高等数学：8.2 数量积、向量积、混合积

小鱼儿 2023-02-22 10:53 6阅读 0赞

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# 一、两向量的数量积 #

数量积：  
 a ⋅ b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos ⁡ θ , a ⋅ a = ∣ a ∣ 2 \\boldsymbol a \\cdot \\boldsymbol b=|\\boldsymbol a||\\boldsymbol b| \\cos \\theta, \\quad \\boldsymbol a \\cdot \\boldsymbol a=|\\boldsymbol a|^2 a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ,a⋅a=∣a∣2

交换律：  
 a ⋅ b = b ⋅ a \\boldsymbol a \\cdot \\boldsymbol b=\\boldsymbol b \\cdot \\boldsymbol a a⋅b=b⋅a

分配律：  
 ( a + b ) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c (\\boldsymbol a + \\boldsymbol b)\\cdot \\boldsymbol c=\\boldsymbol a \\cdot \\boldsymbol c+ \\boldsymbol b \\cdot \\boldsymbol c (a\+b)⋅c=a⋅c\+b⋅c

结合律：  
 ( λ a ) ⋅ b = λ ( a ⋅ b ) (\\lambda \\boldsymbol a) \\cdot \\boldsymbol b=\\lambda (\\boldsymbol a \\cdot \\boldsymbol b) (λa)⋅b=λ(a⋅b)

坐标表示：  
 a ⋅ b = ( a x b x + a y b y + a z b z ) \\boldsymbol a \\cdot \\boldsymbol b=(a\_xb\_x+a\_yb\_y+a\_zb\_z) a⋅b=(axbx\+ayby\+azbz)

几何意义：两向量的数量积等于一个向量的模和另一向量在这向量的方向上的投影的乘积。  
 a ⋅ b = ∣ a ∣ P r j a b = ∣ b ∣ P r j b a \\quad \\boldsymbol a \\cdot \\boldsymbol b=|\\boldsymbol a|Prj\_a \\boldsymbol b =|\\boldsymbol b|Prj\_b \\boldsymbol a a⋅b=∣a∣Prjab=∣b∣Prjba

向量 a ⊥ b \\boldsymbol a \\bot \\boldsymbol b a⊥b的充分必要条件：  
 a ⋅ b = 0 \\boldsymbol a \\cdot \\boldsymbol b=0 a⋅b=0

# 二、两向量的向量积 #

向量积：  
 a × b = c , a × a = 0 \\boldsymbol a \\times \\boldsymbol b = \\boldsymbol c, \\quad \\boldsymbol a \\times \\boldsymbol a=\\boldsymbol 0 a×b=c,a×a=0

反交换律：  
 a × b = − b × a \\boldsymbol a \\times \\boldsymbol b=-\\boldsymbol b \\times \\boldsymbol a a×b=−b×a

分配律：  
 ( a + b ) × c = a × c + b × c ( \\boldsymbol a + \\boldsymbol b) \\times \\boldsymbol c=\\boldsymbol a \\times \\boldsymbol c + \\boldsymbol b \\times\\boldsymbol c (a\+b)×c=a×c\+b×c

结合律：  
 ( λ a ) × b = a × ( λ b ) = λ ( a × b ) (\\lambda \\boldsymbol a) \\times \\boldsymbol b =\\boldsymbol a \\times (\\lambda \\boldsymbol b) = \\lambda (\\boldsymbol a \\times \\boldsymbol b) (λa)×b=a×(λb)=λ(a×b)

坐标表达式：  
 a × b = ( a y b z − a z b y ) i + ( a z b x − a x b z ) j + ( a x b y − a y b x ) k = ∣ i j k a x a y a z b x b y b z ∣ \\boldsymbol a \\times\\boldsymbol b= (a\_yb\_z-a\_zb\_y)\\boldsymbol i +(a\_zb\_x-a\_xb\_z)\\boldsymbol j + (a\_xb\_y-a\_yb\_x)\\boldsymbol k = \\begin\{vmatrix\} i & j &k \\\\ a\_x & a\_y & a\_z \\\\ b\_x & b\_y & b\_z \\end\{vmatrix\} a×b=(aybz−azby)i\+(azbx−axbz)j\+(axby−aybx)k=∣∣∣∣∣∣iaxbxjaybykazbz∣∣∣∣∣∣

几何意义：向量积的模等于以这两个向量为边的平行四边形的面积。  
 ∣ c ∣ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ sin ⁡ θ |\\boldsymbol c|=|\\boldsymbol a||\\boldsymbol b| \\sin \\theta ∣c∣=∣a∣∣b∣sinθ

向量 a ∥ b \\boldsymbol a \\parallel \\boldsymbol b a∥b的充分必要条件：  
 a × b = 0 \\boldsymbol a \\times \\boldsymbol b=0 a×b=0

# 三、向量的混合积 #

混合积：  
 \[ a b c \] = ( a × b ) ⋅ c \[\\boldsymbol a \\boldsymbol b \\boldsymbol c\]=(\\boldsymbol a \\times \\boldsymbol b) \\cdot \\boldsymbol c \[abc\]=(a×b)⋅c

坐标表达式：  
 \[ a b c \] = ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ \[\\boldsymbol a \\boldsymbol b \\boldsymbol c\] = \\begin\{vmatrix\} a\_x & a\_y & a\_z \\\\ b\_x & b\_y & b\_z \\\\ c\_x & c\_y & c\_z \\end\{vmatrix\} \[abc\]=∣∣∣∣∣∣axbxcxaybycyazbzcz∣∣∣∣∣∣

几何意义：混合积的绝对值等于以这三个向量为棱的平行六面体的体积。  
 ∣ \[ a b c \] ∣ = ∣ a × b ∣ ∣ c ∣ ∣ cos ⁡ α ∣ |\[\\boldsymbol a \\boldsymbol b \\boldsymbol c\]| = | \\boldsymbol a \\times \\boldsymbol b | | \\boldsymbol c||\\cos \\alpha | ∣\[abc\]∣=∣a×b∣∣c∣∣cosα∣

三向量 a 、 b 、 c \\boldsymbol a、 \\boldsymbol b、 \\boldsymbol c a、b、c共面的充分必要条件：  
 \[ a b c \] = 0 \[\\boldsymbol a \\boldsymbol b \\boldsymbol c\]=0 \[abc\]=0