【Paper Note】模型蒸馏Model Distilling

左手的ㄟ右手 2023-01-17 12:54 119阅读 0赞

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3JvZ3Vlc2ly_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
这篇论文是Hinton在15年提出的，为了提升模型的有效性，模型的复杂度的不断增加，上线实时提供服务成了难题，而知识蒸馏的思路正好可以解决这个问题，同时模型的效果相比复杂模型也不会下降太多。  
论文中以生物中蝴蝶变态发育作类比介绍知识蒸馏：通过不同的形态，完成同样的使命（任务）。  
Hinton提出可以通过一个简单模型直接学习复杂模型的概率分布结果，如果one-hot的目标是一种hard-targets，那么这种就是一种soft-targets。

一种方法是直接比较logits来避免这个问题。具体地，对于每一条数据，记原模型产生的某个logits是  v i v\_i vi ，新模型产生的logits是  z i z\_i zi ，我们需要最小化  
 1 2 ( z i − v i ) 2 (1) \\frac\{1\}\{2\}(z\_i-v\_i)^2 \\tag\{1\} 21(zi−vi)2(1)

Hinton提出了升温蒸馏的概念，温度就是其中的关键点，升温蒸馏，降温预测，完美。

其中温度T就是用来做平滑的，T越大，平滑力度越大，使得轻量模型学习时可以关注到那些概率很小的类别；T越小，则相反，T=1时，就是平常所见的概率分布。

考虑一个广义的softmax函数：  
 q i = e x p ( z i / T ) ∑ j e x p ( z j / T ) (2) q\_i=\\frac\{exp(z\_i/T)\}\{\\sum\_j\{exp(z\_j/T)\}\} \\tag\{2\} qi=∑jexp(zj/T)exp(zi/T)(2)  
可以证明，上面的logit值作为训练目标是这种方法的一种特例，总是可以通过调整T来达到。其中  T T T 是温度，这是从统计力学中的玻尔兹曼分布中借用的概念。容易证明，当温度  T T T 趋向于0时，softmax输出将收敛为一个one-hot向量；温度  T T T 趋向于无穷时，softmax的输出则更「软」。因此，在训练新模型的时候，可以使用较高的  T T T 使得softmax产生的分布足够软，这时让新模型（同样温度下）的softmax输出近似原模型；在训练结束以后再使用正常的温度  T = 1 T=1 T=1 来预测。具体地，在训练时我们需要最小化两个分布的交叉熵(Cross-entropy)，记新模型利用公式 (2) 产生的分布是  q q q ，原模型产生的分布是  p p p ，则我们需要最小化

C = − p T log ⁡ q (3) C=-p^T\\log q \\tag\{3\} C=−pTlogq(3)

下面计算交叉熵损失对softmax输入的梯度，由链式法则，有：  
 ∂ C ∂ z = ∂ C ∂ q ∂ q ∂ z (4) \\frac\{\\partial C\}\{\\partial z\}=\\frac\{\\partial C\}\{\\partial q\} \\frac\{\\partial q\}\{\\partial z\} \\tag\{4\} ∂z∂C=∂q∂C∂z∂q(4)

由于式（3）中的  p p p 是原模型产生的softmax输出，与  z z z 无关。  
结合式（3）可得：  
 ∂ C ∂ q i = − p i q i (5) \\frac\{\\partial C\}\{\\partial q\_i\} = -\\frac\{p\_i\}\{q\_i\} \\tag\{5\} ∂qi∂C=−qipi(5)  
所以，  
 ∂ C ∂ q = \[ − p 1 q 1 − p 2 q 2 ⋮ − p n q n \] (6) \\frac\{\\partial C\}\{\\partial q\} = \\left\[ \\begin\{matrix\} -\\frac\{p\_1\}\{q\_1\} \\\\ -\\frac\{p\_2\}\{q\_2\} \\\\ \\vdots \\\\ -\\frac\{p\_n\}\{q\_n\} \\end\{matrix\}\\right\] \\tag\{6\} ∂q∂C=⎣⎢⎢⎢⎡−q1p1−q2p2⋮−qnpn⎦⎥⎥⎥⎤(6)

