关系数据库：函数依赖、3NF范式、BCNF范式

淩亂°似流年 2023-06-13 13:28 151阅读 0赞

### 文章目录 ###

*   *  1 函数依赖
     *   *  1.1 函数依赖
         *  1.2 平凡与非平凡函数依赖
         *  1.3 完全函数依赖和部分函数依赖
         *  1.4 传递函数依赖
     *  2 范式(Normal Form)
     *  2.1 第一范式(1NF)--- 码
     *   *  2.2 第二范式(2NF)--- 全部是码
         *  2.3 第三范式(3NF)--- 仅仅是码
         *  2.4 Boyce--Codd范式(BCNF)

## 1 函数依赖 ##

函数依赖(functional dependency，FD)是一种完整性约束，是现实世界事物属性之间的一种制约关系，它广泛地存在于现实世界之中。

### 1.1 函数依赖 ###

定义：设  r ( R ) r(R) r(R) 为关系模式， α ⊆ R ， β ⊆ R \\alpha \\subseteq R，\\beta \\subseteq R α⊆R，β⊆R。对任意合法关系  r r r 及其中任两个元组  t i ， t j ， i ≠ j t\_i，t\_j，i \\neq j ti，tj，i=j ，若  t i \[ α \] = t j \[ α \] t\_i\[\\alpha\]=t\_j\[\\alpha\] ti\[α\]=tj\[α\]，则  t i \[ β \] = t j \[ β \] t\_i\[\\beta\]=t\_j\[\\beta\] ti\[β\]=tj\[β\]，则称  α \\alpha α 函数确定  β \\beta β ，或  β \\beta β 函数依赖于  α \\alpha α，记作  α → β \\alpha \\rightarrow \\beta α→β。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MjI1MDMwMg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]  
如图是满足满足函数依赖  A B → C AB→C AB→C 的关系模式  r ( A ， B ， C ， D ) r(A，B，C，D) r(A，B，C，D) 的一个关系实例。由图可知，对任意两个在属性集  \{ A ， B \} \\\{A，B\\\} \{ A，B\} 上取值相同的元组，它们在  C C C 上的取值也相同。例如：对于第1个和第2个元组： t 1 \[ A ， B \] = t 2 \[ A ， B \] = ( a 1 ， b 1 ) ， 且 t 1 \[ C \] = t 2 C \] = c 1 ) t\_1\[A，B\]=t\_2\[A，B\]=(a1，b1)，且t\_1\[C\]=t\_2C\]=c1) t1\[A，B\]=t2\[A，B\]=(a1，b1)，且t1\[C\]=t2C\]=c1)

### 1.2 平凡与非平凡函数依赖 ###

定义：在关系模式  r ( R ) r(R) r(R) 中， α ⊆ R ， β ⊆ R \\alpha \\subseteq R，\\beta \\subseteq R α⊆R，β⊆R。若  α → β \\alpha \\rightarrow \\beta α→β 但  β ⊈ α \\beta \\not\\subseteq \\alpha β⊆α，则称  α → β \\alpha \\rightarrow \\beta α→β 是非平凡函数依赖。否则，若  β ⊆ α \\beta \\subseteq \\alpha β⊆α，则称  α → β \\alpha \\rightarrow \\beta α→β 是平凡函数依赖。  
![在这里插入图片描述][20210314222002878.png_pic_center]

### 1.3 完全函数依赖和部分函数依赖 ###

定义：在关系模式  r ( R ) r(R) r(R) 中， α ⊆ R ， β ⊆ R \\alpha \\subseteq R，\\beta \\subseteq R α⊆R，β⊆R。且  α → β \\alpha \\rightarrow \\beta α→β 是**非平凡函数依赖**。若对任意  γ ⊂ α ， γ → β \\gamma \\subset \\alpha，\\gamma \\rightarrow \\beta γ⊂α，γ→β 都不成立，则称  α → β \\alpha \\rightarrow \\beta α→β 是**完全函数依赖**，简称**完全依赖**。否则，若存在非空的  γ ⊂ α 使 γ → β \\gamma \\subset \\alpha使\\gamma \\rightarrow \\beta γ⊂α使γ→β 成立 ，则称  α → β \\alpha \\rightarrow \\beta α→β 是**部分函数依赖**简称**部分依赖**。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MjI1MDMwMg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]

