PCA构建点云包围盒

比眉伴天荒 2023-06-09 11:27 6阅读 0赞

评价：文章主要讲解PCA生成包围盒的原理，PCA计算点云的特征向量和特征值可以使用**C++编程直接实现**，也可以使用**PCL点云库**，或者使用**Python的numpy函数**实现。

# **注：** #

本文着重讲解的是PCA的原理，代码可以在参考文章中找到。文章中很多公式在word编辑完成，并未在博客中再次编辑，望见谅。

参考的文章：[https://blog.csdn.net/qq\_16775293/article/details/82801240][https_blog.csdn.net_qq_16775293_article_details_82801240]

首先说一下边界体的概念。边界体是用来包围一个三角网格的所有顶点，也就是将所有的三角形包围在边界体内部。同样的包围盒也是类似的将所有的点包围在一个盒子中，这个盒子也分为很多种：AABB包围盒、OBB包围盒、包围球等。本章主要讲的是OBB包围盒。

### **PCA（Principal Component Analysis）主成分分析** ###

主成分分析可以用来计算有多个变量组成的数据集的坐标系空间，数据集的多个变量可以分成多个不相关分量，存在一个顶点位置数组中的x,y,z坐标值就是这样的数据集（点云）。数据集中最不同的方向表示主分量的基本主元。

将每个点设为![P\_\{i\}=<x\_\{i\},y\_\{i\},z\_\{i\}>][P_i_x_i_y_i_z_i],点云就看作![P\_\{1\},P\_\{2\},P\_\{3\},...P\_\{N\},][P_1_P_2_P_3_...P_N] N个点构成的数据集。首先利用以下公式计算位置平均数m

![20181201200018140.png][]

在构建一个协方差矩阵C，

![20181201195025297.png][]

协方差矩阵是由以下六个元素组成的对称矩阵：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQyNTcwMDU4_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

协方差矩阵表示x,y,z坐标值之间的相互关系。若这三个坐标值两两无关，则他们在协方差矩阵上元素的值为0，为了将所有的点集中均匀的沿着坐标轴分布，需要将协方差矩阵转换成对角阵。我们可以利用线性代数里面的内容:

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQyNTcwMDU4_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

以![20181201195511548.png][]作为该对象自然轴对应的方向，下面计算出从顶点沿X、Y、Z三个方向最大和最小位置，根据这些最大值和最小值可以容易的构建出边界盒的六个平面。

为了确定最大和最小的范围，可以通过计算每个顶点位置坐标 ![P\_\{i\}][P_i] 与单位向量的内积来完成。边界盒的6个平面分别为：

![20181201195615696.png][]

边界盒的尺寸就是X,Y,Z三个方向上相应内积的最大值与最小值之差，边界盒的中心O就是三对反向平面中三个平面的交点，令*a,b,c*分别为X,Y,Z上最大值与最小值的平均值：

![20181201200206560.png][]

![2018120120021957.png][]

代码原理在参考的文章中原理简述部分已经说明，在此不再赘述。

PCA在很多地方还可以用到，笔者觉得了协方差矩阵、特征值、特征向量的几何意义是理解PCA的关键。上述代码中还用到四元数，四元数主要用于旋转变化，在后面会再写一篇文章简述一下。

最终代码测试的结果：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQyNTcwMDU4_size_16_color_FFFFFF_t_70 2][]

[https_blog.csdn.net_qq_16775293_article_details_82801240]: https://blog.csdn.net/qq_16775293/article/details/82801240
[P_i_x_i_y_i_z_i]: https://private.codecogs.com/gif.latex?P_%7Bi%7D%3D%3Cx_%7Bi%7D%2Cy_%7Bi%7D%2Cz_%7Bi%7D%3E
[P_1_P_2_P_3_...P_N]: https://private.codecogs.com/gif.latex?P_%7B1%7D%2CP_%7B2%7D%2CP_%7B3%7D%2C...P_%7BN%7D%2C
[20181201200018140.png]: /images/20230531/3a52c9a8388b4fd3af062beaafdf9d27.png
[20181201195025297.png]: /images/20230531/22d9184fb80d49e38b08f428d0e46c03.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQyNTcwMDU4_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20230531/5b4596ff7b5a4462b4595bef5346823f.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQyNTcwMDU4_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: /images/20230531/a482346aa05c482eb7c48659ed605f4f.png
[20181201195511548.png]: /images/20230531/baee437c19824f4894a32a0d8b899f44.png
[P_i]: https://private.codecogs.com/gif.latex?P_%7Bi%7D
[20181201195615696.png]: /images/20230531/27137e6bd1024f618daaa6fcd07c06aa.png
[20181201200206560.png]: /images/20230531/54b4dae9513949828e59deae6cb3fef4.png
[2018120120021957.png]: /images/20230531/e2f8a4783ea74bcaabf7bc2e2049c73a.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQyNTcwMDU4_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]: /images/20230531/91188db1931946ad80cc32eaa6e50078.png