「修炼开始」一文带你入门深度学习

分手后的思念是犯贱 2022-12-24 15:47 202阅读 0赞

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## 一、前言 ##

承诺的图解 AI 算法系列教程，今天它来了！

最近，写了很多 AI 趣味性算法教程，目前写了 14 篇，其中反响不错的教程有：

*  [让图片动起来，特朗普和蒙娜丽莎深情合唱《Unravel》][Unravel]
 *  [为艺术而生的惊艳算法][Link 1]
 *  [百年老照片修复算法，那些高颜值的父母！][Link 2]
 *  [你的红色高跟鞋，AI 换脸技术初体验][AI]
 *  [「完美复刻」的人物肖像画生成算法 U^2-Net][U_2-Net]

读者们玩得很开心，对 AI 算法、深度学习也来了兴趣。

但仅限于开心地跑包，这最多只能算是「调包侠」。

既然来了兴致，何不趁热打铁，多学些基础知识，争取早日迈入「调参侠」的行列。

大家一起炼丹，一起修炼。

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图解 AI 算法系列教程，不仅仅是涉及深度学习基础知识，还会有强化学习、迁移学习等，再往小了讲就比如拆解目标检测算法，对抗神经网络（GAN）等等。

**如果你喜欢这个 AI 算法系列教程，一定要让我知道，转发在看支持，更文更有动力！**

难度会逐渐增加，今天咱先热热身，来点轻松的，当作这个系列的开篇。

## 二、深度学习 ##

**深度学习**（Deep Learning）是近年来发展十分迅速的研究领域，并且在**人 工智能**的很多子领域都取得了巨大的成功。从根源来讲，深度学习是机器学习的一个分支。

深度学习就是从**有限样例**中通过算法总结出一般性的规律，并可以应用到新的**未知数据**上。

比如，我们可以从一些历史病例的集合中总结出**症状**和**疾病**之间的规律。这样，当有新的病人时，我们可以利用总结出来的规律来判断这个病人得了什么疾病。

那想学深度学习，要掌握哪些基础知识？**直接上图**：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2M0MDY0OTU3NjI_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

整理了小半天的思维导图，**建议收藏**！

深度学习主要由上图所示的几个部分组成，想学一个深度学习算法的原理，就看它是什么样的网络结构，Loss 是怎么计算的，预处理和后处理都是怎么做的。

权重初始化和学习率调整策略、优化算法、深度学习框架就那么多，并且也不是所有都要掌握，比如深度学习框架，Pytorch 玩的溜，就能应付大多数场景。

先有个整体的认知，然后再按照这个思维导图，逐个知识点学习，最后整合到一起，你会发现，**你也可以自己实现各种功能的算法了**。

深度学习的主要目的是从数据中自动学习到有效的**特征表示**，它是怎么工作的？那得从神经元说起。

随着神经科学、认知科学的发展，我们逐渐知道人类的智能行为都和大脑活动有关。

人脑神经系统是一个非常复杂的组织，包含近 860 亿个神经元，这 860 亿的神经元构成了**超级庞大的神经网络**。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2M0MDY0OTU3NjI_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]

我们知道，一个人的智力不完全由遗传决定，大部分来自于生活经验。也就是说人脑神经网络是一个具有学习能力的系统。

不同神经元之间的突触有强有弱，其强度是可以通过学习（训练）来不断改变的，具有一定的可塑性，不同的连接又形成了不同的记忆印痕。

而深度学习的神经网络，就是受人脑神经网络启发，设计的一种计算模型，它从结构、实现机理和功能上模拟人脑神经网络。

比如下图就是一个最简单的前馈神经网络，第 0 层称为**输入层**，最后一层称为**输出层**，其他中间层称为**隐藏层**。

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那神经网络如何工作的？网络层次结构、损失函数、优化算法、权重初始化、学习率调整都是如何运作的？

**反向传播给你答案**。前方，**高能预警**！

## 三、反向传播 ##

要想弄懂深度学习原理，必须搞定[反向传播][Link 3]和链式求导法则。

先说思维导图里的**网络层级结构**，一个神经网络，可复杂可简单，为了方便推导，假设，你有这样一个网络层：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2M0MDY0OTU3NjI_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]

