游戏编程 - 从Godot引擎中的lerp(...)函数到线性插值

野性酷女 2023-01-04 13:29 300阅读 0赞

## 从Godot引擎中的lerp(…)函数到线性插值 ##

![在这里插入图片描述][20210114012344252.png_pic_center]

### 1。 What’s LERP? ###

*  lerp < [linear interpolation][] < 线性插值 < [LERP索引页][LERP] < [黑客词典][Link 1]

### 2。lerp(…)函数做了什么？ ###

*  先让我们给出godot中lerp的函数签名，方便我们下面讨论：
 *  > `Variant lerp(from: Variant, to: Variant, weight: float)`
 *  Variant是gdscript中的一种元数据，这里暂且可以理解成一种数据类型的占位符，表示这个函数有针对多个数据类型的版本，比如：int、float、Vector2、Vector3、Color。

#### 2。1。对两个数做lerp ####

*  比如：为什么`lerp(0, 4, 0.75)`的返回值是`3`？
 *  可以将这里的lerp看成针对int（或float）的版本：`int lerp(from: int, to: int, weight: float)`。
 *  `3`**这个返回值是怎么得来的**？lerp在内部是这样干的：`return = (1- weight) * from + weight * to`；也就是：`(1 - 0.75) * 0 + 0.75 * 4 = 3`。
 *  **为什么要这样做**？上面的式子是两个数之间的插值公式。当然了，也没必要非得往数学上扯，这只不过是我们想在0~4范围内取一个数，于是我们对lerp说：“我要取0~4这个范围内的0.75比重处的那个数”。lerp寻思了一会说：“好，那个数是3”。
 *  **当我们在说比重（weight）时，那意味着什么**？再看一眼那个公式，没错，这个公式的确是from与to的加权平均值，毕竟两个数之间的插值就是这样定义的。所以“比重”就是“权重”。（1）当weight是0时，我们的意思是第一个数的权重是1，第二个数的权重是0，所以加权平均值等于第一个数；（2）当weight是1时，我们的意思是第一个数的权重是0，第二个数的权重是1，所以加权平均值等于第二个数；（3）当weight是0.5时，我们的意思是两个数的权重各占一半，这个时候的加权平均值也就是两个数的平均值，也就是两个数中点处的那个数值；……
 *  **两个数的加权平均值，本质上是在干一件什么事**？试着回答一个问题（如下图）：`如果把范围0~1当成范围from~to，那么0~1内的0.75处相当于from~to的哪一处？0~1内的weight处呢？`  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zNzgxODA4MQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]
 *  对于lerp两个数（一维），更好的理解是看成一种范围映射操作。lerp的源码可能更有说服力：

static _ALWAYS_INLINE_ float lerp(float p_from, float p_to, float p_weight) 
    {
         
    	return p_from + (p_to - p_from) * p_weight; 
    }

*  `weight`的范围当然可以在\[0,1\]之外，只不过那并不常用，这个我们稍后说~
 *  让我们想个演示，实数可以表示什么呢，也许角度（弧度表示）是个不错的开始：  
    ![在这里插入图片描述][20210112173613835.gif_pic_center]

extends Node2D
    
    const fan_speed = 1
    
    func _process(delta):
    	$Sprite.rotation = lerp($Sprite.rotation, 8 * PI, delta * fan_speed)

#### 2。2。对两个点做lerp ####

*  比如：为什么`lerp(Vector2(1, 5), Vector2(3, 2), 0.5)`的返回值是`Vector2(2, 3.5)`？
 *  所以这里的lerp是针对Vector2的版本：`Vector2 lerp(from: Vector2, to: Vector2, weight: float)`
 *  针对某个类型的lerp版本和int/float的稍有些不同，当我们对某个类型调用lerp时，实际上lerp内部转而调用了对应类型的`linear_interpolate(...)`成员函数，这时的lerp函数只是一个包装，为的是对外提供统一的接口。  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zNzgxODA4MQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]
 *  下面是Vector2的linear\_interpolate函数源码，这和【2。1】中一样，只不过现在是对两个维度上分别做加权平均。所以`1 + 0.5 * (3-1) = 2`;`5 + 0.5 * (2-5) = 3.5`；`=> Vector2(2, 3.5)`

