微积分基本概念

以你之姓@ 2023-01-07 07:27 306阅读 0赞

# 选择题 #

1.特值法

# 大题 #

1.题目之间的逻辑关系：第二小题必用第一小题结论

2.伪证

# **函数 极限 连续** #

**集合**

**区间**

**邻域**

**映射**

**函数**

**函数运算**

**反函数**

**奇函数**

**偶函数**

**周期函数**

**数列**

**基本初等函数：三角函数，指数函数，对数函数，幂函数**

**初等函数**

**函数关系式**

**分段函数**

**复合函数**

**隐式函数：![F(x,y)=0][F_x_y_0]**

**参数函数**

**数列极限**

**自变量趋于无穷大函数极限**

**自变量趋于有限值函数极限**

**单侧极限**

**数列极限和函数极限关系**

**无穷大量**

**无穷小量**

**无穷小运算性质：1.无穷小+有限无穷小=无穷小  2.无穷小\*有界变量=无穷小**

**函数极限和无穷小关系**

**极限**

局部有界性、唯一性、局部保号性、不等式性质（保序性）

洛必达：太过复杂、无法判断、没有办法，**直接洛**

极限=0，分母为0项数可消去

直接代入

0/0：洛必达；因式分解；等价无穷小

无穷/无穷：洛必达

![(1+x)^1^/^x=e][1_x_1_x_e]

无穷/无穷：通分

分子分母有理化

k阶无穷小

1^无穷：e为底 ，分子等价无穷小+**只有一个可以泰勒展开的式子，其它全是x^n，直接展开**

**极限运算**

**极限存在准则**

极限不存在：![limx->x\_\{0\}][limx-_x_0]   ![f(x)=+-][f_x_-]无穷

**夹逼准则**：适当放缩

**单调有界准则：**单调有界数列必有极限

**无穷小比较**

**连续性**

**间断点**

**连续函数**

罗尔定理证明等式：化为f(x)=0，找出原函数F(x)=0，F(左)=F(右)，就OK

拉格朗日中值定理：割线=切线，f(a)-f(b)=f '(x)(a-b)

**连续函数性质：**如果一个连续函数在区间内有相反符号的值，那么它在该区间内有根存在

**连续函数运算**：连续\*不连续=不连续

**初等函数连续性**

# **一元函数微分学** #

**导数：![F(x+\\Delta x)-F(x)/\\Delta x][F_x_Delta x_-F_x_Delta x]  
单侧导数：![F(x+\\Delta x)-F(x)/\\Delta x][F_x_Delta x_-F_x_Delta x]  ![\\Delta x][Delta x]>0右导数，![\\Delta x][Delta x]<0左导数  
导数的几何意义  
函数可导与连续的关系：可导？**x0是否有定义，即f(x0)是否存在；其次bai判断f(x0)是否连续，即f(x0-), f(x0+), f(x0)三者是否相等；再次判断函数在x0的左右导数是否存在且相等，即f‘(x0-)=f'(x0+)  
**导数的四则运算法则  
反函数的求导法则**

反函数的求导=原函数导数的倒数  
**复合函数的求导法则  
导数的基本公式  
隐函数及参数式函数的导数  
隐函数的导数**

指数含有xy：两边底数取e

知导数求极限：定义

**参数式函数的导数  
相关变化率问题  
高阶导数**

莱布尼兹公式

sinax cosbx x^a  1/x  Inx  e^ax   In(a+x)   1/a+x

**函数的微分  
微分的概念**

![\\Delta y=f(x+\\Delta x)-f(x)][Delta y_f_x_Delta x_-f_x]       --->    ![\\Delta y=A\\Delta x+o(\\Delta x)][Delta y_A_Delta x_o_Delta x]      ---->![dy=A\\Delta x=Adx][dy_A_Delta x_Adx]

