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绝地灬酷狼 2023-06-01 14:56 6阅读 0赞

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 *  @solution@
 *  @accepted code@
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## @description@ ##

给定一个 n\*m 的 01 矩阵 A，一开始所有格子都为 0。

我们定义一个子矩阵 (x1, y1) - (x2, y2) 是好矩阵，当且仅当 A(x1, y1) = A(x2, y2)；A(x2, y1) = A(x1, y2)；A(x1, y1) ≠ A(x1, y2)。  
其中满足 x1 < x2, y1 < y2。

现有 q 次修改，每次形式为 (a, l, r)，表示将第 a 行的 l~r 个元素全部取反。

现需要在每次修改后判断是否有解。如果有，任意输出一组解。

**Input**  
第一行三个整数 n, m, q (1≤n,m≤2000,1≤q≤500000)。  
接下来 q 行每行三个整数 ai, li, ri，(1≤ai≤n, 1≤li≤ri≤m)。

**Output**  
输出 q 行，第 i 行表示第 i 次操作后的任意一组好矩阵 x1, y1, x2, y2(1≤x1<x2≤n, 1≤y1<y2≤m)。  
若无解输出 -1。

**Examples**  
**Input**  
2 2 6  
1 1 1  
2 2 2  
2 1 1  
1 2 2  
2 2 2  
1 1 1  
**Output**  
\-1  
1 1 2 2  
\-1  
\-1  
\-1  
1 1 2 2

## @solution@ ##

神仙题。

我们记第 i 行形成的二进制数为 Ai；同时 Ai 也可表示一个集合：1 为元素存在，0 为元素不存在。  
我们下文将不加区分，即 Ai 既可以使用集合运算也可以使用二进制运算。

首先考虑假如给定两行 Ai, Aj，怎么才能快速得到解。实际上就是找 Ai 中 0 对应 Aj 中 1；Aj 中 0 对应 Ai 中 1。  
将 Ai 取反得到 Ai'，则 Ai' 中 1 对应 Aj 中 1，将 Ai' 与 Aj 进行 & 运算即可；同理可以将 Aj' 与 Ai 进行 & 运算。  
而以上操作不难使用 bitset 实现。

现在假如两行 Ai 与 Aj 之间没有解意味着什么？要么 Ai' 与 Aj 没有相交部分，即 \\(Ai' \\bigcap Aj = \\phi\\)，等价地就是 \\(Aj \\subset Ai\\)；反过来也可以是 \\(Ai \\subset Aj\\)。  
注意无解时，两行形成偏序关系（包含关系\\(\\subset\\)）。这意味着如果整个局面无解，则所有行形成一个偏序链。  
而同时，这个偏序链是按照集合的大小排序的。

于是就可以设计出算法：我们把所有行用 bitset 维护修改操作。  
对所有行对应的 bitset，按照其包含元素的多少，用 set 来进行维护。  
每次在 set 里面插入删除时，维护 set 相邻两个元素是否为 包含关系\\(\\subset\\)：如果不是，说明这两行之间有解。  
另开一个 set 存储这些行二元组。最后如果该 set 不为空则有解，按照上面的方法找出这样一个解（不过需要手写 bitset 支持 lowbit 查询（**update in 2019/09/28：然而bitset里面可以使用\_Find\_first()函数找到第一个 1 所在的位置。。。**））。