Vector2 Vector2::linear_interpolate(const Vector2 &p_a, const Vector2 &p_b, real_t p_t) {
        
    
    	Vector2 res = p_a;
    
    	res.x += (p_t * (p_b.x - p_a.x));
    	res.y += (p_t * (p_b.y - p_a.y));
    
    	return res;
    }

*  从根本上说，这是两个点之间线性插值公式。（具体看第三部分）
 *  看看下面这个对点做lerp演示，我们对红圆圈的位置做了lerp，而白圆圈的位置只是单纯的赋值：  
    ![在这里插入图片描述][20210112113815409.gif_pic_center]

extends Node2D
    
    const FOLLOW_SPEED = 4.0
    
    func _physics_process(delta):
    	var mouse_pos = get_local_mouse_position()
    
    	$Sprite.position = mouse_pos
    	$Sprite2.position = $Sprite2.position.linear_interpolate(mouse_pos, delta * FOLLOW_SPEED)

#### 2。3。对两个颜色做lerp ####

*  这里lerp的版本是针对Color这个类的：`Color lerp(from: Color, to: Color, weight: float)`
 *  这里lerp内部也是对Color类的`linear_interpolate(...)`成员函数的调用，下面是它的源码，和Vector2基本一样，如果非要统一起来，那或许是Vector4?

_FORCE_INLINE_ Color linear_interpolate(const Color &p_b, float p_t) const {
        
    
    		Color res = *this;
    
    		res.r += (p_t * (p_b.r - r));
    		res.g += (p_t * (p_b.g - g));
    		res.b += (p_t * (p_b.b - b));
    		res.a += (p_t * (p_b.a - a));
    
    		return res;
    	}

*  Vector2的改变意味着位置的变化，那么Color的改变意味着……  
    ![在这里插入图片描述][20210112120624211.gif_pic_center]

extends Node2D
    
    const changed_speed = 1
    
    func _process(delta):
    	# 初始为蓝色rgba(0, 0, 1, 1)
    	$ColorRect.color = $ColorRect.color.linear_interpolate(Color(1, 1, 1, 1), delta * changed_speed)

#### 2。4。对两个矩阵做lerp ####

*  对矩阵做lerp的内容是我中途加的，可能是我觉得对lerp的铺垫还不够。
 *  这里我们说到矩阵时，我们的意思是2D变换。
 *  2D变换在godot引擎里对应的类是Transform2D，这个类有自己的做lerp的成员函数`interpolate_with(...)`。
 *  简单回忆一下2D变换的内容：

![在这里插入图片描述][20210112160956746.png_pic_center]

*  图片来自 [Wikipedia - Transformation matrix][]
 *  如果在使用godot引擎中的Transform2D时硬套用上面数学书中的理论，也许并不好过，原因在于：（1）大多数游戏引擎（包括godot）在2D中使用的是左手坐标系，它的Y轴朝下，和数学中坐标系的Y轴相反；（2）Transform2D内对矩阵数据的组织方式也和我们在数学中所使用的2D变换矩阵不同（看下图）。  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zNzgxODA4MQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]
 *  庆幸的是，看懂“将怪物扔出去”的演示并不需要掌握Transform2D的底层细节。  
    ![在这里插入图片描述][20210112163138947.gif_pic_center]

extends Node2D
    
    const transform_speed = 1
    
    func _process(delta):
    	# 初始位置是Vector2(20, 40)
    	$Sprite.transform = $Sprite.transform.interpolate_with( \
    	Transform2D(PI, Vector2(300, 40)), delta * transform_speed)

*  当然了，godot中肯定存在Transform(3D)和`Transform(3D)::interpolate_with(...)`这种东西了~
 *  如果仍然对前面几个例子中精灵所表现出来的行为感到怪异，试图把握一点：每次做lerp时，起始状态在变，而`weight`不变！

