数据结构与算法--面试必问AVL树原理及实现

淩亂°似流年 2022-12-28 11:14 173阅读 0赞

#### 数据结构与算法–AVL树原理及实现 ####

*  AVL（Adelson-Velskii 和landis）树是带有平衡条件的二叉查找树，这个平衡条件必须容易实现，并且保证树的深度必须是O(logN)。因此我们让**一棵AVL树中每个节点的左子树和右子树的高度最多相差1**（空树高度定义-1）如下图，左边是AVL树，右边不是AVL树。
 *  ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2xpYW9qaWFtaW4wMTAy_size_16_color_FFFFFF_t_70]
 *  左图中3 节点左子树高度0，右子树高度1，相差不超过1。
 *  右图中节点3，左子树盖度0，右子树高度2，相差超过1，不满足AVL数要求。
 *  我们可以在每一个节点中保留高度信息，那我们可以推算出如下 高度h 与节点之间关系的公式
    
     *  在高度h的AVL树中，最少节点数S(h)由S(h)=S(h-1)+S(h-2)+1标识
     *  对于h，S(h)=1; h=1, S(h)=2，明显函数S(h)与斐波那契数列密切相关，由此我们可以推算出AVL数的高度的界限1.44log(N+2)-1.328。

##### insert分析 #####

*  经过如上高度，限制条件分析，我们可以认为，AVL树操作都可以以时间O(logN)执行。当插入操作时候，我们需要更通向根节点路径上那些节点的所有平衡信息，而插入操作比较棘手的地方子阿姨，一个插入节点可能破坏AVL的平衡性。
    
     *  上图中左图插入数据5，变成右图，平衡性改变，不符合AVL树特性
 *  因此我们需要考虑在insert之后恢复平衡性，这种操作总可以通过树进行简单的修正做到，我们成为**旋转**。
 *  我们将insert后必须重新平衡的节点记录为a。由于任意节点最多两个儿子，因此出现高度不平衡需要a的左右子树的高度相差2，容易推出如下四种情况：
    
     *  对a的左子树的左子树进行一次insert
     *  对a的左子树的右子树进行一次insert
     *  对a的右子树的左子树进行一次insert
     *  对a的右子树的右子树进行一次insert
 *  上面四点中 第一点与第四点镜像对称，第二点和第三点镜像对称，理论上我们只需要实现两种就可以同样的实现方法得出对称的方法。
 *  第一种情况发生在外侧情况（左左或者右右），该情况通过一次单旋转可以完成跳转。
 *  第二中情况发生在内部(左右或者右左)，这种情况需要复杂一些的双旋转。

##### 单旋转 #####

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2xpYW9qaWFtaW4wMTAy_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

*  如上图左图中的树节点4不满足AVL树，因为他的左子树的深度比右子树深2层，改图中描述的情况是第一点1中描述的情况。在插入2 节点之后，原来满足AVL数的性质遭到了破坏，子树 3多出了一层我们需要调整节点然他在平衡。
 *  我们将3节点上移，并且将4节点下移，得到右图中所示的新的树满足AVL特性
 *  我们可以形象的将树看成是柔软的，抓住3 节点向上提在重力的作用下3节点变成了新的根节点（子树的根）。由于二叉查找树的特性，4>3，
    
     *  所以4节点变成了3节点的右节点。
     *  如果3 有右节点x，那么3的右节点应该变成4的左节点，因为x>3 并且x<4
     *  2的左右节点不变，4的右节点不变  
        \-我们在来插入一个数据1 ，得出如下结果：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2xpYW9qaWFtaW4wMTAy_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

*  如上左图我们插入1 后，破坏了5 根节点的平衡性，5节点的左子树深度3， 右子树深度1，超过2，因此我们应该在3 节点处进行如上步骤的操作得到最终的AVL数右图：
    