![dy=f\{\}'(x\_\{0\})dx][dy_f_x_0_dx]    dy=线性主部   dx=自变量增量   x0=某处

![y=f(g(x))][y_f_g_x]    ![dy=g\{\}'(x)f\{\}'(g(x))\\Delta x=g\{\}'(x)f\{\}'(g(x))dx][dy_g_x_f_g_x_Delta x_g_x_f_g_x_dx]

**微分的运算法则  
函数的线性近似  
微分中值定理…  
函数的极值及其必要条件  
微分中值定理**

罗尔中值定理：f(x)   g(x)在\[a,b\]连续 (a,b)可导，![f\{\}'(\\varepsilon )/g'(\\varepsilon )=f(b)-f(a)/g(b)-g(a)][f_varepsilon _g_varepsilon _f_b_-f_a_g_b_-g_a]

**不定型的极限  
泰勒公式  
几个常用的麦克劳林公式**

e  1 sin cos

1/1+x   1/1-x   arctanx  In(1+x)

**泰勒公式的应用  
函数单调性的判定法  
函数极值的判定法  
最大值与最小值问题**

**函数的凸性与曲线的拐点  
函数作图  
曲线的渐近线**

水平：limx->无穷，A

竖直：limx->间断点，f(x)->无穷

斜：limx->无穷，f(x)/x=k       limx->无穷，f(x)-xk=b

**曲线的曲率**   ![k=|y\{\}''|/(1+y\{\}'^2)^3^/^2][k_y_1_y_2_3_2]

曲率半径：R=1/k

**弧微分  
曲率**

# **一元函数积分学** #

**![\\int Inx=xInx-x+C][int Inx_xInx-x_C]**

**定积分**

判断部分函数奇偶性

牛莱公式  
**函数可积的充分条件：连续   或者   有界+第一种间断点  
定积分的几何意义**：面积  
**定积分的性质：可加性，积分上下限反转提负号，常数可提**

**不定积分的性质：全体求导=内部函数    ；内部求导=内部函数的原函数     
微积分基本定理**

估值定理：![m(b-a)\\leq \\int ^b\_\{a\}f(x)dx\\leq M(b-a)][m_b-a_leq _int _b_a_f_x_dx_leq M_b-a]

**换元积分法  
不定积分的换元积分法**

**定积分的换元积分法  
分部积分法**  
![v\{\}'(x)][v_x]顺序：![e^x>sin=cos>x^n>In>arc][e_x_sin_cos_x_n_In_arc]

**不定积分的分部积分法**

**定积分的分部积分法**

**x^2+-a积分**

\+a  x=atant

\-a  x=a sect

a-x^2  x=a sint

**有理函数的积分**

分母项数一定要大于分子，否则多项式除法

![\\frac\{A\}\{x-a\}][frac_A_x-a]              ![\\frac\{A\}\{(x^n-a)^k\}][frac_A_x_n-a_k]             ![\\frac\{Mx+N\}\{x^2+px+q\}][frac_Mx_N_x_2_px_q]      ：     ![\\int \\frac\{Mx+N\}\{x^2+px+q\}=\\frac\{M\}\{2\}In(x^2+px+q)+\\frac\{b\}\{a\}arctan\\frac\{x+\\frac\{p\}\{2\}\}\{a\}+C][int _frac_Mx_N_x_2_px_q_frac_M_2_In_x_2_px_q_frac_b_a_arctan_frac_x_frac_p_2_a_C]      ![a=\\sqrt\{q-\\frac\{p^2\}\{4\}\}][a_sqrt_q-_frac_p_2_4]    ![b=N-\\frac\{Mp\}\{2\}][b_N-_frac_Mp_2]

**积分上限函数：![\\int ^x\_\{a\}f(t)dt][int _x_a_f_t_dt]；求导=f(x)   ；   ![\\int ^b^(^x^)\_\{a(x)\}f(t)dt][int _b_x_a_x_f_t_dt]求导=![f(b(x))b\{\}'(x)-f(a(x))a\{\}'(a(x))][f_b_x_b_x_-f_a_x_a_a_x]**