#### 2。5。对某某某做lerp ####

*  What we did？
 *  我们总是在找一些可以变化的东西，比如，实数、位置、颜色、矩阵……；我们总是提供给了lerp操作这些可变化东西的两个状态，比如，两个不相等的实数、两个不同的位置、两个不一样的颜色、两个不等价的矩阵……；当然，最后，我们还给了lerp一个比重`weight`，意思是：“我要这两个状态的混合物，并且混合后的重心在`weight`处。”
 *  **线性**：两个变量成比例变化，叫线性关系，所以`weight`的变化量和状态的变化量也应该成比例。
 *  **插值**：我们明明只有两个边界状态，却试图得到两个边界状态的某个中间状态，于是我们给这中间插值。

### 3。 线性插值 ###

#### 3。1。事出何为 ####

*  在数学中，线性插值是一种使用线性多项式进行曲线拟合的方法，可以在一组离散的已知数据点范围内构造新的数据点。- [Wikipedia - Linear interpolation][linear interpolation]
 *  游戏中，使用线性插值从根本上是为了获得一种过渡。运用于平滑动作、控制相机、制作动画等。
 *  拿两个点的线性插值来研究，现在我们有平面上两个点A、B，注意我的意思是我们只有这两个点，中间是空白一片（看下图），当然它们的坐标`(xA, yA)`、`(xB, yB)`是已知的。当我们在区间`xA`到`xB`上随便找一点`x?`，并试图计算出这一点对应的纵坐标`y?`时，实际上我们就是在研究一个插值问题。  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zNzgxODA4MQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]
 *  通常已知一个点的横坐标，求它对应的纵坐标，是一个水到渠成的问题，这里的水也就是过这点的函数方程，题目中经常会给出各种暗示，很重要的一点是：这些暗示对于确定出这个函数方程是完备的。
 *  我们现在面对的似乎也是这种问题，不过我们的已知条件有且只有A、B两点的坐标，很明显，这没法确定出过`(x?, y?)`点的方程（看下图）。的确，没人知道纵坐标是多少那么任何答案都是正确答案，**“猜一个”**，这种想法很好，但是当别人问你为什么的时候，你应该能扯出来，也就是可以自圆其说，这才比较数学。  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zNzgxODA4MQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 4]
 *  我们完全没必要这么被动，我想是不是我们在学校刷题太多，遇到条件不完备的题目总感觉题目出错了？
 *  题目的意思是计算一个点的纵坐标，**而且没有限制我们过这点的曲线（方程）应该是什么样**，唯一那一点要求是过A、B两个点，换句话说，题目给了我们充分的自由度，我们学过什么**一次（线性、直线）函数**、**二次（抛物线）函数**、**三次（回归抛物线）函数**、**三角函数**等等。（1）随便选一个，比如一次函数（图中圈4），（2）用两点式求出这条直线方程，（3）把先前自己臆想的那个点的横坐标`x?`代入直线方程待定系数，（4）于是求`y?`。当别人问你为什么是`y?`而不是`y??`或`y???`时，告诉它们，你用的是线性方程，在A、B两点之间插入`(x?, y?)`点的方式是线性方式，依据的数学理论是线性插值理论。
 *  至于圈1、圈2、圈3也许叫二次插值或非线性插值什么的。

#### 3。2。推导 ####

*  根据两点写出直线方程：  
    ![在这里插入图片描述][20210113142318568.png_pic_center]
 *  移项：  
    ![在这里插入图片描述][20210113142409813.png_pic_center]
 *  恒等变形：  
    ![在这里插入图片描述][20210113142511669.png_pic_center]
 *  换个元：  
    ![在这里插入图片描述][2021011315100942.png_pic_center]
 *  所以`x`是：  
    ![在这里插入图片描述][20210113151751630.png_pic_center]
 *  代回原式，所以`y`是：  
    ![在这里插入图片描述][20210113151858724.png_pic_center]
 *  回到这篇blog的开头。
 *  把上述两个表示`x`、`y`的式子运用结合律变形：  
    ![在这里插入图片描述][20210113165006508.png_pic_center]
 *  回到godot引擎Vector2的线性插值函数`linear_interpolate(...)`的源码：

#### 3。3。Where are we? ####

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zNzgxODA4MQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 5]

*  恩，线性插值是最简单也是最常用的一种插值方式。
 *  每种插值方式游戏中都可能用的到，比如Bezier曲线？

#### 3。4。内插与外推（线性） ####

*  还记得之前说过`weight`的范围并不需要非得在`[0, 1]`之间吗？当`weight`不在这个范围时，`x?`就会跑出`[xA, xB]`区间。相当于我们要在A、B两点之外（而非之间）插值，又叫外推。  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zNzgxODA4MQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 6]