第一层是**输入层**，包含两个神经元 i1, i2 和截距项 b1（偏置）；

第二层是**隐含层**，包含两个神经元 h1, h2 和截距项 b2 ；

第三层是**输出层** o1 和 o2 ，每条线上标的 wi 是层与层之间连接的权重，激活函数我们默认为 sigmoid 函数。

在训练这个网络之前，需要初始化这些 wi 权重，这就是**权重初始化**，这里就有不少的初始化方法，我们选择最简单的，**随机初始化**。

随机初始化的结果，如下图所示：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2M0MDY0OTU3NjI_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]

其中，输入数据: i1=0.05, i2=0.10;

输出数据（期望的输出） : o1=0.01, o2=0.99;

初始权重: w1=0.15, w2=0.20, w3=0.25, w4=0.30, w5=0.40, w6=0.45, w7=0.50, w8=0.55。

**目标**：给出输入数据 i1, i2(0.05 和 0.10)，使输出尽可能与原始输出o1, o2(0.01 和 0.99)接近。

神经网络的工作流程分为两步：**前向传播**和**反向传播**。

### 1、正向传播 ###

正向传播是将输入数据根据权重，计算到输出层。

#### 1）输入层->隐藏层 ####

计算神经元 h1 的输入加权和：

net  h 1 = w 1 ∗ i 1 + w 2 ∗ i 2 + b 1 ∗ 1  net  h 1 = 0.15 ∗ 0.05 + 0.2 ∗ 0.1 + 0.35 ∗ 1 = 0.3775 \\begin\{array\}\{l\} \\text \{ net \}\_\{h 1\}=w\_\{1\} \* i\_\{1\}+w\_\{2\} \* i\_\{2\}+b\_\{1\} \* 1 \\\\ \\text \{ net \}\_\{h 1\}=0.15 \* 0.05+0.2 \* 0.1+0.35 \* 1=0.3775 \\end\{array\}  net h1=w1∗i1\+w2∗i2\+b1∗1 net h1=0.15∗0.05\+0.2∗0.1\+0.35∗1=0.3775

神经元后面，要跟个**激活层**，从而引入非线性因素，这就像人的神经元一样，让细胞处于**兴奋**或**抑制**的状态。

数学模拟的形式就是通过**激活函数**，大于阈值就激活，反之抑制。

常用的激活函如**思维导图**所示，这里以非常简单的 sigmoid 激活函数为例，它的函数形式如下：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2M0MDY0OTU3NjI_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]  
数学公式：

f ( x ) = 1 1 + e − x f(x) = \\frac\{1\}\{1+e^\{-x\}\} f(x)=1\+e−x1

使用 sigmoid 激活函数，继续计算，神经元 h1 的输出 o\_h1：

out  h 1 = 1 1 + e − n e t h 1 = 1 1 + e − 0.3775 = 0.593269992 \\text \{ out \}\_\{h 1\}=\\frac\{1\}\{1+e^\{-n e t\_\{h 1\}\}\}=\\frac\{1\}\{1+e^\{-0.3775\}\}=0.593269992  out h1=1\+e−neth11=1\+e−0.37751=0.593269992

同理，可计算出神经元 h2 的输出 o\_h2：

out  h 2 = 0.596884378 \\text \{ out \}\_\{h 2\}=0.596884378  out h2=0.596884378

#### 2）隐藏层->输出层 ####

计算输出层神经元 o1 和 o2 的值：

net  o 1 = w 5 ∗  out  h 1 + w 6 ∗  out  h 2 + b 2 ∗ 1  net  o 1 = 0.4 ∗ 0.593269992 + 0.45 ∗ 0.596884378 + 0.6 ∗ 1 = 1.105905967  out  o 1 = 1 1 + e − n e t o 1 = 1 1 + e − 1.105905967 = 0.75136507 \\begin\{array\}\{l\} \\text \{ net \}\_\{o 1\}=w\_\{5\} \* \\text \{ out \}\_\{h 1\}+w\_\{6\} \* \\text \{ out \}\_\{h 2\}+b\_\{2\} \* 1 \\\\ \\text \{ net \}\_\{o 1\}=0.4 \* 0.593269992+0.45 \* 0.596884378+0.6 \* 1=1.105905967 \\\\ \\text \{ out \}\_\{o 1\}=\\frac\{1\}\{1+e^\{-n e t\_\{o 1\}\}\}=\\frac\{1\}\{1+e^\{-1.105905967\}\}=0.75136507 \\end\{array\}  net o1=w5∗ out h1\+w6∗ out h2\+b2∗1 net o1=0.4∗0.593269992\+0.45∗0.596884378\+0.6∗1=1.105905967 out o1=1\+e−neto11=1\+e−1.1059059671=0.75136507