**积分中值定理**：  ![\\int ^b\_\{a\}f(x)dx=f(\\varepsilon )(b-a))][int _b_a_f_x_dx_f_varepsilon _b-a]

**三角函数有理式的积分**

sc=1/2(sin+sin)

ss=-1/2(c-c)

cc=1/2(c+c)

![sin^2x][sin_2x] 和 ![cos^2x][cos_2x] 使用二倍角公式降幂

![tan^2x=sec^2x-1][tan_2x_sec_2x-1]

**![u=tanx/2][u_tanx_2]  ![sinx=2u/1+ u^2][sinx_2u_1_ u_2]**

**![u=tanx][u_tanx]   ![sinx=\\frac\{u\}\{\\sqrt\{1+u^2\}\}][sinx_frac_u_sqrt_1_u_2]  
反常积分**

广义牛莱  
**无穷区间上的反常积分**

**无界函数的反常积分**

**伽玛函数**![20210116203852627.png][]Γ（x+1）=xΓ(x) **     ** Γ（x+1）=x**！     ** Γ(1)=1  Γ(0)=正无穷  Γ(1/2)=根号π  
**定积分的几何应用  
微元法  
求平面图形的面积**

**求体积  
函数的平均值与均方根**

# **常微分方程** #

**微分方程的基本概念**

###    **一阶微分方程** ###

**x|y：直接积分  
y/x：u=y/x   dy/dx=u+x\*du/dx  
![y\{\}'+p(x)y=q(x)][y_p_x_y_q_x]：**![20210116204728389.png][]

### **高阶微分方程** ###

**特征方程：**![y^(^n^)][y_n]\--->![r^n][r_n]

**![y^(^n^)=f(x)][y_n_f_x]型：直接积分**

**![y^(^n^)=f(x,y^(^n^-^1^))][y_n_f_x_y_n_-_1]型：u=y^(n-1)  化成 ![y\{\}'+p(x)y=q(x)][y_p_x_y_q_x]    后直接积分**  
**只有y：**

**y->r   求解r  **

**单实根r          ![Ce^r^x][Ce_r_x]                                  k重实根r           ![e^r^x(C\_\{1\}+C\_\{2\}x+...+C\_\{k\}x^k^-^1)][e_r_x_C_1_C_2_x_..._C_k_x_k_-_1]  **

**单复根a+bi   ![e^a^x(C\_\{1\}cosb x+C\_\{2\}sinbx)][e_a_x_C_1_cosb x_C_2_sinbx]  k重复根a+bi   ![e^a^x((C\_\{1\}+C\_\{2\}x+...+C\_\{k\}x^k^-^1)cosbx+(D\_\{1\}+D\_\{2\}x+...+D\_\{k\}x^k^-^1)sinbx)][e_a_x_C_1_C_2_x_..._C_k_x_k_-_1_cosbx_D_1_D_2_x_..._D_k_x_k_-_1_sinbx]   **

**通解Y=C+对应解之和**

**有y有x：**

**1. 求通解   ：   y->r   求解r   单实根![Ce^r^x][Ce_r_x]  k重实根![Ce^r^x(C\_\{1\}+C\_\{2\}x+...+C\_\{k\}x^k^-^1)][Ce_r_x_C_1_C_2_x_..._C_k_x_k_-_1]   通解Y=C+对应解之和**