示例说明：  
 α : \{ s t u d e n t N o ， c o u r s e N o \} ， b e t a : \{ s c o r e \} ， γ : \{ s t u d e n t N o \} 、 \{ c o u r s e N o \} \\alpha:\\\{studentNo，courseNo\\\}，beta:\\\{score\\\}，\\gamma:\\\{studentNo\\\}、\\\{courseNo\\\} α:\{ studentNo，courseNo\}，beta:\{ score\}，γ:\{ studentNo\}、\{ courseNo\}

*  完全依赖  
    由学生学号、课程号可以唯一确定一门课程的分数：  
    **\{studentNo，courseNo\}—>score**；  
    由学生学号可以唯一确定一个学生姓名：  
    **studentNo—>studentName**；  
    由课程号可以唯一确定一个课程名：  
    **courseNo—>courseName**。  
    **studentNo 、courseNo**都是 **\{studentNo，courseNo\}的子集，  
    但studentNo / courseNo** 都不能唯一确定**score**。
 *  部分依赖  
    \{studentNo，courseNo\}—>studentName;  
    \{studentNo，courseNo\}—>courseName;  
    studentNo 、courseNo都是 \{studentNo，courseNo\}的子集，  
    studentNo—>studentName；  
    courseNo—>courseName

### 1.4 传递函数依赖 ###

定义：在关系模式  r ( R ) 中 ， α ⊆ R , β ⊆ R , γ ⊆ R 。 若 α → β , β → γ r(R)中，\\alpha \\subseteq R,\\beta \\subseteq R,\\gamma \\subseteq R。若\\alpha \\rightarrow \\beta,\\beta \\rightarrow \\gamma r(R)中，α⊆R,β⊆R,γ⊆R。若α→β,β→γ 则必存在函数依赖  α → γ ; 若 α → β , β → γ 和 α → γ \\alpha \\rightarrow \\gamma;若\\alpha \\rightarrow \\beta,\\beta \\rightarrow \\gamma和\\alpha \\rightarrow \\gamma α→γ;若α→β,β→γ和α→γ都是非平凡函数依赖，且  β ↛ α \\beta \\nrightarrow \\alpha β↛α，则称  α → γ \\alpha \\rightarrow \\gamma α→γ 是**传递函数依赖**，简称**传递依赖**。

![在这里插入图片描述][20210314223803888.png_pic_center]

示例说明：  
![在这里插入图片描述][20191118102110632.png]

*  传递依赖  
    由学生学号可以唯一确定一个班级编号、班级名称、学院名称：  
    **studentNo—>\{classNo, className, institute\}**;  
    由班级编号可以唯一确定一个班级名称、学院名称:  
    **classNo—>\{className, institute\}**;  
    且由**classNo**不能唯一确定**studentNo**。  
    从上述两个函数依赖关系中可以得出：  
    **studentNo—>\{className, institute\}**，故存在传递依赖。

## 2 范式(Normal Form) ##

基于函数依赖理论，关系模式可分成第一范式(1NF)，第二范式(2NF)，第三范式(3NF)和 Boyce-Codd 范式(BCNF)。这几种范式的要求一个比一个严格，它们之间的联系为BCNF ⊂ 3NF ⊂ 2NF ⊂ 1NF。即满足 BCNF 范式的关系一定满足3NF范式，满足3NF 范式的关系一定满足2NF范式，满足2NF范式的关系一定满足1NF范式。

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th></th> 
   <th></th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td>1NF</td> 
   <td>每个属性对应的域值都是不可分的</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>2NF</td> 
   <td>所有非主属性都完全依赖于候选码</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>3NF</td> 
   <td>非主属性必须完全依赖且直接依赖于候选码<br>(允许存在主属性对候选码的传递依赖和部分依赖)</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>BCNF</td> 
   <td>消除原关系中主属性对键的部分与传递依赖</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

## 2.1 第一范式(1NF)— 码 ##

定义：如果一关系模式  r ( R ) r(R) r(R) 的每个属性对应的域值都是不可分的，则称  r ( R ) r(R) r(R) 属于第一范式，记为  r ( R ) ∈ 1 N F r(R)\\in 1NF r(R)∈1NF。  
第一范式的目标是：将基本数据划分成称为实体集或表的逻辑单元，当设计好每个实体后，需要为其指定主码。

