快速有趣理解极限定义(ε-δ语言)

àì夳堔傛蜴生んèń 2023-03-01 13:55 3阅读 0赞

场景:中秋节，大A带着小A爬青城后山，从山下的客栈出发

小A:表哥，青城山是不是修仙的地方哇

大A:修仙游戏小说看多了吧，别磨磨唧唧了，赶紧出发吧

小A:表哥等等我

半个小时后

小A:表哥，这山到底多高呀，我们爬了山百分之多少了哇？需要爬几个小时呀

大A:还早吧，反正是来玩的，看看风景吧

一个小时后

小A:表哥你走慢点行不行，好累啊，我们是不是快到了

大A:行吧，我们走到前面的亭子歇一会儿，叫你平时锻炼身体不信，这么一会儿就不行了！我也没有来过，不知道我们的进度多少了，看前面的小朋友都比你快！

小A:终于可以缓一口气了，这山是不是没有山顶啊？

大A:废话，没山顶谁还来爬山！

小A:那如何能够说明这山是有顶峰的？

大A:你不是刚大一，学过高数吧？这玩意儿跟极限是如出一辙的

小A:表哥。爬个山还要学高数，至于吗？

(心想:其实我第一章就没学懂，只会用，那么晦涩的定义，写这书的人真是有毛病)

大A:看样子你是没学懂极限的定义，如果山有顶峰，我们可不可以理解成存在极限呢？

小A:这好理解嘛，如果山存在顶峰，说明它的高度是确定的，山高的数值就确定，当然也可以认为存在极限，不过这怎么可以跟极限的定义联系上呢？

大A:那你回顾一下极限定义是如何叙述的？

小A:(心想:卧槽，还好刚学背过概念)

存在一个x0，对于任意的x>x0时，存在一个ε>0，使得|f(x)-L|<ε，那么f(x))极限为L

大A:不错嘛，大致没记错，仔细看看跟爬山有什么相似之处

小A似懂非懂的想了想，一脸懵逼，说道:不知道呢？不带这么虐我的

大A:哈哈，所以说刚才的概念肯定是背住的，其实很好理解，你想为什么概念里会说存在一个x0？

小A:这不是定义嘛，我怎么知道学数学的怪咖为何这样写的

大A:其实x0就是起点，我们不管去哪儿都有一个起点对吧，在这个情景中，x0就是我们出发的客栈的位置

小A:那干嘛要有起点呀？我们爬山不关心起点在哪儿啊

大A:你说的没错，我们爬山确实不用关心起点在哪里，但是对于严谨的数学来说，不给起点，谁知道你何时何地出发的，没办法给出严谨的定义。我再举个栗子，你高中自学易语言的时候变量干嘛要初始化才能用

小A:不给初始化，计算机真的不知道它是什么东西，也就没法运行了

大A:对嘛，所有的程序语言都是这样，所以计算机才会给出一个默认值，假如你不初始化，它用默认值给你初始化。扯得有点远了，不管是理解抽象的计算机程序还是数学定义，实际上我们可以好比飞机降落，飞机假如找不到一个确定的地点降落，乘客就没法下机回家了，永远飘在空中

小A:嗯嗯，x0我基本上差不多没什么问题了，那定义里为什么x需要任意呢？

大A:试想一下，如果x不是任意的。好比我们登山，你抬头看山上的亭子，如果不任意，那么那个亭子也是满足定义的，这个亭子是山的顶峰(极限)吗？而且，很有可能，就算极限不存在，也是可以找到这样的亭子的。所以，我们一定要任意，也就是所有的，这样才严谨

小A:好吧，那定义ε有什么意义呢？

大A:这ε可以理解成，我们离山顶还有多远，假如这个山不存在山顶(极限)，那么这个ε一定不可能存在，反之，ε存在山顶一定存在，有没有觉得，这不就是高中学的逆否命题。

小A:好吧，既然是登山，干嘛需要绝对值符号？

大A:数学的世界不总是跟现实生活一样的啦(因为我们走不能爬比山还高的路)，这个主要是为了保证在我们不断找极限的过程中，有可能存在一些值比L大，但是它们也是朝着极限的方向前进的不是吗?

小A:表哥快看，前面有个湖，我们也就乘船，是不是快到了呀

大A去问了问游客，才怕到一半的路程

## 注：这个是转自本人知乎的文章，绝不是抄袭 ##

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