SVM（六）：核函数

分手后的思念是犯贱 2023-01-09 12:38 143阅读 0赞

### 目录 ###

*  前言
 *  问题背景
 *  决策规则
 *  核函数
 *   *  困难
     *  解决办法
     *  几个核函数
     *  小结

# 前言 #

*  我也在学习SVM，边学习边记录学到的东西，特别感谢在学习核函数这一部分时提供帮助的博文，下面的记录也是基于它之上的，并加入了一些个人补充，博文链接：https://blog.csdn.net/v\_july\_v/article/details/7624837

# 问题背景 #

*  前几篇讲到的SVM的知识是针对线性问题进行处理的，而对于非线性问题，使用核函数可以较好的解决，我们先来直观的理解一下非线性问题与其解决方法：  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3_size_16_color_FFFFFF_t_70]
 *  上图中的一维坐标下的+和-两类数据是无法直接通过一个点（一维情况下，一个点就是一个超平面）来直接区分的，现在我们把它们拓展到二维情况，此时用一条直线（二维情况下，一条直线就是一个超平面），就可以直接区分两类数据，如右上角的图所示，下面的图则是二维升到三维空间进行处理的情况。
 *  可见，对于低维度的线性不可分情况，我们可以通过升高到高维度来进行处理。
 *  好，这是关于问题背景的描述。

# 决策规则 #

*  下面我们先来回顾一下之前的内容，我们的决策超平面公式是： f ( x ) = w T x + b f(x)=w^\{T\}x+b f(x)=wTx\+b，我们前面所做的一切工作都是为了得到一个最优的参数 w 和 b w和b w和b。之后我们就可以通过这个公式来对数据点进行分类了。  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]  
    下面是对于非支持向量所对应的系数 α α α为0的原因分析：（这一部分和核函数没什么关系，有兴趣的同学可以了解一下，其实如果之前的知识学得扎实的话，你就能够自己得出结论，其实是KKT条件约束的作用）  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]  
    其实上面就是KKT条件的解释，上面说的functional margin其实就是 y i ( w T x i + b ) y\_\{i\}(w^\{T\}x\_\{i\}+b) yi(wTxi\+b)，其实本质是KKT条件约束的原因，要想得到最优参数，一定是要满足KKT条件的，当 y i ( w T x i + b ) − 1 = 0 y\_\{i\}(w^\{T\}x\_\{i\}+b)-1=0 yi(wTxi\+b)−1=0时，证明最优参数不在约束域内，只能尽可能的靠近最优参数，所以最适合的参数落在约束域边界，即 y i ( w T x i + b ) − 1 = 0 y\_\{i\}(w^\{T\}x\_\{i\}+b)-1=0 yi(wTxi\+b)−1=0，而此时 α α α此时是>0，而当 y i ( w T x i + b ) − 1 > 0 y\_\{i\}(w^\{T\}x\_\{i\}+b)-1>0 yi(wTxi\+b)−1>0，表示最优参数在约束域内，所以失去了约束效果，所以说 α = 0 α=0 α=0，至于支持向量，还记得吗：  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]  
    支持向量是落到上面虚线的，满足带入放缩后的 w x + b wx+b wx\+b中使得函数间隔为1或者-1，所以 y i ( w T x i + b ) − 1 = 0 y\_\{i\}(w^\{T\}x\_\{i\}+b)-1=0 yi(wTxi\+b)−1=0，而非支持向量不能满足这个条件，所以 y i ( w T x i + b ) − 1 > 0 y\_\{i\}(w^\{T\}x\_\{i\}+b)-1>0 yi(wTxi\+b)−1>0。
 *  好了，言归正传，通过将 w w w带进决策函数，我们得到了最终的分类函数：  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]
 *  到目前为止，这还是线性情况，这只是铺垫，下面我们进入非线性情况。

# 核函数 #

## 困难 ##

*  首先，我们按照原来的思路，我们必须要把数据映射到高维空间才能达到线性可分的目的。  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]  
    ![在这里插入图片描述][20210121124041311.png]  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]  
    上面这个式子还是线性分类器，只不过由于 Φ Φ Φ的映射，此时x是高维空间向量，在高维情况下是线性可分的，到时候再用这个分类器就可以达到分类的目的。  
    好了，大体思路清楚了，找到一个合理的 Φ Φ Φ映射，然后在高维空间使用上面的线性分类器f(x)就好了，问题就迎刃而解了。
 *  然而，并不是这么简单的，  
    ![在这里插入图片描述][20210121124934929.png]  
    对啊，怎么找到合适的映射函数呢？这个太难了，如同大海捞针。另外在高维空间中求解的计算代价是很高的，我们来看例子：  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3_size_16_color_FFFFFF_t_70 8]  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3_size_16_color_FFFFFF_t_70 9]  
    是的，分类圈的公式应该就是上面的形式。  
    ![在这里插入图片描述][20210121125133864.png]  
    ![在这里插入图片描述][20210121125144896.png]  
    ![在这里插入图片描述][202101211252066.png]  
    是的，这是一个超平面方程，我们通过用z轴代替二维坐标的5种组合形式，来将二维数据映射到了5维空间。把图8中的两类数据映射到5维空间后，就得到了两个5维的超平面，然后我们再应用线性分类算法就可以构建最优的分类超平面了。  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3_size_16_color_FFFFFF_t_70 10]  
    由于5维无法绘图，所以作者为了让我们清楚的看到，用了特殊的数据，圆圈的圆心在x2轴上，所以最后的圈就可以映射到3维空间了，这样就可以绘图展示一下映射之后的效果了：  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3_size_16_color_FFFFFF_t_70 11]  
    可以看出的线性可分的，可以用3维空间的超平面来区分两类数据。  
    ![在这里插入图片描述][20210121130213623.png]  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3_size_16_color_FFFFFF_t_70 12]  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3_size_16_color_FFFFFF_t_70 13]  
    是的，维度爆炸，是难以计算的。也就是说，映射不好找，但是我们可以干脆映射到可能的最高纬度，比如二维的时候，x1、x2最多有5种组合形式，那我们就映射到5维；三维时，x1、x2、x3最多有19种组合形式，那我们就映射到19维……，虽然这种映射是可取，但是会产生维度爆炸，无法计算的问题。

