周期矩形信号的傅里叶级数_电子科大通信考研 | 信号与系统重点知识整理！

偏执的太偏执、 2023-01-07 15:23 181阅读 0赞

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1.任意信号可分解为无穷多个冲激函数的连续和

![eb2521e29e9efb5c042b2cff6606a4a8.png][]

那么系统的的零状态响应为激励信号与单位冲激响应的卷积积分，即

![13e8a853aa26577e82697395b44ea3a4.png][]

零状态响应可分解为自由响应和强迫响应两部分。

2.单位冲激响应的求解

冲激响应h(t)是冲激信号作用系统的零状态响应。

3.卷积积分

(1)定义

![59ee6e2c9337ca86b04a8272d8bd2b9a.png][]

(2)卷积代数

\-交换律

![5357465ae2fb05f4d24f00f649a53827.png][]

\-分配律

![c3310986fe0a714c39ec6619b4d23387.png][]

\-结合律

![72083be09133416500a1e64c4e9e915e.png][]

4.卷积的图解法   ( 求某一时刻卷积值)

![764579a50f8d0bf324b854ffa025a467.png][]

卷积过程可分解为四步：

(1)换元：t换为τ→得 f1(τ)， f2(τ)

(2)反转平移：由f2(τ)反转→ f2(–τ) 右移t → f2(t-τ)

(3)乘积：f1(τ) f2(t-τ)

(4)积分： τ从 –∞到∞对乘积项积分。

**性质:**

1)f(t)\*δ(t)=δ(t)\*f(t) = f(t)

![c8bb08bcd0671b6f7c4e402e39497e77.png][]

![49a00fb28dd6eb09bc79d4a751a2c8cd.png][]

(t0,t1,t2为常数)

2)f(t)\*δ’(t) = f’(t)

![4c6d70a49a542480f55164d7700420ca.png][]

u(t) \*u(t) = tu(t)

![97618fd10c4ddf0c6b7c1139bf015c6b.png][]

![9de8c9f7f38d2540d54cf47002034245.png][]

6) f1(t –t1)\* f2(t –t2) = f1(t –t1 –t2)\* f2(t) = f1(t)\* f2(t –t1 –t2) = f(t –t1 –t2)

7) 两个因果信号的卷积，其积分限是从0到t。

8)系统全响应的求解方法过程归纳如下：

a.根据系统建立微分方程；

b.由特征根求系统的零输入响应![38eec98d4be2a178b5a8fc204330a795.png][]；

c.求冲激响应h(t)；

d.求系统的零状态响应![13e8a853aa26577e82697395b44ea3a4.png][]；

e.求系统的全响应![315ecfaf0e81205e8e1b07c5b489d156.png][]。

5.周期信号的傅里叶级数

任一满足狄利克雷条件的周期信号f(t)(T1为其周期)可展开为傅里叶级数。

(1)三角函数形式的傅里叶级数

![cf570dbbdb926609668b056646187dbf.png][]

式中![7a31ccf2378049b8f77e31c7b48ccdb8.png][]，n为正整数。

**直流分量**

![03d253ce49c79e9eade17cc9fe484ee7.png][]

**余弦分量的幅度**

![302e4606859e0ca9859e23da28f08f4e.png][]

**正弦分量的幅度**

![bb8c0a8e69c9486220e2fc3c82aa4c18.png][]

**三角函数形式的傅里叶级数的另一种形式为**

![61d5da382034f8be919a3e75b70c7fdd.png][]

(2)指数形式的傅里叶级数

![b1e04ab19376e03ce24fdd53e72ada98.png][]

式中，n为从负无穷到正无穷的整数。

**复数频谱**

![5825a6c0bf6db3704354f275d82148c8.png][]

利用周期信号的对称性可以简化傅里叶级数中系数的计算。从而可知周期信号所包含的频率成分。有些周期信号的对称性是隐藏的，删除直流分量后就可以显示其对称性。

①实偶函数的傅里叶级数中不包含正弦项，只可能包含直流项和余弦项。

f(t)=f(-t)  ,纵对称轴(偶函数)

![afe749d3c1faccb48827ae5769f524c8.png][]

②实奇数的傅里叶级数中不包含余弦项和直流项，只可能包含正弦项。

f(t)=-f(-t)  ,原点对称(奇函数)

![968c5a59870a26dcfaf61f1407e9b11b.png][]

![13eaf16bcd2533860ce778a1e76ca871.png][]

半周重叠(偶谐函数) 无奇次谐波，只有直流和偶次谐波。

③实奇谐函数的傅里叶级数中只可能包含基波和奇次谐波的正弦、余弦项，而不包含偶次谐波项。

![98e97c77e0ce8dce1aad49fb768f2dc5.png][]

半周镜像(奇谐函数)，无偶次谐波，只有奇次谐波分量。

6.从对周期矩形脉冲信号的分析可知

(1) 信号的持续时间与频带宽度成反比;

(2) 周期T越大，谱线越密，离散频谱将变成连续频谱；

(3) 周期信号频谱的三大特点：离散性、谐波性、收敛性。

7.傅里叶变换

**正变换：**

![455be3dee85cc6030d647491eee3d374.png][]

**逆变换：**

![99ba54b2b25727d9c5d2940d8867d9f0.png][]

频谱密度函数![64aa17a5100c85bd55d251909af7368d.png][]一般是复函数，可以写作

![c1ccd2ae5b0f14a374f71bc48b2f9948.png][]

其中|F(w)|是F(w)的模，它代表信号中个频谱分量的相对大小，是w的偶函数。![2679b78a288a5eea8f50cd4b6f72fe6c.png][]是F(w)的相位函数，它表示信号中各频率分量之间的相位关系，是w的奇函数。

常用函数 F变换对：

![06a5a91bc180b57a4ccff1b937b098fc.png][]

![f7dc179bd082c55186cb1241e77d93b9.png][]

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