【数学建模】模拟退火算法（最优化）

清疚 2023-03-04 08:20 5阅读 0赞

### 文章目录 ###

*  一、算法介绍
 *   *  1. 退火
     *  2.物理退火
     *  3.模拟退火算法思想
 *  二、适用问题
 *  三、算法总结
 *   *  1. 步骤
 *  四、应用场景举例
 *  五、MATLAB代码
 *  六、实际案例
 *  七、论文案例片段（待完善）

> 模拟退火算法主要针对数学建模问题中的一些小的子问题进行求解，如果想直接使用请跳转至——**四**、**五**  
> [视频回顾][Link 1]

# 一、算法介绍 #

## 1. 退火 ##

退火是指将固体加热到足够高的温度，使分子呈随机排列状态，然后逐步降温使之冷却，最后分子以低能状态排列，固体达到某种稳定状态。

## 2.物理退火 ##

加温过程：增强粒子的热运动，消除系统原先可能存在的非均匀态;

等温过程：对于与环境换热而温度不变的封闭系统，系统状态的自发变化总是朝自由能减少的方向进行，当自由能达到最小时，系统达到平衡态;

冷却过程：使粒子热运动减弱并渐趋有序，系统能量逐渐下降，从而得到低能的晶体结构。

热力学中的退火现象指物体逐渐降温时发生的物理现象:

温度越低，物体的能量状态越低，到达足够的低点时，液体开始冷凝与结晶，在结晶状态时，系统的能量状态最低。缓慢降温时，可达到最低能量状态;但如果快速降温，会导致不是最低能态的非晶形。

大自然知道慢工出细活：  
 缓缓降温，使得物体分子在每一温 度时，能够有足够时间找到安顿位置，则逐渐地，到最后可得到最低能态，系统最稳定。

## 3.模拟退火算法思想 ##

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI1NjAxMzQ1_size_16_color_FFFFFF_t_70]

*  简介：  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI1NjAxMzQ1_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI1NjAxMzQ1_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI1NjAxMzQ1_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI1NjAxMzQ1_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]

# 二、适用问题 #

*  **也是一种贪心算法，近似根据局部最优解进而获得全局最优解，不一定获得全局最优解**
 *  **例如：**

1.  TSP旅行商问题
2.  交通规划减少拥堵
3.  物流规划减少成本
4.  互联网节点设置

# 三、算法总结 #

## 1. 步骤 ##

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI1NjAxMzQ1_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI1NjAxMzQ1_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI1NjAxMzQ1_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]

# 四、应用场景举例 #

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI1NjAxMzQ1_size_16_color_FFFFFF_t_70 8]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI1NjAxMzQ1_size_16_color_FFFFFF_t_70 9]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI1NjAxMzQ1_size_16_color_FFFFFF_t_70 10]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI1NjAxMzQ1_size_16_color_FFFFFF_t_70 11]

# 五、MATLAB代码 #

swap.m
    function [ newpath , position ] = swap( oldpath , number )
    % 对 oldpath 进 行 互 换 操 作
    % number 为 产 生 的 新 路 径 的 个 数
    % position 为 对 应 newpath 互 换 的 位 置
    m = length( oldpath ) ; % 城 市 的 个 数
    newpath = zeros( number , m ) ;
    position = sort( randi( m , number , 2 ) , 2 ); % 随 机 产 生 交 换 的 位 置
    for i = 1 : number
    newpath( i , : ) = oldpath ;
    % 交 换 路 径 中 选 中 的 城 市
    newpath( i , position( i , 1 ) ) = oldpath( position( i , 2 ) ) ;
    newpath( i , position( i , 2 ) ) = oldpath( position( i , 1 ) ) ;
    end
    
    
    pathfare.m
    function [ objval ] = pathfare( fare , path )
    % 计 算 路 径 path 的 代 价 objval
    % path 为 1 到 n 的 排 列 ，代 表 城 市 的 访 问 顺 序 ；
    % fare 为 代 价 矩 阵 ， 且 为 方 阵 。
    [ m , n ] = size( path ) ;
    objval = zeros( 1 , m ) ;
    for i = 1 : m
    for j = 2 : n
    objval( i ) = objval( i ) + fare( path( i , j - 1 ) , path( i , j ) ) ;
    end
    objval( i ) = objval( i ) + fare( path( i , n ) , path( i , 1 ) ) ;
    end
    
    
    distance.m
    function [ fare ] = distance( coord )
    % 根 据 各 城 市 的 距 离 坐 标 求 相 互 之 间 的 距 离
    % fare 为 各 城 市 的 距 离 ， coord 为 各 城 市 的 坐 标
    [ v , m ] = size( coord ) ; % m 为 城 市 的 个 数
    fare = zeros( m ) ;
    for i = 1 : m % 外 层 为 行
    for j = i : m % 内 层 为 列
    fare( i , j ) = ( sum( ( coord( : , i ) - coord( : , j ) ) .^ 2 ) ) ^ 0.5 ;
    fare( j , i ) = fare( i , j ) ; % 距 离 矩 阵 对 称
    end
    end
    