这样前向传播的过程就结束了，根据输入值和权重，我们得到输出值为\[0.75136079, 0.772928465\]，与实际值（目标）\[0.01, 0.99\]相差还很远，现在我们对误差进行反向传播，更新权值，重新计算输出。

### 2、反向传播 ###

前向传播之后，发现输出结果与期望相差甚远，这时候就要**更新权重**了。

所谓深度学习的训练（炼丹），学的就是这些权重，我们期望的是调整这些权重，让输出结果符合我们的期望。

而更新权重的方式，依靠的就是反向传播。

#### 1）计算总误差 ####

一次前向传播过后，输出值（预测值）与目标值（标签值）有差距，那得衡量一下有多大差距。

衡量的方法，就是用**思维导图**中的损失函数。

损失函数也有很多，咱们还是选择一个最简单的，均方误差（MSE loss）。

均方误差的函数公式：

M S E = 1 n ∑ i = 1 n ( y ^ i − y i ) 2 M S E=\\frac\{1\}\{n\} \\sum\_\{i=1\}^\{n\}\\left(\\hat\{y\}\_\{i\}-y\_\{i\}\\right)^\{2\} MSE=n1i=1∑n(y^i−yi)2

根据公式，直接计算预测值与标签值的总误差：

E total = ∑ 1 2 ( target − output ) 2 E\_\{\\text \{total\}\}=\\sum \\frac\{1\}\{2\}(\\text \{target\}-\\text \{output\})^\{2\} Etotal=∑21(target−output)2

有两个输出，所以分别计算 o1 和 o2 的误差，总误差为两者之和：

E o 1 = 1 2 ( target o 1 − out o 1 ) 2 = 1 2 ( 0.01 − 0.75136507 ) 2 = 0.274811083 E o 2 = 0.023560026 E total = E o 1 + E o 2 = 0.274811083 + 0.023560026 = 0.298371109 \\begin\{array\}\{l\} E\_\{o 1\}=\\frac\{1\}\{2\}\\left(\\text \{target\}\_\{o 1\}-\\text \{out\}\_\{o 1\}\\right)^\{2\}=\\frac\{1\}\{2\}(0.01-0.75136507)^\{2\}=0.274811083 \\\\ E\_\{o 2\}=0.023560026 \\\\ E\_\{\\text \{total\}\}=E\_\{o 1\}+E\_\{o 2\}=0.274811083+0.023560026=0.298371109 \\end\{array\} Eo1=21(targeto1−outo1)2=21(0.01−0.75136507)2=0.274811083Eo2=0.023560026Etotal=Eo1\+Eo2=0.274811083\+0.023560026=0.298371109

#### 2）隐含层->输出层的权值更新 ####

以权重参数 w5 为例，如果我们想知道 w5 对整体误差产生了多少影响，可以用整体误差对 w5 求偏导求出。

这是链式法则，它是微积分中复合函数的求导法则，就是这个：

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根据链式法则易得：

∂ E total ∂ w 5 = ∂ E total ∂ out o 1 ∗ ∂ out o 1 ∂ net o 1 ∗ ∂ net o 1 ∂ w 5 \\frac\{\\partial E\_\{\\text \{total\}\}\}\{\\partial w\_\{5\}\}=\\frac\{\\partial E\_\{\\text \{total\}\}\}\{\\partial \\text \{out\}\_\{o 1\}\} \* \\frac\{\\partial \\text \{out\}\_\{o 1\}\}\{\\partial \\text \{net\}\_\{o 1\}\} \* \\frac\{\\partial \\text \{net\}\_\{o 1\}\}\{\\partial w\_\{5\}\} ∂w5∂Etotal=∂outo1∂Etotal∗∂neto1∂outo1∗∂w5∂neto1

下面的图可以更直观的看清楚误差是怎样反向传播的：

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现在我们来分别计算每个式子的值：

计算 ∂ E total ∂ out o 1 \\frac\{\\partial E\_\{\\text \{total\}\}\}\{\\partial \\text \{out\}\_\{o 1\}\} ∂outo1∂Etotal：