式（4）中， ∂ q ∂ z \\frac\{\\partial q\}\{\\partial z\} ∂z∂q 是一个  n × n n \\times n n×n 的方阵，分类讨论可以得到。  
记  Z = ∑ k e x p ( z k / T ) Z=\\sum\_\{k\}exp(z\_k/T) Z=∑kexp(zk/T)，由除法的求到公式，输出  q i q\_i qi 对输入  z j z\_j zj 的偏导为：  
 ∂ q i ∂ z j = 1 Z 2 ( Z ∂ e x p ( z i / T ) ∂ z j − e x p ( z i / T ) ∂ Z ∂ z j ) = 1 Z 2 ( Z ∂ e x p ( z i / T ) ∂ z j − e x p ( z i / T ) ⋅ 1 T e x p ( z j / T ) ) = 1 Z ∂ e x p ( z i / T ) ∂ z j − 1 T Z 2 e x p ( z i / T ) e x p ( z j / T ) = 1 Z ∂ e x p ( z i / T ) ∂ z j − 1 T e x p ( z i / T ) Z e x p ( z j / T ) Z = 1 Z ∂ e x p ( z i / T ) ∂ z j − 1 T q i q j (7) \\begin\{aligned\} \\frac\{\\partial q\_i\}\{\\partial z\_j\} &= \\frac\{1\}\{Z^2\}(Z \\frac\{\\partial \{exp(z\_i/T)\}\}\{\\partial z\_j\} - exp(z\_i/T) \\frac\{\\partial Z\}\{\\partial z\_j\}) \\\\ &= \\frac\{1\}\{Z^2\}(Z \\frac\{\\partial \{exp(z\_i/T)\}\}\{\\partial z\_j\} - exp(z\_i/T) \\cdot \\frac\{1\}\{T\}exp(z\_j/T)) \\\\ &= \\frac\{1\}\{Z\} \\frac\{\\partial exp(z\_i/T)\}\{\\partial z\_j\}-\\frac\{1\}\{TZ^2\}exp(z\_i/T)exp(z\_j/T) \\\\ &= \\frac\{1\}\{Z\}\\frac\{\\partial exp(z\_i/T)\}\{\\partial z\_j\} - \\frac\{1\}\{T\}\\frac\{exp(z\_i/T)\}\{Z\} \\frac\{exp(z\_j/T)\}\{Z\} \\\\ &= \\frac\{1\}\{Z\}\\frac\{\\partial exp(z\_i/T)\}\{\\partial z\_j\} - \\frac\{1\}\{T\}q\_iq\_j \\end\{aligned\} \\tag\{7\} ∂zj∂qi=Z21(Z∂zj∂exp(zi/T)−exp(zi/T)∂zj∂Z)=Z21(Z∂zj∂exp(zi/T)−exp(zi/T)⋅T1exp(zj/T))=Z1∂zj∂exp(zi/T)−TZ21exp(zi/T)exp(zj/T)=Z1∂zj∂exp(zi/T)−T1Zexp(zi/T)Zexp(zj/T)=Z1∂zj∂exp(zi/T)−T1qiqj(7)  
对  ∂ e x p ( z i / T ) ∂ z j \\frac\{\\partial exp(z\_i/T)\}\{\\partial z\_j\} ∂zj∂exp(zi/T) 分类讨论得到：  
 ∂ e x p ( z i / T ) ∂ z j = \{ 1 T e x p ( z i / T ) i = j 0 i ≠ j (8) \\frac\{\\partial exp(z\_i/T)\}\{\\partial z\_j\} = \\left\\\{ \\begin\{array\}\{rcl\} \\frac\{1\}\{T\}exp(z\_i/T) & & \{i = j\} \\\\ 0 & & \{i \\neq j\} \\end\{array\} \\right. \\tag\{8\} ∂zj∂exp(zi/T)=\{ T1exp(zi/T)0i=ji=j(8)

将式（8）带入式（7），得到：  
 ∂ q i ∂ z j = \{ 1 T ( e x p ( z i / T ) Z − q i q j ) i = j − 1 T q i q j i ≠ j = \{ 1 T ( q i − q i q j ) i = j − 1 T q i q j i ≠ j (9) \\begin\{aligned\} \\frac\{\\partial q\_i\}\{\\partial z\_j\} &= \\left\\\{ \\begin\{array\}\{rcl\} \\frac\{1\}\{T\}(\\frac\{exp(z\_i/T)\}\{Z\}-q\_iq\_j) & & \{i = j\} \\\\ -\\frac\{1\}\{T\}q\_iq\_j & & \{i \\neq j\} \\end\{array\} \\right. \\\\ &= \\left\\\{ \\begin\{array\}\{rcl\} \\frac\{1\}\{T\}(q\_i-q\_iq\_j) & & \{i = j\} \\\\ -\\frac\{1\}\{T\}q\_iq\_j & & \{i \\neq j\} \\end\{array\} \\right. \\end\{aligned\} \\tag\{9\} ∂zj∂qi=\{ T1(Zexp(zi/T)−qiqj)−T1qiqji=ji=j=\{ T1(qi−qiqj)−T1qiqji=ji=j(9)

