-3.0, 3.0, 0.1)
    y = (-weights[0] - weights[1] * x) / weights[2]
    ax.plot(x, y)
    plt.title('BestFit')  # 绘制title
    plt.xlabel('X1')
    plt.ylabel('X2')  # 绘制label
    plt.show()
def stocGradAscent1(dataMatrix, classLabels, numIter=150):
    """
    函数说明:改进的随机梯度上升算法
    Args:
        dataMatrix:     数据数组
        classLabels:    数据标签
        numIter:        迭代次数
    Returns:
        weights:        求得的回归系数数组(最优参数)
    """
    m, n = np.shape(dataMatrix)  # 返回dataMatrix的大小。m为行数,n为列数。
    weights = np.ones(n)  # 参数初始化
    for j in range(numIter):
        dataIndex = list(range(m))
        for i in range(m):
            alpha = 4 / (1.0 + j + i) + 0.01  # 降低alpha的大小，每次减小1/(j+i)。
            randIndex = int(random.uniform(0, len(dataIndex)))  # 随机选取样本
            h = sigmoid(sum(dataMatrix[dataIndex[randIndex]] * weights))  # 选择随机选取的一个样本，计算h
            error = classLabels[dataIndex[randIndex]] - h  # 计算误差
            weights = weights + alpha * error * dataMatrix[dataIndex[randIndex]]  # 更新回归系数
            del (dataIndex[randIndex])  # 删除已经使用的样本
    return weights  # 返回
if __name__ == '__main__':
    dataMat, labelMat = loadDataSet()
    weights = stocGradAscent1(np.array(dataMat), labelMat)
    print(weights)
    plotBestFit(weights)

三、总结

3.1、Logistic回归的一般过程

收集数据：采用任意方法收集数据。
准备数据：由于需要进行距离计算，因此要求数据类型为数值型。另外，结构化数据格式则最佳。
分析数据：采用任意方法对数据进行分析。
训练算法：大部分时间将用于训练，训练的目的是为了找到最佳的分类回归系数。
测试算法：一旦训练步骤完成，分类将会很快。
使用算法：首先，我们需要输入一些数据，并将其转换成对应的结构化数值；接着，基于训练好的回归系数，就可以对这些数值进行简单的回归计算，判定它们属于哪个类别；在这之后，我们就可以在输出的类别上做一些其他分析工作。