深度学习 | 【03】梯度下降法

忘是亡心i 2023-01-21 09:21 233阅读 0赞

### 文章目录 ###

*   *  梯度下降和方向传播
     *   *   *  1、 什么是梯度
             *  2、 偏导的计算
             *   *  2.1 常见的导数计算
                 *  2.2 多元函数求偏导
             *  3、方向传播算法
             *   *  3.1 计算图和反向传播
             *  4、神经网络中的方向传播
             *   *  4.1 神经网络的示意图
                 *  4.2 神经网络的计算图
             *  5、pytorch中实现
             *   *  5.1 向前计算
                 *  5.2 梯度计算
             *  6、线性回归简单实现

## 梯度下降和方向传播 ##

#### 1、 什么是梯度 ####

> 是一个向量，导数+变化最快的方向(学习的前进方向)即多元函数参数的变化趋势。  
> ![在这里插入图片描述][20210515200347705.png]

> --------------------
> 
> **机器学习**
> 
>  *  收集数据`x`，构建机器学习模型`f`，得到 `f(x, w) = 预测值`
>  *  判断模型好坏的方法：
>     
>      *  `loss = (预测值 - 真实值)^2` \- 回归损失
>      *  `loss = 真实值 * log(预测值)` \- 分类损失
>  *  为了减低loss，通过调整参数w来实现  
>     ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70]
>  *  随机选择一个起始点v0， 通过调整w0，让loss函数取到最小值  
>     ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]
>  *  w的更新方法：
>     
>      *  计算w的梯度 -> 导数：  
>         ![在这里插入图片描述][20210515105826811.png]
>      *  更新w：  
>         ![在这里插入图片描述][20210515105844994.png]
>  *  其中：
>     
>      *  梯度的导数<0，则w将增加；
>      *  梯度的倒数>0，则w将减小。

#### 2、 偏导的计算 ####

##### 2.1 常见的导数计算 #####

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

> 导数微分：

![在这里插入图片描述][2021051511082624.png]

##### 2.2 多元函数求偏导 #####

> 多元函数有着多个自变量。在求偏导过程中，对某一个自变量求导，其他自 变量当作常量即可。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]

#### 3、方向传播算法 ####

##### 3.1 计算图和反向传播 #####

> 计算图：通过图的方式来描述函数的图形。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]

> 将其绘制成计算图可表示为以下图片。进而，可清楚的看清计算的方向以及过程。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]

> 求偏导

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]

> 方向传播的过程是一个上图的从右往左的过程，自变量a，b，c各自的偏导就是连线上的梯度的乘积。

#### 4、神经网络中的方向传播 ####

##### 4.1 神经网络的示意图 #####

>  *  w1, w2……wn表示网络第n层权重；  
>     wn\[i,j\]表示第n层第i个神经元，连接到第n+1层第j个神经元的权重。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]

##### 4.2 神经网络的计算图 #####

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 8]

>  *  ▽out是根据损失函数对`预测值`进行`求导`得到的结果；
>  *  `f`函数可以理解为激活函数。

**缺点**

> 当模型打的时候，计算量会非常大。  
> 因此，反向传播的思想就是对其中一个参数单独求梯度，之后更新，在计算下一层。

**通用描述**  
![在这里插入图片描述][20210515153208479.png]

#### 5、pytorch中实现 ####

##### 5.1 向前计算 #####

> 对于pytorch中的一个tensor，如果设置它的属性 `.requires_grad` 为True，那么它将会追踪对于该张量的所有操作。或者可以理解为，这个`tensor`是一个参数，后续会被计算梯度，更新该参数。

**5.1.1 计算过程**

> 若要对x进行梯度计算，则在运算过程中，设置它的`requires_grad`为`true`即可记录下前面的操作。  
> 而`grad_fn`能够组成一个计算图。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 9]  
**5.1.2 requires\_grad和grad\_fn**

