100个白球100个黑球，取出两个球，同色则补充黑色，异色则补充白色。最后剩什么颜色

柔情只为你懂 2023-06-07 05:50 7阅读 0赞

## 【题目描述】 ##

桶中取黑白球

有一个桶，里面有白球、黑球各100个，人们必须按照以下规则把球取出来：  
1、每次从桶中那两个球  
2、如果是两个同色的球，那就再放入一个黑球  
3、如果是两个异色的球，那就再放入一个白球

问：最后桶里面最后剩下一个球是白球和黑球的概率各是多少。

## 【思路解析】 ##

### 思路一：归纳总结 ###

依靠枚举的思路，比如假设黑白球各10个、5个、2个等来分析和推断，然后找规律。

分析过程可以参考《编程之美》第4.6节中的“桶中取黑白球”题。

### 思路二：连续异或 ###

对桶中的球而言，取出2个球共有3种情况：

1、取出两个黑球，放回一个黑球  
2、取出两个白球，放回一个黑球  
2、取出一黑一白，放回一个白球

将上述的过程抽象成为数学上的异或运算：

1、2个黑球变成1个黑球 ==> `1 ^ 1 = 1`  
2、2个白球变成1个黑球 ==>`0 ^ 0 = 1`  
3、1白1黑变成1个白球 ==> `1 ^ 0 = 1`

在上述的抽象的过程中，主要利用了异或的性质：**相同得0，不同得1**。因此可以将同色时放入的黑球用0代替，异色时放入的白球用1代替。

由于异或运算满足结合律(`a ^ b ^ c = a ^ (b ^ c)`)和交换律(`a ^ b = b ^ c`)，那么就有  
`a ^ b ^ c = a ^ c ^ b = b ^ a ^ c = b ^ c ^ a = c ^ a ^ b = c ^ b ^ a`

也就是异或结果与异或的顺序无关，任意的异或顺序最终计算的结果都是一致的。

桶中取出100个黑白球，不断取出2个球放回一个球，就是不断取出两个数异或，并将异或结果放回计算序列。也就是，将所有的数进行异或就是最终的结果。

例如有2个黑球和2个白球，就是`1^ 1 ^ 0 ^ 0 = 0`, 无论任何的取出顺序最终都将获得黑球(对应数字0）

那么，100个黑球和100个白球，也就是100个0和100个1连续异或的结果。连续异或结果是0，也就是最终剩下的一定是黑球。也就是剩下黑球的概率为100%，剩下白球的概率是0。

如果，是5个黑球和5个白球。那么5个1和5个0连续异或，异或的结果是1，那么最终剩下的结果是1，也就是最终剩下的一定是白球。也就是剩下白球的概率是100%，剩下黑球的概率是0。

## 【结论说明】 ##

经过上面的分析，将“桶中取出黑白球”问题抽象为“连续异或计算”的问题，同色放回桶中的球为0，异色放回桶中的球为1。最终异或结果代表剩下的球。

N个白球、N白球。如果N为偶数，那么最终异或结果为0，剩同色放入的球；如果N为奇数，最终异或的结果为1，剩异色放回的球。

如果黑白球颜色不相等，情况可能稍微复杂一些，但是都是进行连续异或的计算。

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参考书籍：《编程之美》第4.6节 桶中取黑白球

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