所以， ∂ q ∂ z \\frac\{\\partial q\}\{\\partial z\} ∂z∂q 的形式如下：  
 ∂ q ∂ z = 1 T \[ q 1 − q 1 2 − q 1 q 2 ⋯ − q 1 q n − q 2 q 1 q 2 − q 2 2 ⋯ − q 2 q n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ − q n q 1 − q n q 2 ⋯ q n − q n 2 \] (10) \\frac\{\\partial q\}\{\\partial z\}=\\frac\{1\}\{T\} \\left\[ \\begin\{matrix\} q\_1-q\_1^2 & -q\_1q\_2 & \\cdots & -q\_1q\_n \\\\ -q\_2q\_1 & q\_2-q\_2^2 & \\cdots & -q\_2q\_n \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ -q\_nq\_1 & -q\_nq\_2 & \\cdots & q\_n-q\_n^2 \\end\{matrix\} \\right\] \\tag\{10\} ∂z∂q=T1⎣⎢⎢⎢⎡q1−q12−q2q1⋮−qnq1−q1q2q2−q22⋮−qnq2⋯⋯⋱⋯−q1qn−q2qn⋮qn−qn2⎦⎥⎥⎥⎤(10)

将式（10）带入到式（4）中，得到：  
 ∂ C ∂ z = 1 T \[ q 1 − q 1 2 − q 1 q 2 ⋯ − q 1 q n − q 2 q 1 q 2 − q 2 2 ⋯ − q 2 q n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ − q n q 1 − q n q 2 ⋯ q n − q n 2 \] \[ − p 1 q 1 − p 2 q 2 ⋮ − p n q n \] = 1 T \[ − p 1 + ∑ k p k q 1 − p 2 + ∑ k p k q 2 ⋮ − p n + ∑ k p k q n \] = 1 T \[ − p 1 + q 1 − p 2 + q 2 ⋮ − p n + q n \] = 1 T ( q − p ) (11) \\begin\{aligned\} \\frac\{\\partial C\}\{\\partial z\} &=\\frac\{1\}\{T\} \\left\[ \\begin\{matrix\} q\_1-q\_1^2 & -q\_1q\_2 & \\cdots & -q\_1q\_n \\\\ -q\_2q\_1 & q\_2-q\_2^2 & \\cdots & -q\_2q\_n \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ -q\_nq\_1 & -q\_nq\_2 & \\cdots & q\_n-q\_n^2 \\end\{matrix\} \\right\] \\left\[ \\begin\{matrix\} -\\frac\{p\_1\}\{q\_1\} \\\\ -\\frac\{p\_2\}\{q\_2\} \\\\ \\vdots \\\\ -\\frac\{p\_n\}\{q\_n\} \\end\{matrix\}\\right\] \\\\ &= \\frac\{1\}\{T\} \\left\[\\begin\{matrix\} -p\_1+\\sum\_kp\_kq\_1 \\\\ -p\_2+\\sum\_kp\_kq\_2 \\\\ \\vdots \\\\ -p\_n+\\sum\_kp\_kq\_n \\end\{matrix\}\\right\] \\\\ &= \\frac\{1\}\{T\} \\left\[\\begin\{matrix\} -p\_1+q\_1 \\\\ -p\_2+q\_2 \\\\ \\vdots \\\\ -p\_n+q\_n \\end\{matrix\}\\right\] \\\\ &=\\frac\{1\}\{T\}(q-p) \\end\{aligned\} \\tag\{11\} ∂z∂C=T1⎣⎢⎢⎢⎡q1−q12−q2q1⋮−qnq1−q1q2q2−q22⋮−qnq2⋯⋯⋱⋯−q1qn−q2qn⋮qn−qn2⎦⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎡−q1p1−q2p2⋮−qnpn⎦⎥⎥⎥⎤=T1⎣⎢⎢⎢⎡−p1\+∑kpkq1−p2\+∑kpkq2⋮−pn\+∑kpkqn⎦⎥⎥⎥⎤=T1⎣⎢⎢⎢⎡−p1\+q1−p2\+q2⋮−pn\+qn⎦⎥⎥⎥⎤=T1(q−p)(11)

所以，有：  
 ∂ C ∂ z i = 1 T ( q i − p i ) (12) \\frac\{\\partial C\}\{\\partial z\_i\} =\\frac\{1\}\{T\}(q\_i-p\_i) \\tag\{12\} ∂zi∂C=T1(qi−pi)(12)