>  *  可通过该tensor的属性`.`传入`True`直接修改。可使用`grad_fn`查看
>  *  若不想记录的步骤，可放在`with torch.no_grad()`中就不会对其进行梯度计算。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 10]

##### 5.2 梯度计算 #####

> **注意:**
> 
>  *  在输出为一个标量的情况下，我们可以调用输出tensor的backword()方法，但是在数据是一个向量的时候，调用backward()的时候还需要传入其他参数。
>  *  很多时候我们的损失函数都是一个标量，所以这里就不再介绍损失为向量的情况。
>  *  `loss.backward()`就是根据损失函数，对参数`(requires_grad=True)`的去计算他的梯度，并且把它累加保存到`x.gard` ，此时还并未更新其梯度
>  *  `requires_grad=True`不能直接转换，需要使用`tensor.datach.numpy()`

#### 6、线性回归简单实现 ####

# -*- coding: utf-8 -*-
    """ @Time : 2021/5/15 17:50 @Author : XXX @Site : @File : Demolos.py @Software: PyCharm """
    import torch
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    # 学习率
    learning_rate = 0.01
    
    # 通过随机数获取数据
    x = torch.rand([400, 1])
    y_true = x*2 + 0.2
    
    # 构建俩个参数，模拟x，y
    w = torch.rand([1,1], requires_grad=True)
    b = torch.tensor(0, requires_grad=True, dtype=torch.float32)
    
    
    
    for i in range(2500):
        y_pre = torch.matmul(x, w) + b  # 预测值
        loss = (y_true-y_pre).pow(2).mean() # 均方误差
    
        # 若w，b的grid置0， backward将在其中累积(添加)梯度。
        if w.grad is not None:
            w.grad.data.zero_()
        if b.grad is not None:
            b.grad.data.zero_()
    
        loss.backward()     # 反向传播
        w.data = w.data - learning_rate*w.grad
        b.data = b.data - learning_rate*b.grad
        if i==1999:
            print(w.data, b.data, loss)
    
    plt.figure(figsize=(20, 8), dpi=80)
    plt.scatter(x.view(-1), y_true.view(-1))    # 绘制散点图
    y_pre = torch.matmul(x, w) + b
    plt.plot(x.view(-1), y_pre.detach().numpy().reshape(-1))
    
    plt.show()

**运行结果**  
![在这里插入图片描述][20210515210452845.png]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 11]

[20210515200347705.png]: /images/20221020/cde1ecfaa76042e4bec7d0772310f5ba.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20221020/5a3d442e4824456d8b774e0cca709065.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: /images/20221020/bf01f5040940433590f9b5272613b613.png
[20210515105826811.png]: /images/20221020/443ca007f8014f54a59a75bb1cb24cb9.png
[20210515105844994.png]: /images/20221020/9ba6d5b6bdd14d498ad61606df206e89.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]: /images/20221020/2f715e6ab3224d1ba2c55f4370d46a08.png
[2021051511082624.png]: /images/20221020/942fb9c5d08a47b1af807ea4edb89d2a.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]: /images/20221020/a0e40ce0cbb04b5baf82ddf2d08cffc6.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]: /images/20221020/dfbfdffb1aad4f718f1d0bd2cbe82868.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]: /images/20221020/3a0a0995532f48c3a505f0d003c45693.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]: /images/20221020/e1d00b0435b84e8789ca26706af9d8d7.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]: /images/20221020/0cbc6f80bc5340f69e60537e786274cb.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 8]: /images/20221020/d618c4cbaadf492ea16124a89c2244a3.png
[20210515153208479.png]: /images/20221020/ab228bc0aad74099bc2e3b68f26e583e.png
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[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 10]: /images/20221020/3d537f4558c047cc922c7d8c63278631.png
[20210515210452845.png]: /images/20221020/cff14330f7b840d899642c9c5e14216c.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 11]: /images/20221020/f70e2e90fac34b52932e5034dd7ba41e.png