牛！朋友圈疯传的学习资料终于整来了！

快来打我* 2023-01-17 08:00 126阅读 0赞

### Python大本营连载栏目第六期更新！ ###

最近超火的专栏你们有get吗？

清华大学硕士，带你七天打卡机器学习知识点，分享实战案列，小伙伴们抓紧学习起来吧~

**专栏作者介绍|**

![00444df3b705da289d2f56800dba4e5b.png][]

### **前言 |**当下机器学习、人工智能领域吸引了许多技术人才投身其中，数学知识繁杂的理论与思想方法是大家在学习过程中的难点，这篇专栏将机器学习涉及到的数学知识统一梳理出来，相信你可以有所收获。     ###

### 机器学习第六天分享：**几何分布与几何随机变量与****泊松分布及泊松随机变量** ###

小编已经给大家整理好前五天学习内容，有不清楚的小伙伴可戳下文拿小本本记下↓↓

[**第一天分享内容：从概率到条件概率**][Link 1]

[**第二天分享内容：****（机器学习概率统计****）****理论基石：条件概率、独立性与贝叶****斯**][Link 2]

[**第三天分享内容：事件的关系：深入理解独立性1**][1]

**[第四天分享内容：事件的关系：深入理解独立性2][2]**

[**第五天分享内容：离散型随机变量：分布与数字特征**][Link 3]

![11d89bb581977a0db0755749bc0d2ccd.png][]

***01***

### **几何分布与几何随机变量** ###

#### **6.1.几何分布的应用场景** ####

我们在二项分布的基础上再来介绍几何分布，在连续抛掷硬币的试验中，每次抛掷出现正面的概率为pp，出现反面的概率为1-p1−p，在这种背景下，几何随机变量XX就用来表示连续抛掷硬币直到第一次出现正面所需要的抛掷次数。

或者我们再举一个庸俗直白点的例子，学校里有1010个白富美女生（假定她们互相不认识，保证独立性），你依次去找她们表白，只要有一个成功了，你就结束了单身狗的日子。

![9752438f9d1d34efc3da1d9bd60daa9d.gif][]

但是表白成功的概率为pp，当然，成功的概率肯定不大，但是你秉持着死皮赖脸、死缠烂打，不成功誓不罢休的精神，只要女神拒绝你的表白，就换一个女神继续表白，直到某一个女神答应你为止，那么你一共表白过的总的次数，就是几何型的随机变量。

这个逻辑是不是清晰明了![e15f32f5ec39a5814abd2361da977c2f.png][]

#### **6.2.几何分布的PMF图** ####

我们还是先绘制几何分布的PMFPMF图，方法和二项分布并无二致：

**代码片段：**

from scipy.stats import geom
    import matplotlib.pyplot as plt
    import seaborn
    seaborn.set()
    
    fig, ax = plt.subplots(2, 1)
    params = [0.5, 0.25]
    x = range(1, 11)
    
    for i in range(len(params)):
        geom_rv = geom(p=params[i])
        ax[i].set_title('p={}'.format(params[i]))
        ax[i].plot(x, geom_rv.pmf(x), 'bo', ms=8)
        ax[i].vlines(x, 0, geom_rv.pmf(x), colors='b', lw=5)
        ax[i].set_xlim(0, 10)
        ax[i].set_ylim(0, 0.6)
        ax[i].set_xticks(x)
        ax[i].set_yticks([0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5])
    
    plt.show()

**运行结果：**

![33186369126b98f9bffb1def31923a91.png][]

#### **6.3.采样试验和数字特征** ####

同样的，我们进行1010万次采样试验，来观察验证一下，同时观察他的统计特征。

**代码片段：**

from scipy.stats import geom
    import matplotlib.pyplot as plt
    import seaborn
    seaborn.set()
    x = range(1, 21)
    geom_rv = geom(p=0.5)
    geom_rvs = geom_rv.rvs(size=100000)
    plt.hist(geom_rvs, bins=20, normed=True)
    plt.gca().axes.set_xticks(range(1,21))
    
    mean, var, skew, kurt = geom_rv.stats(moments='mvsk')
    print('mean={},var={}'.format(mean,var))
    plt.show()

**运行结果：**

![73cbe7e2612c2a2994bc4538bc08e8ea.png][]

总结一下，几何分布的期望和方差分别为：

E\[X\]=\\frac\{1\}\{p\}E\[X\]=p1

V\[X\]=\\frac\{1-p\}\{p^2\}V\[X\]=p21−p

![8e30abdfef813bbe1d5ce7d1ed60fae8.png][]

***02***

### **泊松分布及泊松随机变量** ###

#### **7.1.泊松分布的应用场景** ####

我们刚刚讲了，nn次独立的伯努利试验成功的次数是一个服从二项分布的随机变量，其中参数为nn和pp，期望为npnp。

我们这里看一种非常特殊的情况：就是nn非常大，pp非常小，但是期望npnp结果适中。

现实生活中有没有这类情况？

有，比如我们考虑任何一天内发生飞机事故的总数，记作随机变量XX，总共飞机飞行的次数nn非常大，但是单架次飞机出现事故的概率pp非常小。

或者用随机变量XX表示一本书中字印刷错误的次数，nn表示一本书中的总字数，非常大，而pp表示每个字印刷出错的概率，非常小。

这种情况下，nn很大pp很小，二项分布的分布列可以简化为我们这里谈到的泊松分布的分布列：

p\_X(k)=e^\{-\\lambda\}\\frac\{\\lambda^k\}\{k!\}pX(k)=e−λk!λk，其中，\\lambda=npλ=np，k=0,1,2,...k=0,1,2,...