E total = 1 2 ( target ⁡ o 1 − out o 1 ) 2 + 1 2 ( target ⁡ o 2 − out o 2 ) 2 ∂ E total ∂ o u t 01 = 2 ∗ 1 2 ( target o 1 − out o 1 ) 2 − 1 ∗ − 1 + 0 ∂ E total ∂ out o 1 = − ( target o 1 − out o 1 ) = − ( 0.01 − 0.75136507 ) = 0.74136507 \\begin\{array\}\{l\} E\_\{\\text \{total\}\}=\\frac\{1\}\{2\}\\left(\\operatorname\{target\}\_\{o 1\}-\\text \{out\}\_\{o 1\}\\right)^\{2\}+\\frac\{1\}\{2\}\\left(\\operatorname\{target\}\_\{o 2\}-\\text \{out\}\_\{o 2\}\\right)^\{2\} \\\\ \\frac\{\\partial E\_\{\\text \{total\}\}\}\{\\partial o u t\_\{01\}\}=2 \* \\frac\{1\}\{2\}\\left(\\text \{target\}\_\{o 1\}-\\text \{out\}\_\{o 1\}\\right)^\{2-1\} \*-1+0 \\\\ \\frac\{\\partial E\_\{\\text \{total\}\}\}\{\\partial \\text \{out\}\_\{o 1\}\}=-\\left(\\text \{target\}\_\{o 1\}-\\text \{out\}\_\{o 1\}\\right)=-(0.01-0.75136507)=0.74136507 \\end\{array\} Etotal=21(targeto1−outo1)2\+21(targeto2−outo2)2∂out01∂Etotal=2∗21(targeto1−outo1)2−1∗−1\+0∂outo1∂Etotal=−(targeto1−outo1)=−(0.01−0.75136507)=0.74136507

计算 ∂ o u t o 1 ∂ n e t o 1 \\frac\{\\partial o u t\_\{o 1\}\}\{\\partial n e t\_\{o 1\}\} ∂neto1∂outo1:

out o 1 = 1 1 + e − n e t o 1 ∂ o u t o 1 ∂ n e t o 1 = o u t o 1 ( 1 − o u t o 1 ) = 0.75136507 ( 1 − 0.75136507 ) = 0.186815602 \\begin\{array\}\{l\} \\text \{out\}\_\{o 1\}=\\frac\{1\}\{1+e^\{-n e t\_\{o 1\}\}\} \\\\ \\frac\{\\partial o u t\_\{o 1\}\}\{\\partial n e t\_\{o 1\}\}=o u t\_\{o 1\}\\left(1-o u t\_\{o 1\}\\right)=0.75136507(1-0.75136507)=0.186815602 \\end\{array\} outo1=1\+e−neto11∂neto1∂outo1=outo1(1−outo1)=0.75136507(1−0.75136507)=0.186815602

这一步实际上就是对sigmoid函数求导，比较简单，可以自己推导一下。

计算 ∂ n e t o 1 ∂ w 5 \\frac\{\\partial n e t\_\{o 1\}\}\{\\partial w\_\{5\}\} ∂w5∂neto1：

net  o 1 = w 5 ∗  out  h 1 + w 6 ∗  out  h 2 + b 2 ∗ 1 ∂ n e t o 1 ∂ w 5 = 1 ∗  out  h 1 ∗ w 5 ( 1 − 1 ) + 0 + 0 =  out  h 1 = 0.593269992 \\begin\{array\}\{l\} \\text \{ net \}\_\{o 1\}=w\_\{5\} \* \\text \{ out \}\_\{h 1\}+w\_\{6\} \* \\text \{ out \}\_\{h 2\}+b\_\{2\} \* 1 \\\\ \\frac\{\\partial n e t\_\{o 1\}\}\{\\partial w\_\{5\}\}=1 \* \\text \{ out \}\_\{h 1\} \* w\_\{5\}^\{(1-1)\}+0+0=\\text \{ out \}\_\{h 1\}=0.593269992 \\end\{array\}  net o1=w5∗ out h1\+w6∗ out h2\+b2∗1∂w5∂neto1=1∗ out h1∗w5(1−1)\+0\+0= out h1=0.593269992

