算法设计与分析：贪心算法 - 排课问题（DP与贪心的区别与应用）

港控/mmm° 2023-06-13 09:51 5阅读 0赞

### 文章目录 ###

*  前言
 *  贪心算法概念
 *  排课问题
 *   *  问题描述与分析
     *  动态规划求解
     *  简化问题应用贪心算法
 *  总结

> 本文参考UCAS卜东波老师算法设计与分析课程撰写

# 前言 #

前面两大章节的内容**分治思想**与**动态规划**暂时告一段落，遇到问题如何观察问题，找寻解决的方案是我们关心的点。下面的关系图诠释了问题的观察步骤与解决方案选择：

是

否

是

否

是

给定问题

问题是否  
正面可解?

能否分解

证明是NP难问题

分治

待定

最优化问题?

动态规划

贪心选择性质?

贪心算法

在动态规划的基础上又可以根据我们的需求选择使用[高级动态规划][Link 1]，现在再进一步，在动态规划的基础上依据是否有贪心选择的性质，决定是否采用贪心算法。

# 贪心算法概念 #

贪心算法与动态规划十分相像，只不过在动态规划的基础上多了一层贪心选择幸性质，每一次的贪心，我们都是求局部最优解，将这些解组合成了全局最优，当然这点能够成立的前提是问题具有贪心选择性质，我们利用**排课问题**来具体阐述其差别。

# 排课问题 #

## 问题描述与分析 ##

*  **一间教室被多门课程在不同时段使用，给定第i节课 A i A\_i Ai从 S i S\_i Si开始上，到 F i F\_i Fi结束，上第i门课的学生数量是 W i W\_i Wi，问如何排课能让尽可能多的学生上课？**  
    考虑问题中的矛盾点在于，时间段相交的课程会冲突，因此，安排的课必须是两两不相交的，且要使得上课学生数量最大。下面是一个例子（引用课件）  
    ![在这里插入图片描述][20191116111008172.png_pic_center]
    
     *  方案1：选课集合 S 1 = \{ A 1 , A 3 , A 5 , A 8 \} S\_1 = \\\{A\_1,A\_3,A\_5,A\_8\\\} S1=\{ A1,A3,A5,A8\}，则上课总人数 B ( S 1 ) = 1 + 4 + 3 + 3 = 11 B(S\_1)= 1+4+3+3=11 B(S1)=1\+4\+3\+3=11
     *  方案2：选课集合 S 2 = \{ A 2 , A 4 , A 7 , A 9 \} S\_2 = \\\{A\_2,A\_4,A\_7,A\_9\\\} S2=\{ A2,A4,A7,A9\}，则上课总人数 B ( S 2 ) = 5 + 2 + 1 + 5 = 13 B(S\_2) = 5+2+1+5 = 13 B(S2)=5\+2\+1\+5=13
     *  方案3：…  
        如何快速地找出众多方案中人数最多的，是我们的目标。显然这已经是一个最优化问题。

## 动态规划求解 ##

首先，最简单的情况n=1,2的时候很好分析，所以先思考问题是否可分解子问题？鉴于前面已经确认是最优化问题，所以我们分解按照多步决策的方向分解。以下为多步决策过程：

*   A 9 A\_9 A9上不上？
    
     *  上：则新的可选时间段缩短到 A 9 A\_9 A9上课前，递归调用剩下的所有在时间段内课程
     *  不上：则时间段不变，将 A 9 A\_9 A9去除，递归调用 A 1 . . . A 8 A\_1...A\_8 A1...A8
    
    剩下的决策过程其实是一样的，但是这里有一个小问题，如何快速找出所有在 A 9 A\_9 A9上课前的所有课程？如果在选定 A 9 A\_9 A9上了之后，再循环遍历挑出来，那每一次决策都要遍历，时间复杂度过高。因此，我们预先对所有课程按照**下课时间**排序（实际上前面的例子已经排好序），这样我们很容易找到下课在 A 9 A\_9 A9上课前的课程。

这里做一些定义，我们采用了动态规划的方式，自然要定义动态转移方程。设对课程 A 1 , . . . , A i A\_1,...,A\_i A1,...,Ai的最优选择结果是 O P T ( i ) OPT(i) OPT(i)，在第i节课上课前的最近下课课程编号是 p r e ( i ) pre(i) pre(i)（例如 p r e ( 9 ) = 7 pre(9) = 7 pre(9)=7 ），我们得到转移方程如下：  
 O P T ( i ) = \{ O P T ( p r e ( i ) ) + W i 选 择 A i O P T ( i − 1 ) 不 选 A i OPT(i) = \\begin\{cases\} OPT(pre(i)) +W\_i & 选择A\_i \\\\ OPT(i-1) & 不选A\_i \\end\{cases\} OPT(i)=\{ OPT(pre(i))\+WiOPT(i−1)选择Ai不选Ai

上述过程是很常规的动态规划方法解决，对于每个决策有两个选项（选/不选），然后对应每个选项再递归调用。将该过程绘制成决策图如下:  
![在这里插入图片描述][20191116131350371.png_pic_center]  
容易得到伪代码如下：

![在这里插入图片描述][2019111613191164.png_pic_center]

> 这部分较好理解，不多赘述，总时间复杂度为 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)