    
    myplot.m
    function [ ] = myplot( path , coord , pathfar )
    % 做 出 路 径 的 图 形
    % path 为 要 做 图 的 路 径 ，coord 为 各 个 城 市 的 坐 标
    % pathfar 为 路 径 path 对 应 的 费 用
    len = length( path ) ;
    clf ;
    hold on ;
    title( [ '近似最短路径如下，路程为' , num2str( pathfar ) ] ) ;
    plot( coord( 1 , : ) , coord( 2 , : ) , 'ok');
    pause( 0.4 ) ;
    for ii = 2 : len
    plot( coord( 1 , path( [ ii - 1 , ii ] ) ) , coord( 2 , path( [ ii - 1 , ii ] ) ) , '-b');
    x = sum( coord( 1 , path( [ ii - 1 , ii ] ) ) ) / 2 ;
    y = sum( coord( 2 , path( [ ii - 1 , ii ] ) ) ) / 2 ;
    text( x , y , [ '(' , num2str( ii - 1 ) , ')' ] ) ;
    pause( 0.4 ) ;
    end
    plot( coord( 1 , path( [ 1 , len ] ) ) , coord( 2 , path( [ 1 , len ] ) ) , '-b' ) ;
    x = sum( coord( 1 , path( [ 1 , len ] ) ) ) / 2 ;
    y = sum( coord( 2 , path( [ 1 , len ] ) ) ) / 2 ;
    text( x , y , [ '(' , num2str( len ) , ')' ] ) ;
    pause( 0.4 ) ;
    hold off ;
    
    
    clear;
    % 程 序 参 数 设 定
    Coord = ... % 城 市 的 坐 标 Coordinates
    [ 0.6683 0.6195 0.4    0.2439 0.1707 0.2293 0.5171 0.8732 0.6878 0.8488 ; ...
      0.2536 0.2634 0.4439 0.1463 0.2293 0.761  0.9414 0.6536 0.5219 0.3609 ] ;
    t0 = 1 ; % 初 温 t0
    iLk = 20 ; % 内 循 环 最 大 迭 代 次 数 iLk
    oLk = 50 ; % 外 循 环 最 大 迭 代 次 数 oLk
    lam = 0.95 ; % λ lambda
    istd = 0.001 ; % 若 内 循 环 函 数 值 方 差 小 于 istd 则 停 止
    ostd = 0.001 ; % 若 外 循 环 函 数 值 方 差 小 于 ostd 则 停 止
    ilen = 5 ; % 内 循 环 保 存 的 目 标 函 数 值 个 数
    olen = 5 ; % 外 循 环 保 存 的 目 标 函 数 值 个 数
    % 程 序 主 体
    m = length( Coord ) ; % 城 市 的 个 数 m
    fare = distance( Coord ) ; % 路 径 费 用 fare
    path = 1 : m ; % 初 始 路 径 path
    pathfar = pathfare( fare , path ) ; % 路 径 费 用 path fare
    ores = zeros( 1 , olen ) ; % 外 循 环 保 存 的 目 标 函 数 值
    e0 = pathfar ; % 能 量 初 值 e0
    t = t0 ; % 温 度 t
    for out = 1 : oLk % 外 循 环 模 拟 退 火 过 程
    ires = zeros( 1 , ilen ) ; % 内 循 环 保 存 的 目 标 函 数 值
    for in = 1 : iLk % 内 循 环 模 拟 热 平 衡 过 程
    [ newpath , v ] = swap( path , 1 ) ; % 产 生 新 状 态
    e1 = pathfare( fare , newpath ) ; % 新 状 态 能 量
    % Metropolis 抽 样 稳 定 准 则
    r = min( 1 , exp( - ( e1 - e0 ) / t ) ) ;
    if rand < r
    path = newpath ; % 更 新 最 佳 状 态
    e0 = e1 ;
    end
    ires = [ ires( 2 : end ) e0 ] ; % 保 存 新 状 态 能 量
    % 内 循 环 终 止 准 则 ：连 续 ilen 个 状 态 能 量 波 动 小 于 istd
    if std( ires , 1 ) < istd
    break ;
    end
    end
    ores = [ ores( 2 : end ) e0 ] ; % 保 存 新 状 态 能 量
    % 外 循 环 终 止 准 则 ：连 续 olen 个 状 态 能 量 波 动 小 于 ostd
    if std( ores , 1 ) < ostd
    break ;
    end
    t = lam * t ;
    end
    pathfar = e0 ;
    % 输 入 结 果
    fprintf( '近似最优路径为：\n ' )
    %disp( char( [ path , path(1) ] + 64 ) ) ;
    disp(path)
    fprintf( '近似最优路径路程\tpathfare=' ) ;
    disp( pathfar ) ;
    myplot( path , Coord , pathfar ) ;

# 六、实际案例 #

Coord = ... % 城 市 的 坐 标 Coordinates
    [ 0.6683 0.6195 0.4    0.2439 0.1707 0.2293 0.5171 0.8732 0.6878 0.8488 ; ...
      0.2536 0.2634 0.4439 0.1463 0.2293 0.761  0.9414 0.6536 0.5219 0.3609 ] ;
      
    Coord = [ 66.83 61.95 40    24.39 17.07 22.93 51.71 87.32 68.78 84.88 50 40 25 ; 
              25.36 26.34 44.39 14.63 22.93 76.1  94.14 65.36 52.19 36.09 30 20 26] ;

# 七、论文案例片段（待完善） #

[Link 1]: https://www.bilibili.com/video/BV12W411X7aE?p=7
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