### 2.2 第二范式(2NF)— 全部是码 ###

定义1：设有一关系模式  r ( R ) ， α ⊆ R r(R)，\\alpha \\subseteq R r(R)，α⊆R。若  α \\alpha α 包含在  r ( R ) r(R) r(R) 的某个候选码中，则  α \\alpha α 称为**主属性**，否则  α \\alpha α 为**非主属性**。

定义2：如果一关系模式  r ( R ) ∈ 1 N F r(R)\\in 1NF r(R)∈1NF，且所有非主属性都完全函数依赖于  r ( R ) r(R) r(R) 的候选码，则称  r ( R ) r(R) r(R) 属于第二范式，记为  r ( R ) ∈ 2 N F r(R)\\in 2NF r(R)∈2NF。

也就是说，对于满足第一范式(1NF)的关系模式，如果有复合候选码(即多个属性共同构成的候选码)，那么非主属性不允许依赖于部分的候选码属性，必须依赖于全部的候选码属性—全部是码。

第二范式的目标是：将只部分依赖于候选码(即依赖于候选码的部分属性)的非主属性通过关系模式分解移到其他表中去。

### 2.3 第三范式(3NF)— 仅仅是码 ###

定义：如果一关系模式  r ( R ) ∈ 2 N F r(R)\\in 2NF r(R)∈2NF，且所有非主属性都直接函数依赖于  r ( R ) r(R) r(R) 的候选码(即不存在非主属性传递依赖于候选码)，则称  r ( R ) r(R) r(R) 属于第三范式，记为  r ( R ) ∈ 3 N F r(R)\\in 3NF r(R)∈3NF。

也就是说，对于满足第二范式(2NF)的关系模式，非主属性不能依赖于另一个(组)非主属性(这样就形成了对候选码的传递依赖)，即非主属性只能直接依赖于候选码—仅仅是码。

第三范式的目标是：将不直接依赖于候选码(即传递依赖于候选码)的非主属性通过关系模式分解移到其他表中去。

总之，所有的非主属性应该直接依赖于(即不能存在传递依赖，这是3NF的要求)全部的候选码(即必须完全依赖，不能存在部分依赖，这是2NF的要求)。

例1：  r ( R ) = r ( A ， B ， C ， D ) r(R)=r(A，B，C，D) r(R)=r(A，B，C，D)，函数依赖集  F = r ( A B → C ， B → D ) F=r(AB→C，B→D) F=r(AB→C，B→D)，  r ( R ) r(R) r(R) 的候选码为AB，则  r ( R ) ∉ 2 N F r(R) \\not\\in2NF r(R)∈2NF。因为非主属性D依赖于候选码B(即部分依赖于AB)。  
解决：  r ( R ) r(R) r(R) 分解为  r 1 ( R 1 ) = r 1 ( A ， B ， C ) , r 2 ( R 2 ) = r 2 ( B ， D ) r\_1(R\_1)=r\_1(A，B，C),r\_2(R\_2)=r\_2(B，D) r1(R1)=r1(A，B，C),r2(R2)=r2(B，D)；此时  r 1 ( R 1 ) ∈ 3 N F 、 r 2 ( R 2 ) ∈ 3 N F r\_1(R\_1) \\in3NF、r\_2(R\_2) \\in3NF r1(R1)∈3NF、r2(R2)∈3NF，候选码分别为AB、B。

例2：  r ( R ) = r ( A ， B ， C ) r(R)=r(A，B，C) r(R)=r(A，B，C)，函数依赖集  F = r ( A → B ， B → C ) F=r(A→B，B→C) F=r(A→B，B→C)，  r ( R ) 的 候 选 码 为 A ， r ( R ) ∈ 2 N F r(R)的候选码为A， r(R) \\in2NF r(R)的候选码为A，r(R)∈2NF，但  r ( R ) ∉ 3 N F r(R) \\not\\in3NF r(R)∈3NF。因为C依赖于非主属性B。  
解决：  r ( R ) 分 解 为 r 1 ( R 1 ) = r 1 ( A ， B ) ， r 2 ( R 2 ) = r 2 ( B ， C ) r(R) 分解为 r\_1(R\_1)=r\_1(A，B)，r\_2(R\_2)=r\_2(B，C) r(R)分解为r1(R1)=r1(A，B)，r2(R2)=r2(B，C)；此时 r 1 ( R 1 ) ∈ 3 N F 、 r 2 ( R 2 ) ∈ 3 N F r\_1(R\_1)\\in 3NF、r\_2(R\_2)\\in 3NF r1(R1)∈3NF、r2(R2)∈3NF，候选码分别为A、B。

