数学建模-模拟退火算法

港控/mmm° 2023-02-23 07:53 4阅读 0赞

有这么一个古老问题，被称为旅行商问题 ( TSP , Traveling Salesman Problem ) ，是数学领域中著名的问题，问题内容是这样的：有这么一个旅行商人，他要拜访n个城市，但是每次走的路径是有限制的，即每个城市只能拜访一次，并且最后要回到原来出发的城市。如何选择路径使得总路程为最小值。

之所以著名是因为这个问题至今还没有找到一个有效的算法。如果想精确的求解只能只能通过穷举所有的路径组合但是随着城市数量的增加其复杂度会很高。

不过还好，我们有模拟退火算法，当然它不能精确的求解这个问题，不过他能近似的求解这个问题。具体做法如下：  
　　1. 设定初始温度T0，并且随机选择一条遍历路径P(i)作为初始路径，算出其长度L(P(i))；  
　　2. 随机产生一条新的遍历路径P(i+1)，算出其长度L(P(i + 1));  
　　3. 若L(P(i + 1)) < L(P(i))，则接收P(i + 1)为新路径，否则以模拟退火的概率接收P(i + 1)，然后降温  
　　4. 重复步骤1和2直至温度达到最低值Tmin。

## main.m ##

clear;
    % 程 序 参 数 设 定
    Coord = ... % 城 市 的 坐 标 Coordinates
    [ 66.83 61.95 40    24.39 17.07 22.93 51.71 87.32 68.78 84.88 50 40 25 ; 
      25.36 26.34 44.39 14.63 22.93 76.1  94.14 65.36 52.19 36.09 30 20 26] ;
    t0 = 1 ; % 初 温 t0
    iLk = 20 ; % 内 循 环 最 大 迭 代 次 数 iLk
    oLk = 50 ; % 外 循 环 最 大 迭 代 次 数 oLk
    lam = 0.95 ; % λ lambda
    istd = 0.001 ; % 若 内 循 环 函 数 值 方 差 小 于 istd 则 停 止
    ostd = 0.001 ; % 若 外 循 环 函 数 值 方 差 小 于 ostd 则 停 止
    ilen = 5 ; % 内 循 环 保 存 的 目 标 函 数 值 个 数
    olen = 5 ; % 外 循 环 保 存 的 目 标 函 数 值 个 数
    % 程 序 主 体
    m = length( Coord ) ; % 城 市 的 个 数 m
    fare = distance( Coord ) ; % 路 径 费 用 fare
    path = 1 : m ; % 初 始 路 径 path
    pathfar = pathfare( fare , path ) ; % 路 径 费 用 path fare
    ores = zeros( 1 , olen ) ; % 外 循 环 保 存 的 目 标 函 数 值
    e0 = pathfar ; % 能 量 初 值 e0
    t = t0 ; % 温 度 t
    for out = 1 : oLk % 外 循 环 模 拟 退 火 过 程
    ires = zeros( 1 , ilen ) ; % 内 循 环 保 存 的 目 标 函 数 值
    for in = 1 : iLk % 内 循 环 模 拟 热 平 衡 过 程
    [ newpath , v ] = swap( path , 1 ) ; % 产 生 新 状 态
    e1 = pathfare( fare , newpath ) ; % 新 状 态 能 量
    % Metropolis 抽 样 稳 定 准 则
    r = min( 1 , exp( - ( e1 - e0 ) / t ) ) ;
    if rand < r
    path = newpath ; % 更 新 最 佳 状 态
    e0 = e1 ;
    end
    ires = [ ires( 2 : end ) e0 ] ; % 保 存 新 状 态 能 量
    % 内 循 环 终 止 准 则 ：连 续 ilen 个 状 态 能 量 波 动 小 于 istd
    if std( ires , 1 ) < istd
    break ;
    end
    end
    ores = [ ores( 2 : end ) e0 ] ; % 保 存 新 状 态 能 量
    % 外 循 环 终 止 准 则 ：连 续 olen 个 状 态 能 量 波 动 小 于 ostd
    if std( ores , 1 ) < ostd
    break ;
    end
    t = lam * t ;
    end
    pathfar = e0 ;
    % 输 入 结 果
    fprintf( '近似最优路径为：\n ' )
    %disp( char( [ path , path(1) ] + 64 ) ) ;
    disp(path)
    fprintf( '近似最优路径路程\tpathfare=' ) ;
    disp( pathfar ) ;
    myplot( path , Coord , pathfar ) ;