     *  3节点编程根节点，5节点编程3的右节点
     *  3的右节点交给5的左节点
     *  其他节点不变

##### 双旋转 #####

*  上面案例中的算法小时，在下图找那个是无效的：  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2xpYW9qaWFtaW4wMTAy_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]
 *  如上左图到右图的变化，9节点在插入 7 节点后，时序平衡性，我们在5与9节点之间作旋转，按上面描述的算法，得到右图，还是非AVL数
 *  我们通过如上的实验得出5 和9 之间的旋转无法解决问题。也就是5， 9 作为根都无法得到一个平衡树，那么只能由6 节点作为跟节点
 *  如此的话，节点的顺序就一目了然了： 5节点是6左子树，9 是右子树，7 变为9 的左子树。得到如下结果：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2xpYW9qaWFtaW4wMTAy_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]

*  我们继续接着上面的案例插入 15， 14，13。插入13容易，因为他不会破坏节点的平衡性，但是插入12 之后硬气10 节点的高度不平衡，这个属于上面描述的情况3 的案例：需要通过一次右-左双旋来解决这个问题。![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2xpYW9qaWFtaW4wMTAy_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]
 *  如上左图中，右-左旋流程：
    
     *  我们先在15 节点和14节点之间做一次右旋转，我们在做这次右旋转流程时候，假设14节点左节点还有一个节点是我们假设的虚拟节点
     *  那么此时15 节点就满足上述情况中的第一点左 左描述情况，那么我们用右旋得到如下图情况：  
        ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2xpYW9qaWFtaW4wMTAy_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]
 *  如上图我们完成了第一次右边选择，图中虚线表示虚拟节点不存在
 *  那么我们再看此时10 节点也是不符合平衡性质，而且恰好此时满足第四点情况描述的右右的描述
 *  那么我们按照之前的算法描述需要对10，14 节点之间进行左旋得到如下结果

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2xpYW9qaWFtaW4wMTAy_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]

##### 总结 #####

*  至此我们对上面两种旋转做一个总结，为了将项X的一个新节点插入到一个AVL树中，
    
     *  我们递归的将X插入到T数对应的子树位置，记录改子树为T\_lr
     *  如果T\_lr的高度不变那么插入完成
     *  如果T中出现高度不平衡，则根据X以及T和T\_lr中项做适当的单旋或者双旋来更新这些高度
     *  解决旋转之后其他节点的归属问题
 *  经过如上分析，我们给出以下实现（二叉查找树上一节已经实现，在此基础上进行修改）：

###### 算法实现 ######

*  节点定义，还是和上一节二叉查找树中类似，只不过我们在节点中需要维护一个高度信息，并且修改了comparable方法。如下实现：

/** * 二叉树节点对象定义 * * @author liaojiamin * @Date:Created in 15:24 2020/12/11 */
    public class BinaryNode implements Comparable { 
        private Object element;
        private BinaryNode left;
        private BinaryNode right;
        /** * 树高度 */
        private int height;
        private int count;
    
        public BinaryNode(Object element, BinaryNode left, BinaryNode right) { 
            this.element = element;
            this.left = left;
            this.right = right;
            this.count = 1;
            this.height = 0;
        }
    
        public int getHeight() { 
            return height;
        }
    
        public void setHeight(int height) { 
            this.height = height;
        }
    
        public Object getElement() { 
            return element;
        }
    
        public void setElement(Object element) { 
            this.element = element;
        }
    
        public BinaryNode getLeft() { 
            return left;
        }
    
        public void setLeft(BinaryNode left) { 
            this.left = left;
        }
    
        public BinaryNode getRight() { 
            return right;
        }
    
        public void setRight(BinaryNode right) { 
            this.right = right;
        }
    
        public int getCount() { 
            return count;
        }
    
        public void setCount(int count) { 
            this.count = count;
        }
    
        @Override
        public int compareTo(Object o) { 
            if (o == null) { 
                return 1;
            }
            int flag;
            if (o instanceof Integer) { 
                int myElement = (int) this.element - (int) o;
                flag = myElement > 0 ? 1 : myElement == 0 ? 0 : -1;
            } else { 
                flag = this.element.toString().compareTo(o.toString());
            }
    
            if (flag == 0) { 
                return 0;
            } else if (flag > 0) { 
                return 1;
            } else { 
                return -1;
            }
        }
    }