## 简化问题应用贪心算法 ##

实际上上面的DP方法已经解决了这个问题，但我们在开头的关系图中考虑了在DP的基础上能否找出贪心规则进一步使用贪心算法。在用贪心解决问题之前，先考虑另一种不一样的动态规划方法，前面我们是对每门课进行多步决策(选不选这门课)，实际上最终的解可以表示成 X = \[ 1 , 0 , 0 , 1 , . . . , 1 \] X=\[1,0,0,1,...,1\] X=\[1,0,0,1,...,1\]的形式，其中1表示选，0表示不选。如果我们从解的角度出发，我们只考虑那些要选的课，那么第一次决策就转换成了，我第一次要选哪一门课。这有9个选项，对于每一个选项，我在对除去该课和与该课冲突的课程的子集中继续递归调用即可。将其转换成图示如下：

![在这里插入图片描述][20191116133700413.png_pic_center]  
我们得到动态转移方程如下：  
 O P T ( S ) = max ⁡ A i ∈ S \{ O P T ( S ′ ) + W i \} OPT(S) = \\max\_\{A\_i\\in S\}\\\{OPT(S')+W\_i\\\} OPT(S)=Ai∈Smax\{ OPT(S′)\+Wi\}

> 其中，S是当前可选课程集合，S’是除去第i节课程和与该课程冲突的课程集合。

由此我们得到伪代码如下：  
![在这里插入图片描述][20191116134500663.png_pic_center]  
这相当于把所有的可能组合都枚举了出来，而对于集合元素数n的可能组合有 2 n 2^n 2n种，因此时间复杂度为 O ( 2 n ) O(2^n) O(2n)，这与我们平常对动态规划的时间认知有所不同，主要是缺乏了DP数组存储重复计算的结果，例如我先选1，再选2和先选2再选1应该是一样的效果，这里进行了重复计算。为了引入贪心算法，下面我们考察一个简单的特例：

*  假设每门课均只有一个人上，上面的例子转换后如下所示：  
    ![在这里插入图片描述][20191116135341240.png_pic_center]  
    前面的动态规划方法枚举了所有可能情况，这是导致时间耗费很大的一个原因，而在贪心中直接选择最早下课的那门（ A 1 A\_1 A1），因为它必然会出现在最优解中，不再枚举其他的情况。下面是简单的证明：
    
     *  反证法  
        假设存在一个最优解不包括 A 1 A\_1 A1，例如该最优解是 A 2 , A 4 , A 6 , A 7 A\_2,A\_4,A\_6,A\_7 A2,A4,A6,A7，显然我们可以用 A 1 A\_1 A1替换掉 A 2 A\_2 A2，构造新的最优解 A 1 , A 4 , A 6 , A 7 A\_1,A\_4,A\_6,A\_7 A1,A4,A6,A7，这里人数未发生变化（ W i = 1 W\_i=1 Wi=1），新的最优解中就有了 A 1 A\_1 A1
    
    这个方法好啊！这相当于第一次原本要考虑1-9，现在直接扔掉2-9，选中了1，瞬间减少了时间。而在第1门被选定之后，在剩下的课程中，我们依然每次都找最早下课的，但要求选的课不能和已选的冲突（上课时间要晚于最近选择的下课时间）。这样，我们相当于只用做一次循环遍历就可以找出最优解，样例(来源课件)如下:  
    ![在这里插入图片描述][20191116141050622.png_pic_center]
    
    > 解释一下选择的过程，首先按照下课时间对课程排序，循环遍历，发现B是最早下课，将B安排上，到C，C虽然是新最早下课，但与B冲突，不安排，A也同理，一直到E，安排上，D，F，G与E冲突，不安排，H可行，安排上。
    
    由此我们得到简洁的伪代码如下所示：  
    ![在这里插入图片描述][20191116141621716.png_pic_center]
    
    > 总的时间复杂度是 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)

这里首先解释一点，原本的排课问题只能通过传统的动态规划方法快速解决，无法直接应用贪心，但是如果问题变了一些条件（每个课的学生数量相同），我们就可以用贪心解决，因为每一次只用找最早下课的即可（**局部最优**）。贪心算法相当于解决了原问题的一个简化版本，你可能会问，那我为什么不直接用动态规划好了?首先，对比代码量，显然可以发现贪心实现地更为简洁，其次，贪心不需要额外的存储空间（DP数组），有点杀鸡不需用牛刀的感觉。

# 总结 #

本文通过排课问题，简单阐述了贪心问题与动态规划之间的联系。它们的相似点如下：

*  **都针对最优化问题，因此看到最优化问题，首先想到动态规划与贪心**
 *  **最优子结构，动态规划与贪心都要寻求最优子结构，即子问题的最优解可用于组合成原问题的最优解**
 *  **所有的贪心算法都可以找到一个笨拙动态规划的版本（本文中是 O ( 2 n ) O(2^n) O(2n)）**

而它们的不同点如下:

*  **动态规划需在每一步决策时枚举所有可能的选项，只有子问题解决后，决策才能做出判断**  
    例如 A 9 A\_9 A9选与不选先要询问前面最优选择情况，文中例子是选的情况询问 A 1 . . . A 7 A\_1...A\_7 A1...A7，不选的情况询问 A 1 . . . A 8 A\_1...A\_8 A1...A8
 *  贪心算法则不必枚举所有可能情况，它在当前决策下就直接选定了**局部最优**，而不考虑子问题的选择  
    这一方面提高了他的速度，另一方面也让它受限较大(在本例中就是每门课学生人数都要相等)，这也是贪心选择的性质

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*  上一篇：[算法设计与分析：动态规划（4）- 序列联配问题（观察回溯路径）][4_-]
 *  下一篇：[算法设计与分析：贪心算法（2）- 最短路问题（DP到贪心的优化）][2_- _DP]
 *  [目录][Link 2]

[Link 1]: https://blog.csdn.net/GentleCP/article/details/102814327
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[2_- _DP]: https://blog.csdn.net/GentleCP/article/details/103099264
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