【数学建模】11 数学建模常用算法和计算机辅助软件

ゝ一世哀愁。 2022-12-26 11:12 134阅读 0赞

### 目录 ###

*  1 常用数值计算方法
 *  2 现代智能计算方法
 *   *  2.1 分类
     *  2.2 遗传算法
     *  2.3 神经网络
 *  3 科技计算软件
 *  4 习题

# 1 常用数值计算方法 #

（1）解线性方程组的直接方法  
• 高斯消去法（Gauss）  
• 三角分解追赶法  
• Jacobi迭代法  
• Gauss-Seidel迭代法  
• 超松弛迭代法  
（2）非线性方程的求根方法  
• 二分法  
• Newton迭代法  
• 弦截法  
• 抛物线法  
（3）数值积分求解  
![在这里插入图片描述][20201204221312143.png_pic_center]

（4）数值微分求解  
![在这里插入图片描述][20201204221331167.png_pic_center]

（5）常微分方程的数值求解  
• Euler公式  
• 后退的Euler法  
• 改进的Euler法  
• Runge-Kutta法  
（6）插值法  
• Lagrange一次插值法  
• Lagrange插值多项式  
• Newton插值  
• Hermite插值  
• 三次样

# 2 现代智能计算方法 #

## 2.1 分类 ##

• 模拟退火算法  
• 遗传算法  
• 禁忌搜索算法  
• 人工神经网络  
• 粒子群算法  
• 深度学习

## 2.2 遗传算法 ##

（1）流程图  
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（2）核心要素  
• 参数编码  
• 初始种群的设定  
• 适应度函数的设计  
• 遗传操作设计  
• 控制参数设定

## 2.3 神经网络 ##

# 3 科技计算软件 #

（1）MATLAB  
（2）Lingo：数学规划用得较多  
（3）Spss：统计计算软件  
（4）Ansys：偏微分  
（5）Python：深度学习

# 4 习题 #

1.  设计一个三角追赶法函数，求解问题L\*Ux = b,要求输入L、U和b，输出x

function x = fun(L,U,b) 
    U = L.*U
    n = size(U) % n为系数矩阵的行数
    a(1)  = U(1,1)
    d(1) = 0
    for i=2:n-1
        a(1) = U(i,i-1)
        d(i) = U(i,i-1)
        c(i) = U(i,i+1)
    end
    a(n) = U(n,n)
    d(n) = U(n,n-1)
    c(n) = 0
    t(1) = a(1) %开始求解L，U
    m(1) = 0
    for i=2 : n
        m(i) = b(i) %求得m(i)
        u(i-1) = c(i-1)/t(i-1)% 求得u(i)
        t(i) = a(i) - d(i) *u(i-1)% 求得t(i)
    end
    u(n)=0
    y(1) = b(1)/t(1);
    for i =2:n
        y(i) = [b(i)-m(i)*y(i-1)]/t(i);求得y(i)
    end
    x(n) = y(n)
    for i=n-1:-1:1
        x(i) = y(i) - u(i)*x(i+1)
    end
    x =x'

1.  二分法求解非线性方程根的程序

function[x_star,index,it]=bisect(fun,a,b)
    %求解非线性计算方程的二分法，其中，fun(x)为需要求根的函数;
    %a,b为初始区间的端点;
    %ep为精度，当(b-a)/2<ep时，算法能终止计算，
    %缺省值为1e-5;
    %当x_star迭代成功时，输出方程的根
    %当x_start迭代失败时，输出两端点的值；
    %index为指标变量，当index=1时，表明迭代成功，
    %当index=0时，表明初始区间不是有根区间；
    %it为迭代次数
    if nargin<4
        ep=1e-5;
    end
    fa=feval(fun,a);fb=feval(fun,b);
    if fa*fb>0
        x_star=[fa,fb];index=0;it=0;
        return;
    end
    k=1;
    while abs(b-a)/2>=ep
        x=(a+b)/2;fx=feval(fun,x);
        if fx*fa<0
            b=x;fb=fx;
        else
            a=x;fa=fx;
        end
        k=k+1;
    end
    x_star=(a+b)/2;index=1;it=k;

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