*  单左旋，单右旋代码实现：

/** * 左单旋一次 * */
        private BinaryNode rotateWithLeftChild(BinaryNode k2){ 
            BinaryNode k1 = k2.getLeft();
            k2.setLeft(k1.getRight());
            k1.setRight(k2);
            k2.setHeight(Math.max(height(k2.getLeft()), height(k2.getRight())) + 1);
            k1.setHeight(Math.max(height(k1.getLeft()), height(k2)) + 1);
            return k1;
        }
     /** * 右单旋一次 * */
        private BinaryNode rotateWithRightChild(BinaryNode k2){ 
            BinaryNode k1 = k2.getRight();
            k2.setRight(k1.getLeft());
            k1.setLeft(k2);
            k2.setHeight(Math.max(height(k2.getLeft()), height(k2.getRight())) + 1);
            k1.setHeight(Math.max(height(k2), height(k1.getRight())) + 1);
            return k1;
        }

*  如上代码实现，用下图说明，6节点因为3 的插入破坏平衡性
    
     *  我们在6节点和5节点之前进行选择
     *  5节点成为新根节点
     *  6 节点成为5节点的右节点
     *  5节点的右节点编程6节点的左节点
     *  和如上左旋流程一样，达到目的

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2xpYW9qaWFtaW4wMTAy_size_16_color_FFFFFF_t_70 8]

*  双左旋，双右旋转实现：

/** * 右旋转 接左旋转，双旋转 * */
        private BinaryNode doubleWithLeftChild(BinaryNode k3){ 
            k3.setLeft(rotateWithRightChild(k3.getLeft()));
            return rotateWithLeftChild(k3);
        }
    
        /** * 左旋转 接右旋转，双旋转 * */
        private BinaryNode doubleWithRightchild(BinaryNode k3){ 
            k3.setRight(rotateWithLeftChild(k3.getRight()));
            return rotateWithRightChild(k3);
        }

*  双旋的情况我们将他看出是两段，两段分别进行单旋操作:
    
     *  第一步，如下图，有K2节点进行右旋得到右图中树结构  
        ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2xpYW9qaWFtaW4wMTAy_size_16_color_FFFFFF_t_70 9]
 *  第二步，对k3进行左旋

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2xpYW9qaWFtaW4wMTAy_size_16_color_FFFFFF_t_70 10]

*  删除操作，添加操作：添加操作破坏平衡性，之后在纠正，由于二叉查找树的删除比插入更加复杂，英雌AVL删除也同样，我们也可以和insert方法一样，在insert之后在纠正平衡性，这样就可以在二叉查找树的基础上进行很简单的实现：

/** * 插入节点 * * @author: liaojiamin * @date: 15:48 2020/12/15 */
        private BinaryNode insert(Object x, BinaryNode t) { 
            if (x == null) { 
                return t;
            }
            if (t == null || t.getElement() == null) { 
                t = new BinaryNode(x, null, null);
                return t;
            }
            int flag = t.compareTo(x);
            if (flag > 0) { 
                t.setLeft(insert(x, t.getLeft()));
            } else if (flag < 0) { 
                t.setRight(insert(x, t.getRight()));
            } else { 
                t.setCount(t.getCount() + 1);
            }
            return balance(t);
        }
    
        /** * 删除节点 * * @author: liaojiamin * @date: 15:48 2020/12/15 */
        private BinaryNode remove(Object x, BinaryNode t) { 
            if (x == null) { 
                return t;
            }
            int flag = t.compareTo(x);
            if (flag > 0) { 
                return remove(x, t.getLeft());
            } else if (flag < 0) { 
                return remove(x, t.getRight());
            } else if (t.getLeft() != null && t.getRight() != null) { 
                //找到对应节点，将节点右子树下面最小的值替换当前值
                BinaryNode min = findMin(t.getRight());
                t.setElement(min.getElement());
                //递归删除右子树下最小值
                remove(min.getElement(), t.getRight());
            } else { 
                //找到对应节点，但是当前节点只有一个子节点
                // 递归思想：只考虑最简单情况，当只有当前节点与其左子节点，删除当前节点返回当节点左子节点，右节点同理
                t = t.getLeft() != null ? t.getLeft() : t.getRight();
            }
            return balance(t);
        }

