Tarjan 算法
Tarjan 算法
一.算法简介
Tarjan 算法一种由Robert Tarjan提出的求解有向图强连通分量的算法，它能做到线性时间的复杂度。
我们定义：
如果两个顶点可以相互通达，则称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。
例如：在上图中，{1 , 2 , 3 , 4 } , { 5 } , { 6 } 三个区域可以相互连通，称为这个图的强连通分量。
Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。
再Tarjan算法中，有如下定义。
DFN[ i ] : 在DFS中该节点被搜索的次序(时间戳)
LOW[ i ] : 为i或i的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号
当DFN[ i ]==LOW[ i ]时，为i或i的子树可以构成一个强连通分量。
二.算法图示
以1为Tarjan 算法的起始点，如图
顺次DFS搜到节点6
回溯时发现LOW[ 5 ]==DFN[ 5 ] , LOW[ 6 ]==DFN[ 6 ] ,则{ 5 } , { 6 } 为两个强连通分量。回溯至3节点，拓展节点4.
拓展节点1 ， 发现1再栈中更新LOW[ 4 ]，LOW[ 3 ] 的值为1
回溯节点1，拓展节点2
自此，Tarjan Algorithm 结束，{1 , 2 , 3 , 4 } , { 5 } , { 6 } 为图中的三个强连通分量。
不难发现，Tarjan Algorithm 的时间复杂度为O(E+V).
三.算法模板
1 void Tarjan ( int x ) {2 dfn[ x ] = ++dfs_num ;3 low[ x ] = dfs_num ;4 vis [ x ] = true ;//是否在栈中5 stack [ ++top ] = x ;6 for ( int i=head[ x ] ; i!=0 ; i=e[i].next ){7 int temp = e[ i ].to ;8 if ( !dfn[ temp ] ){9 Tarjan ( temp ) ;10 low[ x ] = gmin ( low[ x ] , low[ temp ] ) ;11 }12 else if ( vis[ temp ])low[ x ] = gmin ( low[ x ] , dfn[ temp ] ) ;13 }14 if ( dfn[ x ]==low[ x ] ) {//构成强连通分量15 vis[ x ] = false ;16 color[ x ] = ++col_num ;//染色17 while ( stack[ top ] != x ) {//清空18 color [stack[ top ]] = col_num ;19 vis [ stack[ top-- ] ] = false ;20 }21 top -- ;22 }23 }
注：本文章上部分内容转载自http://www.cppblog.com/sosi/archive/2010/09/26/127797.html；一方面是网上有很多关于tarjan算法的介绍，我觉得都没有这个他的文章介绍的简明易懂或者没有具体的实现。另一方面，自己也顺便用java实现了一下，所以发表出来和大家分享分享!
[有向图强连通分量]
在有向图G中，如果两个顶点间至少存在一条路径，称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。
下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。
[Tarjan算法]
Tarjan算法是基于对图深度优
定义DFN(u)D记录搜索到该u的时间，也就是第几个搜索u的。Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。
算法伪代码如下
tarjan(u)
{
DFN\[u\]=Low\[u\]=++Index // 为节点u设定次序编号和Low初值Stack.push(u) // 将节点u压入栈中for each (u, v) in E // 枚举每一条边if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过tarjan(v) // 继续向下找Low\[u\] = min(Low\[u\], Low\[v\])else if (v in S) // 如果节点v还在栈内Low\[u\] = min(Low\[u\], DFN\[v\])if (DFN\[u\] == Low\[u\]) // 如果节点u是强连通分量的根repeatv = S.pop // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点print vuntil (u== v)
}
接下来是对算法流程的演示。
从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。
返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。
返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。节点6已经出栈，(4,6)是横叉边，返回3，(3,4)为树枝边，所以LOW[3]=LOW[4]=1。
继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，发现DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。
至此，算法结束。经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。
可以发现，运行Tarjan算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。
算法java实现如下：
Tarjan类：
import java.util.ArrayList;import java.util.Arrays;import java.util.List;import java.util.Stack;public class Tarjan {private int numOfNode;private List< ArrayList<Integer> > graph;//图private List< ArrayList<Integer> > result;//保存极大强连通图private boolean[] inStack;//节点是否在栈内，因为在stack中寻找一个节点不方便。这种方式查找快private Stack<Integer> stack;private int[] dfn;private int[] low;private int time;//public Tarjan(List< ArrayList<Integer> > graph,int numOfNode){this.graph = graph;this.numOfNode = numOfNode;this.inStack = new boolean[numOfNode];this.stack = new Stack<Integer>();dfn = new int[numOfNode];low = new int[numOfNode];Arrays.fill(dfn, -1);//将dfn所有元素都置为-1，其中dfn[i]=-1代表i还有没被访问过。Arrays.fill(low, -1);result = new ArrayList<ArrayList<Integer>>();}public List< ArrayList<Integer> > run(){for(int i=0;i<numOfNode;i++){if(dfn[i]==-1){tarjan(i);}}return result;}public void tarjan(int current){dfn[current]=low[current]=time++;inStack[current]=true;stack.push(current);for(int i=0;i<graph.get(current).size();i++){int next = graph.get(current).get(i);if(dfn[next]==-1){//-1代表没有被访问tarjan(next);low[current]=Math.min(low[current], low[next]);}else if(inStack[next]){low[current]=Math.min(low[current], dfn[next]);}}if(low[current]==dfn[current]){ArrayList<Integer> temp =new ArrayList<Integer>();int j = -1;while(current!=j){j = stack.pop();inStack[j]=false;temp.add(j);}result.add(temp);}}}
测试类：
import java.util.ArrayList;import java.util.List;import java.util.Stack;public class Main {public static void main(String[] args) {//创建图int numOfNode = 6;List< ArrayList<Integer> > graph = new ArrayList<ArrayList<Integer>>();for(int i=0;i<numOfNode;i++){graph.add(new ArrayList<Integer>());}graph.get(0).add(1);graph.get(0).add(2);graph.get(1).add(3);graph.get(2).add(3);graph.get(2).add(4);graph.get(3).add(0);graph.get(3).add(5);graph.get(4).add(5);//调用Tarjan算法求极大连通子图Tarjan t = new Tarjan(graph, numOfNode);List< ArrayList<Integer> > result = t.run();//打印结果for(int i=0;i<result.size();i++){for(int j=0;j<result.get(i).size();j++){System.out.print(result.get(i).get(j)+" ");}System.out.println();}}}
先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。
ゝ一世哀愁。
超、凢脫俗
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