期望和方差满足：

E\[X\]=\\lambdaE\[X\]=λ

V\[X\]=\\lambdaV\[X\]=λ

特别的，当我们的n\\rightarrow\\inftyn→∞，且p=\\lambda / n \\rightarrow 0p=λ/n→0 时，对应的二项分布列：

p\_X(k)=P(X=k)=\\begin\{pmatrix\} n\\\\ k\\end\{pmatrix\}p^k(1-p)^\{n-k\}pX(k)=P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−k就收敛于上面的泊松分布列了。

通俗点说把，就是只要当\\lambda=npλ=np，且nn非常大，pp非常小，泊松分布就是二项分布的一个非常好的近似。计算简便就是他的一个很大的优势。

#### **7.2.泊松分布的PMF图** ####

同样的，我们也用pythonpython代码来画一下他的PMFPMF函数图，对应的观察一下指定参数下泊松分布的分布列。

正如我们所说，泊松分布的参数就是一个\\lambdaλ，我们分别绘制一个\\lambda=10λ=10和\\lambda=2λ=2的泊松分布PMFPMF图，并获取他们的均值和方差。

**代码片段：**

from scipy.stats import poisson
    import matplotlib.pyplot as plt
    import seaborn
    seaborn.set()
    
    fig, ax = plt.subplots(2, 1)
    x = range(0, 20)
    params = [10, 2]
    
    for i in range(len(params)):
        poisson_rv = poisson(mu=params[i])
        mean, var, skew, kurt = poisson_rv.stats(moments='mvsk')
        ax[i].plot(x, poisson_rv.pmf(x), 'bo', ms=8)
    ax[i].vlines(x, 0, poisson_rv.pmf(x), colors='b', lw=5)
        ax[i].set_title('$\\lambda$={}'.format(params[i]))
        ax[i].set_xticks(x)
        print('lambda={},E[X]={},V[X]={}'.format(params[i], mean, var))
        
    plt.show()‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍

**运行结果：**

lambda=10,E[X]=10.0,V[X]=10.0
    lambda=2,E[X]=2.0,V[X]=2.0

![4cc557bf37f0e43ea39a9fc541f64018.png][]

同样的，我们对\\lambda=2λ=2的泊松分布进行采样。

**代码片段：**

import numpy as np
    from scipy.stats import poisson
    import matplotlib.pyplot as plt
    import seaborn
    seaborn.set()
    
    lambda_ = 2
    data = poisson.rvs(mu=lambda_, size=100000)
    plt.figure()
    plt.hist(data, normed=True)
    plt.gca().axes.set_xticks(range(0, 11))
    print('mean=', np.mean(data))
    print('var=', np.square(np.std(data)))
    plt.show()

运行结果：

mean= 2.00542
    var= 2.0082906236

![ca820b8f27e7b0c3f6d03f98ebbb73dc.png][]

这也是我们通过1010万次采样试验得出的统计结果，我们通过这个结果集计算了均值和方差，和模型的理论推导值是一致的。

离散型随机变量的内容就暂时到这，在下一节，我们将介绍连续型随机变量的有关内容。

本期内容学会了吗，抓紧分享小伙伴一起学习吧！

**好了，本次分享的内容就到这里，感觉有收获的同学，可以滑到文章底部，帮助老师分享点赞收藏，咱们明天见！****![6098629f013c1db4aefbd1c12a138fd0.png][]**

**下期预告：连续随机型变量：分布与数字特征。**

注：以上内容及后续将要连续分享的内容，均来自张雨萌老师在CSDN专栏创作的**《机器学习中的数学》**。

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[Link 2]: http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzU5MjEwMTE2OQ%3D%3D&chksm=fe266a91c951e38792d78a49bc41d8f582edd88f33dd57de5faaa419cb57d755d8d220040fe3&idx=2&mid=2247499983&scene=21&sn=eaa3c2c6c44e22dfca8edaf6b4252476#wechat_redirect
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[2]: http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzU5MjEwMTE2OQ%3D%3D&chksm=fe266abbc951e3adf542327d2709d0af3cf9621786ac840926c4cfe2a951e197dae7974f51b2&idx=3&mid=2247500005&scene=21&sn=4d3c41693349afd90f576c7f48d00b2b#wechat_redirect
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[4cc557bf37f0e43ea39a9fc541f64018.png]: /images/20221021/8b7986e763db40e0b9a93cf1b5f3df0b.png
[ca820b8f27e7b0c3f6d03f98ebbb73dc.png]: /images/20221021/7534227e7d2140d280492733c8b4f656.png
[6098629f013c1db4aefbd1c12a138fd0.png]: /images/20221021/a7c4a9113f3b4c0f89202f1a63c77fff.png
[3ea92c4a8800e9622534b7b7a0c49aa3.png]: /images/20221021/a07d7cd4d9fd432aa406aba6c3666de2.png