### 4。\_lerp\_函数族（不完全） ###

*  `lerp(...)`
 *  `linear_interpolate(...)`
 *  `interpolate_with(...)`
 *  `lerp_angle(...)` \- 对两个弧度表示的角度插值
 *  `inverse_lerp(...)` \- 反插值，也许也可以叫unlerp
 *  `range_lerp(...)` \- 真正的范围映射，也许也可以叫remap
 *  `cubic_interpolate(...)` \- 三次插值，构造Bezier曲线

### 5。参考文章 ###

*  [https://en.wikipedia.org/wiki/Linear\_interpolation][linear interpolation]
 *  [https://docs.godotengine.org/en/stable/tutorials/math/interpolation.html][https_docs.godotengine.org_en_stable_tutorials_math_interpolation.html]
 *  [https://docs.godotengine.org/en/stable/tutorials/math/beziers\_and\_curves.html\#doc-beziers-and-curves][https_docs.godotengine.org_en_stable_tutorials_math_beziers_and_curves.html_doc-beziers-and-curves]
 *  [https://github.com/godotengine/godot/tree/3.2][https_github.com_godotengine_godot_tree_3.2]
 *  [https://limnu.com/sketch-lerp-unlerp-remap/][https_limnu.com_sketch-lerp-unlerp-remap]
 *  [《数值计算方法》 科学出版社 魏毅强等编][Link 2]

### 6。其它 ###

个人公众号，偶尔发些技术文，欢迎一起讨论游戏开发~  
  
  
![在这里插入图片描述][20210113233758515.png_pic_center]

[20210114012344252.png_pic_center]: /images/20221119/0c6b7bce3a2d4a28854b39456f77ce93.png
[linear interpolation]: https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_interpolation
[LERP]: http://www.catb.org/jargon/html/L/LERP.html
[Link 1]: http://www.catb.org/jargon/html/index.html
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zNzgxODA4MQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]: /images/20221119/71c5ff745d734d1e867561567c6c68f3.png
[20210112173613835.gif_pic_center]: /images/20221119/7064e866ae154b77b7fc8c0b7fe612d0.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zNzgxODA4MQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]: /images/20221119/281d92fb99034bd79efd6b2548ff2619.png
[20210112113815409.gif_pic_center]: /images/20221119/e72cd979d879402dbe3e86b9751d31a6.png
[20210112120624211.gif_pic_center]: https://img-blog.csdnimg.cn/20210112120624211.gif#pic_center
[20210112160956746.png_pic_center]: https://img-blog.csdnimg.cn/20210112160956746.png#pic_center
[Wikipedia - Transformation matrix]: https://en.wikipedia.org/wiki/Transformation_matrix
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zNzgxODA4MQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]: https://img-blog.csdnimg.cn/20210112175540861.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zNzgxODA4MQ==,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
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[20210113151858724.png_pic_center]: https://img-blog.csdnimg.cn/20210113151858724.png#pic_center
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[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zNzgxODA4MQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 5]: https://img-blog.csdnimg.cn/20210113175245485.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zNzgxODA4MQ==,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zNzgxODA4MQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 6]: https://img-blog.csdnimg.cn/20210113174806944.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zNzgxODA4MQ==,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[https_docs.godotengine.org_en_stable_tutorials_math_interpolation.html]: https://docs.godotengine.org/en/stable/tutorials/math/interpolation.html
[https_docs.godotengine.org_en_stable_tutorials_math_beziers_and_curves.html_doc-beziers-and-curves]: https://docs.godotengine.org/en/stable/tutorials/math/beziers_and_curves.html#doc-beziers-and-curves
[https_github.com_godotengine_godot_tree_3.2]: https://github.com/godotengine/godot/tree/3.2
[https_limnu.com_sketch-lerp-unlerp-remap]: https://limnu.com/sketch-lerp-unlerp-remap/
[Link 2]: https://book.douban.com/subject/1231167/
[20210113233758515.png_pic_center]: https://img-blog.csdnimg.cn/20210113233758515.png#pic_center