时间复杂度 O(p\*(logn + m/64))。

## @accepted code@ ##

#include<cstdio> #include<set> #include<cstdlib> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; const int MAXN = 2000 + 5; #define BITNUM 64 ull f[BITNUM]; struct bitset{ #define SIZE 32 ull a[SIZE], cnt; bitset() { for(int i=0;i<SIZE;i++) a[i] = 0; } void count() { cnt = 0; for(int i=0;i<SIZE;i++) cnt += __builtin_popcount(a[i]) + __builtin_popcount(a[i] >> 32); } friend bool operator < (const bitset &a, const bitset &b) { return a.cnt < b.cnt; } friend bitset operator &(const bitset &a, const bitset &b) { bitset c; for(int i=0;i<SIZE;i++) c.a[i] = a.a[i] & b.a[i]; return c; } friend bitset operator ^(const bitset &a, const bitset &b) { bitset c; for(int i=0;i<SIZE;i++) c.a[i] = a.a[i] ^ b.a[i]; return c; } friend bitset operator ~(const bitset &a) { bitset c; for(int i=0;i<SIZE;i++) c.a[i] = ~a.a[i]; return c; } friend bool operator == (const bitset &a, const bitset &b) { for(int i=0;i<SIZE;i++) if( a.a[i] != b.a[i] ) return false; return true; } friend bool operator != (const bitset &a, const bitset &b) { return !(a == b); } void set(ull k) { for(int i=0;i<SIZE;i++) { if( k < BITNUM ) { a[i] |= f[k]; break; } else k -= BITNUM; } } ull bit() { for(int i=0;i<SIZE;i++) if( a[i] ) { int l = 0, r = BITNUM - 1; while( l < r ) { int mid = (l + r + 1) >> 1; if( f[mid] <= a[i] ) l = mid; else r = mid - 1; } return l + i*BITNUM; } puts("error"); exit(0); } }; set<pair<bitset, int> >st1; set<pair<bitset, int> >::iterator it1, it2, it3; set<pair<int, int> >st2; set<pair<int, int> >::iterator it; bitset bts[MAXN], b[MAXN]; int n, m, q; bool check(const bitset &a, const bitset &b) { if( (a & b) != a && (a & b) != b ) return true; else return false; } void init() { f[0] = 1; for(int i=1;i<BITNUM;i++) f[i] = f[i-1]<<1; } int main() { init(); scanf("%d%d%d", &n, &m, &q); for(int i=1;i<=m;i++) b[i] = b[i-1], b[i].set(i - 1), b[i].count(); for(int i=0;i<n;i++) st1.insert(make_pair(bts[i], i)); for(int i=1;i<=q;i++) { int a, l, r; scanf("%d%d%d", &a, &l, &r), a--; it1 = st1.find(make_pair(bts[a], a)); if( it1 == st1.begin() ) it2 = st1.end(); else it2 = it1, it2--; it3 = it1, it3++; if( it2 != st1.end() ) { if( check(it2->first, it1->first) ) st2.erase(make_pair(it2->second, a)); } if( it3 != st1.end() ) { if( check(it1->first, it3->first) ) st2.erase(make_pair(a, it3->second)); } if( it2 != st1.end() && it3 != st1.end() ) { if( check(it2->first, it3->first) ) st2.insert(make_pair(it2->second, it3->second)); } st1.erase(make_pair(bts[a], a)); bts[a] = bts[a] ^ b[r] ^ b[l - 1]; bts[a].count(); st1.insert(make_pair(bts[a], a)); it1 = st1.find(make_pair(bts[a], a)); if( it1 == st1.begin() ) it2 = st1.end(); else it2 = it1, it2--; it3 = it1, it3++; if( it2 != st1.end() ) { if( check(it2->first, it1->first) ) st2.insert(make_pair(it2->second, a)); } if( it3 != st1.end() ) { if( check(it1->first, it3->first) ) st2.insert(make_pair(a, it3->second)); } if( it2 != st1.end() && it3 != st1.end() ) if( check(it2->first, it3->first) ) st2.erase(make_pair(it2->second, it3->second)); if( st2.empty() ) { puts("-1"); } else { pair<int, int> p = *st2.begin(); int x1 = min(p.first, p.second), x2 = max(p.first, p.second); int y1 = (bts[p.first] & (~bts[p.second])).bit(); int y2 = (bts[p.second] & (~bts[p.first])).bit(); printf("%d %d %d %d\n", x1 + 1, min(y1, y2) + 1, x2 + 1, max(y1, y2) + 1); } } }

## @details@ ##

**update in 2019/09/28：感谢评论区。其实可以使用\_Find\_first()函数来找到第一个 1 所在位置。不过我懒得改了（**

在网上查了半天确认了 bitset 真的不能用 lowbit。

表示 \_\_builtin\_popcount 函数的参数只能是 long int，调了半天。  
还因为这个函数 T 了几发。。。辣鸡玩意儿

转载于:https://www.cnblogs.com/Tiw-Air-OAO/p/11562256.html