结合（2）式，得到：  
 ∂ C ∂ z i = 1 T ( q i − p i ) = 1 T ( e x p ( z i / T ) ∑ j e x p ( z j / T ) − e x p ( v i / T ) ∑ j e x p ( v j / T ) ) (13) \\begin\{aligned\} \\frac\{\\partial C\}\{\\partial z\_i\} &=\\frac\{1\}\{T\}(q\_i-p\_i) \\\\ &=\\frac\{1\}\{T\}(\\frac\{exp(z\_i/T)\}\{\\sum\_j exp(z\_j/T)\}-\\frac\{exp(v\_i/T)\}\{\\sum\_j exp(v\_j/T)\}) \\end\{aligned\} \\tag\{13\} ∂zi∂C=T1(qi−pi)=T1(∑jexp(zj/T)exp(zi/T)−∑jexp(vj/T)exp(vi/T))(13)

使用等价无穷小  e x − 1 ∼ x e^x-1 \\sim x ex−1∼x 作替换：  
 ∂ C ∂ z i ≈ 1 T ( 1 + z i / T ∑ j ( 1 + z j / T ) − 1 + v i / T ∑ j ( 1 + v j / T ) ) = ( 1 + z i / T N + ∑ j z j / T − 1 + v i / T N + ∑ j v j / T ) (14) \\begin\{aligned\} \\frac\{\\partial C\}\{\\partial z\_i\} &\\approx \\frac\{1\}\{T\}(\\frac\{1+z\_i/T\}\{\\sum\_j(1+z\_j/T)\}-\\frac\{1+v\_i/T\}\{\\sum\_j(1+v\_j/T)\}) \\\\ &= (\\frac\{1+z\_i/T\}\{N+\\sum\_j\{z\_j/T\}\}- \\frac\{1+v\_i/T\}\{N+\\sum\_j\{v\_j/T\}\}) \\end\{aligned\} \\tag\{14\} ∂zi∂C≈T1(∑j(1\+zj/T)1\+zi/T−∑j(1\+vj/T)1\+vi/T)=(N\+∑jzj/T1\+zi/T−N\+∑jvj/T1\+vi/T)(14)

假设所有logits对每个样本都是零均值化的，  
 ∑ j z j = ∑ j v j = 0 (15) \\sum\_\{j\}z\_j=\\sum\_\{j\}v\_j=0 \\tag\{15\} j∑zj=j∑vj=0(15)

则有，  
 ∂ C ∂ z i ≈ 1 T ( 1 + z i / T N − 1 + v i / T N ) = 1 N T 2 ( z i − v i ) (16) \\begin\{aligned\} \\frac\{\\partial C\}\{\\partial z\_i\} &\\approx \\frac\{1\}\{T\}(\\frac\{1+z\_i/T\}\{N\}- \\frac\{1+v\_i/T\}\{N\}) \\\\ &= \\frac\{1\}\{NT^2\}(z\_i-v\_i) \\end\{aligned\} \\tag\{16\} ∂zi∂C≈T1(N1\+zi/T−N1\+vi/T)=NT21(zi−vi)(16)

所以，如果：1.  T T T 非常大，2. logits对所有样本都是零均值化的，则知识蒸馏和最小化logits的平方差(公式（1）)是等价的(因为梯度大致是同一个形式)。实验表明，温度  T T T 不能取太大，而应该使用某个适中的值，这表明忽略极负的logits对新模型的表现很有帮助(较低的温度产生的分布比较「硬」，倾向于忽略logits中极小的负值)。

同一个样本，用在大规模神经网络上产生的软目标来训练一个小的网络时，因为并不是直接标注的一个硬目标，学习起来会更快收敛。

更巧妙的是，这个样本我们甚至可以使用无标注的数据来训练小网络，因为大的神经网络将数据结构信息学习保存起来，小网络就可以直接从得到的soft target中来获得知识。

这个做法类似学习了样本空间嵌入（embedding）信息，从而利用空间嵌入信息学习新的网络。

随着温度上升，软目标分布更均匀

T参数是一个温度超参数，按照softmax的分布来看，随着T参数的增大，这个软目标的分布更加均匀。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3JvZ3Vlc2ly_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
所以：  
1.首先用较大的T值来训练模型，这时候复杂的神经网络能够产生更均匀分布的软目标；  
2.之后小规模的神经网络用相同的T值来学习由大规模神经产生的软目标，接近这个软目标从而学习到数据的结构分布特征；  
3.最后在实际应用中，将T值恢复到1，让类别概率偏向正确类别

Reference：  
https://arxiv.org/pdf/1503.02531.pdf  
https://zhuanlan.zhihu.com/p/71986772  
https://zhuanlan.zhihu.com/p/97522736  
https://zhuanlan.zhihu.com/p/39945855  
https://zhuanlan.zhihu.com/p/93287223  
https://zhuanlan.zhihu.com/p/90049906

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