基础算法题——画树（卡特兰数）

桃扇骨 2023-03-01 03:11 7阅读 0赞

##### 卡特兰数简介 #####

> 卡特兰数又称卡塔兰数，英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。
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> 卡特兰数前几项为 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …
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> 
> 应用  
> 括号化、出栈次序、凸多边形三角划分、  
> 给定节点组成二叉树
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> 卡特兰数有多种递推式，最普遍的递推式：  
> h(n)= h(0)\*h(n-1)+h(1)\*h(n-2) + … + h(n-1)h(0) (n>=2)  
> [卡特兰数详解][Link 1]

#### 画树 ####

[题目链接][Link 2]  
JM最近学习了二叉树，现在他想画一棵8个节点的二叉树，节点编号1，2，…，8，根节点编号为1  
请你帮忙计算一下，JM总共有多少种不同的画法。

注意：  
一个树如果形状相同，但是对应的节点编号不一样，也认为是两个不同的画法。  
二叉树不可旋转，即：左右子树交换视为不同的画法。

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简析：  
排除编号 1 根节点只有 7 个编号能排序  
第 n 个卡特兰数代表 n 个节点的二叉树画法

结果： 7 个编号全排列 \* 第 8 个卡特兰数

#include<stdio.h>
    int fact[10], f[10];
    int main(){ 
    	//全排列 
    	fact[0]=1;
    	for(int i=1; i<=8; i++){ 
    		fact[i] = fact[i-1] * i;
    	} 
    	//卡特兰数
    	f[0]=f[1]=1;
    	for(int i=2; i<=8; i++){ 
    		for(int j=0; j<i; j++){ 
    			f[i] += f[j] * f[i-j-1]; 
    		}
    	}
    	printf("%d", f[8]*fact[7]);
    	
    	return 0;
    }

[Link 1]: https://blog.csdn.net/zuzhiang/article/details/77966726?ops_request_misc=%257B%2522request%255Fid%2522%253A%2522159533399019725211942175%2522%252C%2522scm%2522%253A%252220140713.130102334..%2522%257D&request_id=159533399019725211942175&biz_id=0&utm_medium=distribute.pc_search_result.none-task-blog-2~all~first_rank_ecpm_v3~pc_rank_v2-1-77966726.first_rank_ecpm_v3_pc_rank_v2&utm_term=%E5%8D%A1%E7%89%B9%E5%85%B0%E6%95%B0&spm=1018.2118.3001.4187
[Link 2]: http://oj.hzjingma.com/contest/problem?id=140&pid=4