*  平衡性纠正方法：

private static final int MAXBALANCE_HEIGH = 1;
        /** * 平衡查找二叉树 * * */
        public BinaryNode balance(BinaryNode t){ 
            if(t == null){ 
                return t;
            }
            if(height(t.getLeft()) - height(t.getRight()) > MAXBALANCE_HEIGH){ 
                if(height(t.getLeft().getLeft()) >= height(t.getLeft().getRight())){ 
                    t = rotateWithLeftChild(t);
                }else { 
                    t = doubleWithLeftChild(t);
                }
            }else if(height(t.getRight()) - height(t.getLeft()) > MAXBALANCE_HEIGH ){ 
                if(height(t.getRight().getRight()) >= height(t.getRight().getLeft())){ 
                    t = rotateWithRightChild(t);
                }else { 
                    t = doubleWithRightchild(t);
                }
            }
            t.setHeight(Math.max(height(t.getLeft()), height(t.getRight())) + 1);
            return t;
        }

*  其他方法：

/** * 按顺序打印节点信息：左中右 * * @author: liaojiamin * @date: 15:48 2020/12/15 */
        public void printTree(BinaryNode t) { 
            if (t == null || t.getElement() == null) { 
                return;
            }
            printTree(t.getLeft());
            for (int i = 0; i < t.getCount(); i++) { 
                System.out.print(t.getElement() + " ");
            }
            printTree(t.getRight());
        }
      /** * 获取树高度 * */
        private int height(BinaryNode t){ 
            return t == null ? -1 : t.getHeight();
        }
     public void makeEmpty(BinaryNode root) { 
            root = null;
        }
    
        public boolean isEmpty(BinaryNode root) { 
            return root == null;
        }
    
        public static void main(String[] args) { 
            BinaryNode node = new BinaryNode(null, null, null);
            AvlTree searchTree = new AvlTree();
            Random random = new Random();
            for (int i = 0; i < 20; i++) { 
                node = searchTree.insert(random.nextInt(100), node);
            }
            System.out.println(searchTree.findMax(node).getElement());
            System.out.println(searchTree.findMin(node).getElement());
            searchTree.printTree(node);
            if(!searchTree.contains(13, node)){ 
                node = searchTree.insert(13, node);
            }
            System.out.println(searchTree.contains(13, node));
            node = searchTree.remove(13, node);
            System.out.println(searchTree.contains(13, node));
        }
    
        /** * 节点元素是否存在 * * @author: liaojiamin * @date: 15:48 2020/12/15 */
        private boolean contains(Object x, BinaryNode t) { 
            if (x == null) { 
                return false;
            }
            if (t == null) { 
                return false;
            }
            int flag = t.compareTo(x);
            if (flag > 0) { 
                return contains(x, t.getLeft());
            } else if (flag < 0) { 
                return contains(x, t.getRight());
            } else { 
                return true;
            }
        }
    
        /** * 查找最小元素节点 * * @author: liaojiamin * @date: 15:48 2020/12/15 */
        private BinaryNode findMin(BinaryNode t) { 
            if (t == null) { 
                return null;
            }
            if (t.getLeft() != null) { 
                return findMin(t.getLeft());
            }
            return t;
        }
    
        /** * 查找最大元素节点 * * @author: liaojiamin * @date: 15:48 2020/12/15 */
        private BinaryNode findMax(BinaryNode t) { 
            if (t == null) { 
                return null;
            }
            if (t.getRight() != null) { 
                return findMax(t.getRight());
            }
            return t;
        }

[上一篇：数据结构与算法–二叉查找树实现原理][Link 1]  
[下一篇：数据结构与算法–二叉堆（最大堆，最小堆）实现及原理][Link 2]

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