比赛竞猜投注类问题概率模型

女爷i 2023-06-12 05:26 1阅读 0赞

**目录**

一、问题描述

1.1 投注及收益规则

1.2 个人而言收益

二、数学建模

2.1 变量及概率模型

2.2 个人收益量推导

2.3 投注收益的数学期望

三、策略及期望收益

3.1 总期望收益

3.2 理性投注人群

3.3 非理性投注人群

3.4 等额投注收益

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# 一、问题描述 #

每年lol或者王者荣耀比赛之中，都有官方的竞猜投注的玩法。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zNjQ3NDgwOQ_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

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## 1.1 投注及收益规则 ##

甲乙两队比赛，参与竞猜人群进行投注。投注币总量为奖池。

投甲队胜利的投注总量为奖池甲，投注乙队胜利的投注总量为奖池乙。

*  如果甲队获胜，则乙奖池按比例分给甲奖池。
 *  如果乙队获胜，则甲奖池按比例分给乙奖池。
 *  猜对了，返回本投注，且按比例分得对侧投注。
 *  猜错了，丧失投注，按比例分给对侧。

## 1.2 个人而言收益 ##

假定投入量A到甲奖池：

*  如果甲队获胜，则收益为：
 *  ![20191031172547422.png][]
 *  如果乙队获胜，则收益为（负的投注量A）

# 二、数学建模 #

## 2.1 变量及概率模型 ##

<table> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td style="border-color:#a3a3a3;vertical-align:top;width:78.75pt;"> <p style="margin-left:0cm;">&nbsp;</p> </td> 
   <td style="border-color:#a3a3a3;vertical-align:top;width:59.2pt;"> <p style="margin-left:0cm;">甲队获胜</p> </td> 
   <td style="border-color:#a3a3a3;vertical-align:top;width:59.9pt;"> <p style="margin-left:0cm;">乙队获胜</p> </td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td style="border-color:#a3a3a3;vertical-align:top;width:78.75pt;"> <p style="margin-left:0cm;">获胜概率</p> </td> 
   <td style="vertical-align:top;width:59.2pt;"> <p style="margin-left:0cm;">α</p> </td> 
   <td style="vertical-align:top;width:59.9pt;"> <p style="margin-left:0cm;">1-α</p> </td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td style="border-color:#a3a3a3;vertical-align:top;width:78.75pt;"> <p style="margin-left:0cm;">人群投注比例</p> </td> 
   <td style="vertical-align:top;width:59.2pt;"> <p style="margin-left:0cm;">β</p> </td> 
   <td style="vertical-align:top;width:59.9pt;"> <p style="margin-left:0cm;">1-β</p> </td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

假定甲队获胜的概率是α，则乙队获胜的概率是1-α

投注比例

![20191031172547229.png][]

## 2.2 个人收益量推导 ##

![20191031172547440.png][]

假定对甲队投注量A，且甲队获胜，则乙队的奖池按比例分给甲，收益就是表中的量

如果乙队获胜，则投注甲队的投注失败，投入均损失，收益为\-A

## 2.3 投注收益的数学期望 ##

数学期望=求和（概率×收益）

**投注****A****到甲队的期望收益：**

对甲队投注A的收益期望=甲队获胜概率\*甲队获胜收益\+乙队获胜概率\*乙队获胜收益

![20191031172547441.png][]

**投注****B****到乙队的期望收益：**

对乙队投注B的收益期望=乙队获胜概率\*乙队获胜收益\+甲队获胜概率\*甲队获胜收益

**投注****A****到甲队且投注****B****到乙队总期望收益：**

![20191031172547249.png][]

# 三、策略及期望收益 #

## 3.1 总期望收益 ##

前文得到

**投注****A****到甲队且投注****B****到乙队总期望收益：**

![20191031172545643.png][]

队伍获胜概率α，以及人群对队伍的投注量β都为固定量。因此策略需要定下来A与B的值。

最大化收益的问题，转化为：

![20191031172547251.png][]

## 3.2 理性投注人群 ##

即队伍获胜的概率与人群投注量的比例相同：α=β

此时无论如何投注，收益期望均为0

## 3.3 非理性投注人群 ##

因为人群无法预估出队伍获胜概率α，因此α一般情况下，不等于β

**如果人群对甲队期望过高，即****(α-β)****为负：**

则希望![20191031172547436.png][]<0且尽量小。需要![20191031172547444.png][]

且A尽量大，B尽量小。

即人群对甲队期望过高，则尽量在甲队少投，乙队多投。

**反之如果人群对甲队期望过低，即****(α-β)****为正：**

则期望下值![20191031172733208.png][]>0且尽量大。需要![20191031172753915.png][]

且A尽量大，B尽量小。

即人群对甲队期望过低，则尽量在甲队多投，乙队少投。

## 3.4 等额投注收益 ##

等额投注即A=B的情况，

收益为：![2019103117281678.png][]

**如果人群对甲队期望过高，即****(α-β)****为负：**

想要盈利需要![20191031172547484.png][]，即1-β>β

即盈利需要：人群对甲队获胜的期望低于甲队获胜的概率，且投注甲队人数少于1/2

投弱队的人更少。

**如果人群对甲队期望过低，即****(α-β)****为正：**

想要盈利需要![20191031172547526.png][]，即1-β<β

即盈利需要：人群对甲队获胜的期望低于甲队获胜的概率，且投注甲队人数多于1/2

投强队的人更多。

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