统计学条件概率、贝叶斯公式

不念不忘少年蓝@ 2023-06-16 02:19 31阅读 0赞

# 分类加法，分步乘法 #

1. 分类加法计数原理场景：从甲地到乙地，可以乘火车、汽车、轮船。火车有 4 班、汽车 2 班、轮船 3 班，那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地有多少种不同的走法？  
2. 分步乘法计数原理场景：从 A 到 B 的道路有 3 条，从 B 到 C 的道路有 2 条，那么从 A 到 B 到 C 总共有多少种不同的走法？

区别：分类计数原理是加法原理，不同的类加起来就是我要得到的总数；分步计数原理是乘法原理，是同一事件分成若干步骤，每个步骤的方法数相乘才是总数。

# 排列问题 #

从n个不同元素种取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素种取出m个元素的排列数，用符号![A\_n^m][A_n_m]表示。

![A\_n^m=n(n-1)(n-2)\\cdots(n-m+1)=\\frac\{n!\}\{(n-m)!\}][A_n_m_n_n-1_n-2_cdots_n-m_1_frac_n_n-m]

推导：把n个不同的元素任选m个排序，按计数原理**分步进行**

取第一个：有n种取法；  
取第二个：有(n−1)种取法；  
取第三个：有(n−2)种取法；  
……  
取第m个：有(n−m+1)种取法；

根据分步乘法原理，得出上述公式。

# 组合问题 #

从n个不同元素种取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素种取出m个元素的组合数，用符号![C\_n^m][C_n_m]表示。

![C\_n^m=\\frac\{A\_n^m\}\{A\_m^m\}=\\frac\{n(n-1)(n-2)\\cdots (n-m+1)\}\{m!\}=\\frac\{n!\}\{m!(n-m)!\}][C_n_m_frac_A_n_m_A_m_m_frac_n_n-1_n-2_cdots _n-m_1_m_frac_n_m_n-m]

为什么要除以![A\_m^m][A_m_m]，因为要去除重复，![A\_m^m][A_m_m]代表把这m个被抽出来的球进行全排序，除代表这么多种的排列组合都代表一个情况(因为组合![C\_n^m][C_n_m]是没序的)

# 等可能概率(古典概型) #

定义：若试验满足：  
样本空间S中样本点有限(有限性)  
出现每一个样本点的概率相等(等可能性)  
称这种试验为等可能概型(或古典概型)。

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# 条件概率 #

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzMzODczNDMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

# 全概率公式 #

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzMzODczNDMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 2][]

# 贝叶斯公式 #

![20191123211602735.png][]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzMzODczNDMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 3][]

先验后验

这是与贝叶斯概率更新有关的两个概念。假如某一不确定事件发生的主观概率 因为某个新情况的出现 而发生了改变，那么改变前的那个概率就被叫做先验概率(上面公式的Bi)，改变后的概率就叫后验概率(上面公式的P(Bi|A) )。

举个简单的更新概率的例子。  
想象有 A、B、C 三个不透明的碗倒扣在桌面上，已知其中有（且仅有）一个瓷碗下面盖住一个鸡蛋。此时请问，鸡蛋在 A 碗下面的概率是多少？答曰 1/3。  
现在发生一件事：有人揭开了 C 碗，发现 C 碗下面没有蛋。此时再问：鸡蛋在 A 碗下面的概率是多少？答曰 1/2。注意，由于有“揭开C碗发现鸡蛋不在C碗下面”这个新情况，对于“鸡蛋在 A 碗下面”这件事的主观概率由原来的 1/3 上升到了1/2。这里的先验概率就是 1/3，后验概率是 1/2。  
也就是说“先”和“后”是相对于引起主观概率变化的那个新情况而言的。

# 事件独立 #

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推导理解：

![20191123230010923.png][]

因为A1的发生对A2的发生概率不影响  
![20191123225853315.png][]

[A_n_m]: https://private.codecogs.com/gif.latex?A_n%5Em
[A_n_m_n_n-1_n-2_cdots_n-m_1_frac_n_n-m]: https://private.codecogs.com/gif.latex?A_n%5Em%3Dn%28n-1%29%28n-2%29%5Ccdots%28n-m&plus;1%29%3D%5Cfrac%7Bn%21%7D%7B%28n-m%29%21%7D
[C_n_m]: https://private.codecogs.com/gif.latex?C_n%5Em
[C_n_m_frac_A_n_m_A_m_m_frac_n_n-1_n-2_cdots _n-m_1_m_frac_n_m_n-m]: https://private.codecogs.com/gif.latex?C_n%5Em%3D%5Cfrac%7BA_n%5Em%7D%7BA_m%5Em%7D%3D%5Cfrac%7Bn%28n-1%29%28n-2%29%5Ccdots%20%28n-m&plus;1%29%7D%7Bm%21%7D%3D%5Cfrac%7Bn%21%7D%7Bm%21%28n-m%29%21%7D
[A_m_m]: https://private.codecogs.com/gif.latex?A_m%5Em
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