剑指Offer系列（java版，详细解析）47.礼物的最大价值

青旅半醒 2023-01-13 09:35 137阅读 0赞

# 题目描述 #

在一个 m\*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

**示例 1:**

输入: 
    [
      [1,3,1],
      [1,5,1],
      [4,2,1]
    ]
    输出: 12
    解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物

提示：

*  `0 < grid.length <= 200`
 *  `0 < grid[0].length <= 200`

# 测试用例 #

*  功能测试（多行多列的矩阵；一行或者一列的矩阵；只有一个数字的矩阵）
 *  特殊输入测试（指向矩阵数组的指针为空指针）

# 题目考点 #

*  考察应聘者用动态规划分析问题的能力。
 *  考察应聘者对递归及时间效率的理解。需要我们利用动态规划来减少重复计算。

# 解题思路 #

首先我们要找出递归式：

f(i,j) = max(f(i-1,j),f(i,j-1)) + gift[i,j]

所以我们可能会马上用递归做出来（见自己解题），但是这种方法会有大量的重复计算，导致递归的代码不是最优的，所以我们考虑用动态规划（循环）来做。

我们需要一个二维数组，数组中坐标为(i,j)的元素表示到达坐标(i,j)的格子时能拿到的礼物价值总和的最大值。

代码见参考解题。

# 参考解题 #

class Solution { 
        public int maxValue(int[][] grid) { 
            int m = grid.length, n = grid[0].length;
            for(int j = 1; j < n; j++) // 初始化第一行
                grid[0][j] += grid[0][j - 1];
            for(int i = 1; i < m; i++) // 初始化第一列
                grid[i][0] += grid[i - 1][0];
            for(int i = 1; i < m; i++)
                for(int j = 1; j < n; j++) 
                    grid[i][j] += Math.max(grid[i][j - 1], grid[i - 1][j]);
            return grid[m - 1][n - 1];
        }
    }

class Solution { 
        public int maxValue(int[][] grid) { 
            int row = grid.length;
            int column = grid[0].length;
            //dp[i][j]表示从grid[0][0]到grid[i - 1][j - 1]时的最大价值
            int[][] dp = new int[row + 1][column + 1];
            for (int i = 1; i <= row; i++) { 
                for (int j = 1; j <= column; j++) { 
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i - 1][j - 1];
                }
            }
            return dp[row][column];
        }
    }