例3：  r ( R ) = r ( A ， B ， C ， D ， E ) r(R)=r(A，B，C，D，E) r(R)=r(A，B，C，D，E)，函数依赖集  F = r ( A B → C ， B → D ， C → E ) F=r(AB→C，B→D，C→E) F=r(AB→C，B→D，C→E)，  r ( R ) r(R) r(R) 的候选码为AB，则  r ( R ) ∉ 2 N F r(R) \\not\\in2NF r(R)∈2NF。因为非主属性D只依赖于候选码B(即部分依赖于AB)。  
解决：  r ( R ) 分 解 为 r 1 ( R 1 ) = r 1 ( A ， B ， C ) ， r 2 ( R 2 ) = r 2 ( B ， D ) ， r 3 ( R 3 ) = r 3 ( C ， E ) ； 此 时 r 1 ( R 1 ) ∈ 3 N F 、 r 2 ( R 2 ) ∈ 3 N F 、 r 3 ( R 3 ) ∈ 3 N F r(R)分解为 r\_1(R\_1)=r\_1(A，B，C)，r\_2(R\_2)=r\_2(B，D)，r\_3(R\_3)=r\_3(C，E)；此时r\_1(R\_1)\\in 3NF、r\_2(R\_2) \\in3NF、r\_3(R\_3) \\in3NF r(R)分解为r1(R1)=r1(A，B，C)，r2(R2)=r2(B，D)，r3(R3)=r3(C，E)；此时r1(R1)∈3NF、r2(R2)∈3NF、r3(R3)∈3NF，候选码分别为AB、B、C。

例4：  r ( R ) = r ( A ， B ， C ) r(R)=r(A，B，C) r(R)=r(A，B，C)，函数依赖集  F = r ( A B → C ， C → A ) ， r ( R ) F=r(AB→C，C→A)，r(R) F=r(AB→C，C→A)，r(R)的候选码为AB或BC，  r ( R ) ∈ 3 N F r(R) \\in3NF r(R)∈3NF。因为关系模式  r ( R ) r(R) r(R) 中没有非主属性，也就不可能有非主属性对候选码的部分/传递依赖。

总结：  
1NF：每个属性对应的域值都是不可分的  
2NF：非主属性都完全依赖于候选码  
3NF：非主属性必须完全依赖且直接依赖于候选码

### 2.4 Boyce–Codd范式(BCNF) ###

BCNF范式：能排除所有部分依赖和传递依赖的BCNF范式。

定义：给定关系模式 r ( R ) ∈ 1 N F r(R) \\in 1NF r(R)∈1NF，函数依赖集 F，若  F + F^+ F\+ (表示F的闭包)中的所有函数依赖  α → β ( α ⊆ R , β ⊆ R ) \\alpha \\rightarrow \\beta(\\alpha \\subseteq R,\\beta \\subseteq R) α→β(α⊆R,β⊆R)。至少满足下列条件之一：

1.   α → β \\alpha \\rightarrow \\beta α→β 是平凡函数依赖(即  β ⊆ α \\beta \\subseteq \\alpha β⊆α)；
2.   α \\alpha α 是  r ( R ) r(R) r(R) 的一个超码(即  α \\alpha α中包含  R R R 的候选码)

则称 r ( R ) r(R) r(R)属于Boyce-Codd范式，记为 r ( R ) ∈ B C N F r(R) \\in BCNF r(R)∈BCNF。

换句话说，在关系模式  r ( R ) r(R) r(R) 中，如果  F + F^+ F\+ 中的每一个非平凡函数依赖的决定属性集  α \\alpha α 都包含候选码，则 r ( R ) ∈ B C N F r(R) \\in BCNF r(R)∈BCNF。必须说明的是，为确定  r ( R ) r(R) r(R) 是否满足BCNF.必须考虑  F + F^+ F\+ 而不是  F F F 中的每个函数依赖。

**满足BCNF条件有：**

*  所有非主属性都完全函数依赖于每一个候选键；
 *  所有主属性都完全函数依赖于每一个不包含它的候选键；
 *  没有任何属性完全函数依赖于非候选键的任何一组属性。

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