2.设特解，求导后代入微分方程出系数

**二阶齐次线性方程  
二阶齐次线性方程解的性质与结构**

**二阶常系数齐次线性方程的解法  
二阶非齐次线性方程  
二阶非齐次线性方程解的性质与结构**

**二阶常系数非齐次线性方程的解法**

**欧拉方程**

[F_x_y_0]: https://private.codecogs.com/gif.latex?F%28x%2Cy%29%3D0
[1_x_1_x_e]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%281&plus;x%29%5E1%5E/%5Ex%3De
[limx-_x_0]: https://private.codecogs.com/gif.latex?limx-%3Ex_%7B0%7D
[f_x_-]: https://private.codecogs.com/gif.latex?f%28x%29%3D&plus;-
[F_x_Delta x_-F_x_Delta x]: https://private.codecogs.com/gif.latex?F%28x&plus;%5CDelta%20x%29-F%28x%29/%5CDelta%20x
[Delta x]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta%20x
[Delta y_f_x_Delta x_-f_x]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta%20y%3Df%28x&plus;%5CDelta%20x%29-f%28x%29
[Delta y_A_Delta x_o_Delta x]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta%20y%3DA%5CDelta%20x&plus;o%28%5CDelta%20x%29
[dy_A_Delta x_Adx]: https://private.codecogs.com/gif.latex?dy%3DA%5CDelta%20x%3DAdx
[dy_f_x_0_dx]: https://private.codecogs.com/gif.latex?dy%3Df%7B%7D%27%28x_%7B0%7D%29dx
[y_f_g_x]: https://private.codecogs.com/gif.latex?y%3Df%28g%28x%29%29
[dy_g_x_f_g_x_Delta x_g_x_f_g_x_dx]: https://private.codecogs.com/gif.latex?dy%3Dg%7B%7D%27%28x%29f%7B%7D%27%28g%28x%29%29%5CDelta%20x%3Dg%7B%7D%27%28x%29f%7B%7D%27%28g%28x%29%29dx
[f_varepsilon _g_varepsilon _f_b_-f_a_g_b_-g_a]: https://private.codecogs.com/gif.latex?f%7B%7D%27%28%5Cvarepsilon%20%29/g%27%28%5Cvarepsilon%20%29%3Df%28b%29-f%28a%29/g%28b%29-g%28a%29
[k_y_1_y_2_3_2]: https://private.codecogs.com/gif.latex?k%3D%7Cy%7B%7D%27%27%7C/%281&plus;y%7B%7D%27%5E2%29%5E3%5E/%5E2
[int Inx_xInx-x_C]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cint%20Inx%3DxInx-x&plus;C
[m_b-a_leq _int _b_a_f_x_dx_leq M_b-a]: https://private.codecogs.com/gif.latex?m%28b-a%29%5Cleq%20%5Cint%20%5Eb_%7Ba%7Df%28x%29dx%5Cleq%20M%28b-a%29
[v_x]: https://private.codecogs.com/gif.latex?v%7B%7D%27%28x%29
[e_x_sin_cos_x_n_In_arc]: https://private.codecogs.com/gif.latex?e%5Ex%3Esin%3Dcos%3Ex%5En%3EIn%3Earc
[frac_A_x-a]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7BA%7D%7Bx-a%7D
[frac_A_x_n-a_k]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7BA%7D%7B%28x%5En-a%29%5Ek%7D
[frac_Mx_N_x_2_px_q]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7BMx&plus;N%7D%7Bx%5E2&plus;px&plus;q%7D
[int _frac_Mx_N_x_2_px_q_frac_M_2_In_x_2_px_q_frac_b_a_arctan_frac_x_frac_p_2_a_C]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cint%20%5Cfrac%7BMx&plus;N%7D%7Bx%5E2&plus;px&plus;q%7D%3D%5Cfrac%7BM%7D%7B2%7DIn%28x%5E2&plus;px&plus;q%29&plus;%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7Darctan%5Cfrac%7Bx&plus;%5Cfrac%7Bp%7D%7B2%7D%7D%7Ba%7D&plus;C