## 解决办法 ##

![在这里插入图片描述][2021012113054675.png]  
是的，映射之后x1和x2两个向量（注意，此处x1和x2代表向量，不是坐标，坐标分别是η和ξ）分别有5种坐标组合方式，然后内积就相乘到了一起。  
下面重点来了！！！！看我们怎么用更好的方法，达到和上面同样的效果！  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3_size_16_color_FFFFFF_t_70 14]  
![在这里插入图片描述][2021012113084952.png]  
就是说，倘若x1和x2是两个向量，分别等于 ( η 1 ， η 2 ) ， ( ξ 1 ， ξ 2 ) (η\_\{1\}，η\_\{2\})，(ξ\_\{1\}，ξ\_\{2\}) (η1，η2)，(ξ1，ξ2)，那么有以下式子成立：  
 ( < x 1 ， x 2 > + 1 ) 2 = 2 η 1 ξ 1 + η 1 2 ξ 1 2 + 2 η 2 ξ 2 + η 1 2 ξ 1 2 + 2 η 1 η 2 ξ 1 ξ 3 + 1 = < Φ ( x 1 ) ， Φ ( x 2 ) > ， 其 中 ， Φ ( x 1 ) = ( √ 2 η 1 ， η 1 2 ， √ 2 η 2 ， η 2 2 ， √ 2 η 1 η 2 ， 1 ) T ， Φ ( x 2 ) = ( √ 2 ξ 1 ， ξ 1 2 ， √ 2 ξ 2 ， ξ 2 2 ， √ 2 ξ 1 ξ 2 ， 1 ) T (<x1，x2>+1)^\{2\}=2η\_\{1\}ξ\_\{1\}+η\_\{1\}^\{2\}ξ\_\{1\}^\{2\}+2η\_\{2\}ξ\_\{2\}+η\_\{1\}^\{2\}ξ\_\{1\}^\{2\}+2η\_\{1\}η\_\{2\}ξ\_\{1\}ξ\_\{3\}+1=<Φ(x1)，Φ(x2)>，其中，Φ(x1)=(√2η\_\{1\}，η\_\{1\}^\{2\}，√2η\_\{2\}，η\_\{2\}^\{2\}，√2η\_\{1\}η\_\{2\}，1)^\{T\}，Φ(x2)=(√2ξ\_\{1\}，ξ\_\{1\}^\{2\}，√2ξ\_\{2\}，ξ\_\{2\}^\{2\}，√2ξ\_\{1\}ξ\_\{2\}，1)^\{T\} (<x1，x2>\+1)2=2η1ξ1\+η12ξ12\+2η2ξ2\+η12ξ12\+2η1η2ξ1ξ3\+1=<Φ(x1)，Φ(x2)>，其中，Φ(x1)=(√2η1，η12，√2η2，η22，√2η1η2，1)T，Φ(x2)=(√2ξ1，ξ12，√2ξ2，ξ22，√2ξ1ξ2，1)T，  
惊了！！！本来 < Φ ( x 1 ) ， Φ ( x 2 ) > <Φ(x1)，Φ(x2)> <Φ(x1)，Φ(x2)>的计算在高维下是十分困难的， 现在你竟然通过低维下的 ( < x 1 ， x 2 > + 1 ) 2 (<x1，x2>+1)^\{2\} (<x1，x2>\+1)2来实现了，仅仅平方一下就搞定了？？  
![在这里插入图片描述][20210121132107525.png]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3_size_16_color_FFFFFF_t_70 15]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3_size_16_color_FFFFFF_t_70 16]  
![在这里插入图片描述][20210121132138714.png]  
是的，此处的映射比较容易构造出对应的核函数，

## 几个核函数 ##

*  见下图：  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3_size_16_color_FFFFFF_t_70 17]  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3_size_16_color_FFFFFF_t_70 18]  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3_size_16_color_FFFFFF_t_70 19]

## 小结 ##

*  图：  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3_size_16_color_FFFFFF_t_70 20]  
    ![在这里插入图片描述][20210121132929420.png]

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