swap.m

function [ newpath , position ] = swap( oldpath , number )
    % 对 oldpath 进 行 互 换 操 作
    % number 为 产 生 的 新 路 径 的 个 数
    % position 为 对 应 newpath 互 换 的 位 置
    m = length( oldpath ) ; % 城 市 的 个 数
    newpath = zeros( number , m ) ;
    position = sort( randi( m , number , 2 ) , 2 ); % 随 机 产 生 交 换 的 位 置
    for i = 1 : number
    newpath( i , : ) = oldpath ;
    % 交 换 路 径 中 选 中 的 城 市
    newpath( i , position( i , 1 ) ) = oldpath( position( i , 2 ) ) ;
    newpath( i , position( i , 2 ) ) = oldpath( position( i , 1 ) ) ;
    end

pathfare.m

function [ objval ] = pathfare( fare , path )
    % 计 算 路 径 path 的 代 价 objval
    % path 为 1 到 n 的 排 列 ，代 表 城 市 的 访 问 顺 序 ；
    % fare 为 代 价 矩 阵 ， 且 为 方 阵 。
    [ m , n ] = size( path ) ;
    objval = zeros( 1 , m ) ;
    for i = 1 : m
    for j = 2 : n
    objval( i ) = objval( i ) + fare( path( i , j - 1 ) , path( i , j ) ) ;
    end
    objval( i ) = objval( i ) + fare( path( i , n ) , path( i , 1 ) ) ;
    end

myplot.m

function [ ] = myplot( path , coord , pathfar )
    % 做 出 路 径 的 图 形
    % path 为 要 做 图 的 路 径 ，coord 为 各 个 城 市 的 坐 标
    % pathfar 为 路 径 path 对 应 的 费 用
    len = length( path ) ;
    clf ;
    hold on ;
    title( [ '近似最短路径如下，路程为' , num2str( pathfar ) ] ) ;
    plot( coord( 1 , : ) , coord( 2 , : ) , 'ok');
    pause( 0.4 ) ;
    for ii = 2 : len
    plot( coord( 1 , path( [ ii - 1 , ii ] ) ) , coord( 2 , path( [ ii - 1 , ii ] ) ) , '-b');
    x = sum( coord( 1 , path( [ ii - 1 , ii ] ) ) ) / 2 ;
    y = sum( coord( 2 , path( [ ii - 1 , ii ] ) ) ) / 2 ;
    text( x , y , [ '(' , num2str( ii - 1 ) , ')' ] ) ;
    pause( 0.4 ) ;
    end
    plot( coord( 1 , path( [ 1 , len ] ) ) , coord( 2 , path( [ 1 , len ] ) ) , '-b' ) ;
    x = sum( coord( 1 , path( [ 1 , len ] ) ) ) / 2 ;
    y = sum( coord( 2 , path( [ 1 , len ] ) ) ) / 2 ;
    text( x , y , [ '(' , num2str( len ) , ')' ] ) ;
    pause( 0.4 ) ;
    hold off ;

distance.m

function [ fare ] = distance( coord )
    % 根 据 各 城 市 的 距 离 坐 标 求 相 互 之 间 的 距 离
    % fare 为 各 城 市 的 距 离 ， coord 为 各 城 市 的 坐 标
    [ v , m ] = size( coord ) ; % m 为 城 市 的 个 数
    fare = zeros( m ) ;
    for i = 1 : m % 外 层 为 行
    for j = i : m % 内 层 为 列
    fare( i , j ) = ( sum( ( coord( : , i ) - coord( : , j ) ) .^ 2 ) ) ^ 0.5 ;
    fare( j , i ) = fare( i , j ) ; % 距 离 矩 阵 对 称
    end
    end

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