[a_sqrt_q-_frac_p_2_4]: https://private.codecogs.com/gif.latex?a%3D%5Csqrt%7Bq-%5Cfrac%7Bp%5E2%7D%7B4%7D%7D
[b_N-_frac_Mp_2]: https://private.codecogs.com/gif.latex?b%3DN-%5Cfrac%7BMp%7D%7B2%7D
[int _x_a_f_t_dt]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cint%20%5Ex_%7Ba%7Df%28t%29dt
[int _b_x_a_x_f_t_dt]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cint%20%5Eb%5E%28%5Ex%5E%29_%7Ba%28x%29%7Df%28t%29dt
[f_b_x_b_x_-f_a_x_a_a_x]: https://private.codecogs.com/gif.latex?f%28b%28x%29%29b%7B%7D%27%28x%29-f%28a%28x%29%29a%7B%7D%27%28a%28x%29%29
[int _b_a_f_x_dx_f_varepsilon _b-a]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cint%20%5Eb_%7Ba%7Df%28x%29dx%3Df%28%5Cvarepsilon%20%29%28b-a%29%29
[sin_2x]: https://private.codecogs.com/gif.latex?sin%5E2x
[cos_2x]: https://private.codecogs.com/gif.latex?cos%5E2x
[tan_2x_sec_2x-1]: https://private.codecogs.com/gif.latex?tan%5E2x%3Dsec%5E2x-1
[u_tanx_2]: https://private.codecogs.com/gif.latex?u%3Dtanx/2
[sinx_2u_1_ u_2]: https://private.codecogs.com/gif.latex?sinx%3D2u/1&plus;%20u%5E2
[u_tanx]: https://private.codecogs.com/gif.latex?u%3Dtanx
[sinx_frac_u_sqrt_1_u_2]: https://private.codecogs.com/gif.latex?sinx%3D%5Cfrac%7Bu%7D%7B%5Csqrt%7B1&plus;u%5E2%7D%7D
[20210116203852627.png]: /images/20221119/54000061ff964d19bcaa8d0be5838518.png
[y_p_x_y_q_x]: https://private.codecogs.com/gif.latex?y%7B%7D%27&plus;p%28x%29y%3Dq%28x%29
[20210116204728389.png]: /images/20221119/ab4daf37333a4118b9a8f3708a7ef101.png
[y_n]: https://private.codecogs.com/gif.latex?y%5E%28%5En%5E%29
[r_n]: https://private.codecogs.com/gif.latex?r%5En
[y_n_f_x]: https://private.codecogs.com/gif.latex?y%5E%28%5En%5E%29%3Df%28x%29
[y_n_f_x_y_n_-_1]: https://private.codecogs.com/gif.latex?y%5E%28%5En%5E%29%3Df%28x%2Cy%5E%28%5En%5E-%5E1%5E%29%29
[Ce_r_x]: https://private.codecogs.com/gif.latex?Ce%5Er%5Ex
[e_r_x_C_1_C_2_x_..._C_k_x_k_-_1]: https://private.codecogs.com/gif.latex?e%5Er%5Ex%28C_%7B1%7D&plus;C_%7B2%7Dx&plus;...&plus;C_%7Bk%7Dx%5Ek%5E-%5E1%29
[e_a_x_C_1_cosb x_C_2_sinbx]: https://private.codecogs.com/gif.latex?e%5Ea%5Ex%28C_%7B1%7Dcosb%20x&plus;C_%7B2%7Dsinbx%29
[e_a_x_C_1_C_2_x_..._C_k_x_k_-_1_cosbx_D_1_D_2_x_..._D_k_x_k_-_1_sinbx]: https://private.codecogs.com/gif.latex?e%5Ea%5Ex%28%28C_%7B1%7D&plus;C_%7B2%7Dx&plus;...&plus;C_%7Bk%7Dx%5Ek%5E-%5E1%29cosbx&plus;%28D_%7B1%7D&plus;D_%7B2%7Dx&plus;...&plus;D_%7Bk%7Dx%5Ek%5E-%5E1%29sinbx%29
[Ce_r_x_C_1_C_2_x_..._C_k_x_k_-_1]: https://private.codecogs.com/gif.latex?Ce%5Er%5Ex%28C_%7B1%7D&plus;C_%7B2%7Dx&plus;...&plus;C_%7Bk%7Dx%5Ek%5E-%5E1%29