和整数相乘_1-5 整数的乘法

ゝ一纸荒年。 2023-01-07 04:57 109阅读 0赞

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### **前言** ###

9的第99个后继是多少？对于学完加法的我们，已经不需要一个一个从9一直数到108，而是可以直接说出9+99=108，加法合并了这些后继操作。

那么当99个99相加时，有没有什么新的方法来合并这些加法操作呢？乘法自然而然地就产生了。

### **自然数乘法的定义** ###

当我们把3个4相加时，我们也可以说是4乘3，即用加法来定义乘法：

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我们很容易就能验证，任何数和1的乘积都等于这个数本身。

而乘法是比加法更高一层的运算法则，因此我们规定在同一个式子中，先算乘法再算加减法，除非有括号。

练习：计算

![Image 1][] 。

### **自然数乘法的意义** ###

乘法除了可以在一维直线上进行计算，也能够计算二维平面：

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上图中左边的图形有多少个格子？很显然是6个，但我们也可以不用数数的方式，用乘法来计算每行3个，总共2行，即3x2=6。

练习：用乘法计算右边的图中有几个格子。

探索：乘法和加法有什么区别？3堆苹果，每堆5个，和5堆苹果，每堆3个，真的是一样的吗？（对象不同的二元运算，映射的复合）

### **交换律、结合律和分配律** ###

我们可以验证，3乘4和4乘3是相等的，同时2乘3再乘4，和3乘4再乘2是相等的，即：

![Image 1][]

和加法类似，乘法同样拥有交换律和结合律。

现在我们能够对0的乘法进行规定了，为了保持数学的统一美，数学家们让乘法对于0也满足乘法交换律，0乘4等于4乘0，即4个0相加，结果为0。

因此规定，0乘任何数都是0，包括0乘0。

练习：计算

![Image 1][] 。

探索：怎么证明乘法交换律和乘法结合律对所有自然数有效？（皮亚诺公理）

而乘法除了交换律和结合律，还能和加法结合产生新的性质。2加3再乘5，与2和3单独乘5再相加，结果是一样的，即：

![Image 1][]

这被叫做乘法分配律。

练习：计算

![Image 1][] 。

探索：怎么证明乘法分配律对所有自然数有效？（皮亚诺公理）

探索：两个数相加和另外两个数相加的乘积该如何使用分配律？很多个呢？（代数式的乘法）

### **整数乘法的定义** ###

知道了自然数的乘法之后，我们接下来要考虑整数。

如果是一个正数和负数相乘，例如2乘-3，我们依旧可以利用加法计算：

![Image 1][]

即正数和负数相乘，得到的是负数，结果为绝对值相乘的相反数。

但负数乘负数应该是多少？比如-1乘-1？

简单来说，负数乘负数没有实际意义，所以只是一种规定，数学家们定义：

两个负数相乘等于正数，结果是绝对值相乘。

为什么这么定义，因为这样的乘法可以满足分配律，而且满足分配律的乘法只有这一种：

![Image 1][]

这就是所谓的负负得正，两个负数相乘等于正数。

练习：计算

![Image 1][] 。

探索：满足分配律的负数乘法有什么优势？（负数乘法的应用，交换环）

### **尾声** ###

乘法提供了比加法更高一层的运算，而更高一层的运算也往往会产生新的数学，例如乘法分配律。

同时，负数乘法的引入，打破了数学和实际事物的联系，在理解上是困难的。-1乘-1的问题中，我们进入了人为规定的抽象世界，这是由具体数学向形式数学的重要转折。

探索：比乘法再高一层的运算是什么样的？再高很多层呢？（乘方，葛立恒数，康威链）

探索：小数该怎么计算乘法？（实数的运算）

预习：就像加法对应减法一样，乘法有没有对应的逆运算？这种运算能够一直在整数上成立吗？

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