最后三者相乘：

∂ E total ∂ w 5 = ∂ E total ∂ o u t o 1 ∗ ∂ out o 1 ∂ n e t o 1 ∗ ∂ n e t o 1 ∂ w 5 \\frac\{\\partial E\_\{\\text \{total\}\}\}\{\\partial w\_\{5\}\}=\\frac\{\\partial E\_\{\\text \{total\}\}\}\{\\partial o u t\_\{o 1\}\} \* \\frac\{\\partial \\text \{out\}\_\{o 1\}\}\{\\partial n e t\_\{o 1\}\} \* \\frac\{\\partial n e t\_\{o 1\}\}\{\\partial w\_\{5\}\} ∂w5∂Etotal=∂outo1∂Etotal∗∂neto1∂outo1∗∂w5∂neto1

∂ E t t a l ∂ w 5 = 0.74136507 ∗ 0.186815602 ∗ 0.593269992 = 0.082167041 \\frac\{\\partial E\_\{t t a l\}\}\{\\partial w\_\{5\}\}=0.74136507 \* 0.186815602 \* 0.593269992=0.082167041 ∂w5∂Ettal=0.74136507∗0.186815602∗0.593269992=0.082167041

这样我们就计算出整体误差E(total)对 w5 的偏导值。

回过头来再看看上面的公式，我们发现：

∂ E t o t a l ∂ w 5 = − ( target ⁡ o 1 − o u t o 1 ) ∗  out  o 1 ( 1 −  out  o 1 ) ∗  out  h 1 \\frac\{\\partial E\_\{t o t a l\}\}\{\\partial w\_\{5\}\}=-\\left(\\operatorname\{target\}\_\{o 1\}-o u t\_\{o 1\}\\right) \* \\text \{ out \}\_\{o 1\}\\left(1-\\text \{ out \}\_\{o 1\}\\right) \* \\text \{ out \}\_\{h 1\} ∂w5∂Etotal=−(targeto1−outo1)∗ out o1(1− out o1)∗ out h1

为了表达方便，用 δ o 1 \\delta\_\{o 1\} δo1来表示输出层的误差：

δ o 1 = ∂ E t o t a l ∂ o u t o 1 ∗ ∂ o u t o 1 ∂ n e t o 1 = ∂ E t o t a l ∂ n e t o 1 δ o 1 = − ( target ⁡ o 1 − o u t o 1 ) ∗  out  o 1 ( 1 − o u t o 1 ) \\begin\{array\}\{l\} \\delta\_\{o 1\}=\\frac\{\\partial E\_\{t o t a l\}\}\{\\partial o u t\_\{o 1\}\} \* \\frac\{\\partial o u t\_\{o 1\}\}\{\\partial n e t\_\{o 1\}\}=\\frac\{\\partial E\_\{t o t a l\}\}\{\\partial n e t\_\{o 1\}\} \\\\ \\delta\_\{o 1\}=-\\left(\\operatorname\{target\}\_\{o 1\}-o u t\_\{o 1\}\\right) \* \\text \{ out \}\_\{o 1\}\\left(1-o u t\_\{o 1\}\\right) \\end\{array\} δo1=∂outo1∂Etotal∗∂neto1∂outo1=∂neto1∂Etotalδo1=−(targeto1−outo1)∗ out o1(1−outo1)

因此，整体误差E(total)对w5的偏导公式可以写成：

∂ E total ∂ w 5 = δ o 1  out  h 1 \\frac\{\\partial E\_\{\\text \{total\}\}\}\{\\partial w\_\{5\}\}=\\delta\_\{o 1\} \\text \{ out \}\_\{h 1\} ∂w5∂Etotal=δo1 out h1

如果输出层误差计为负的话，也可以写成：

∂ E t o t a l ∂ w 5 = − δ o 1  out  h 1 \\frac\{\\partial E\_\{t o t a l\}\}\{\\partial w\_\{5\}\}=-\\delta\_\{o 1\} \\text \{ out \}\_\{h 1\} ∂w5∂Etotal=−δo1 out h1

最后我们来更新 w5 的值：  
输入层  
 w 5 + = w 5 − η ∗ ∂ E t o t a l ∂ w 5 = 0.4 − 0.5 ∗ 0.082167041 = 0.35891648 w\_\{5\}^\{+\}=w\_\{5\}-\\eta \* \\frac\{\\partial E\_\{t o t a l\}\}\{\\partial w\_\{5\}\}=0.4-0.5 \* 0.082167041=0.35891648 w5\+=w5−η∗∂w5∂Etotal=0.4−0.5∗0.082167041=0.35891648

这个更新权重的策略，就是**思维导图**中的**优化算法**， η \\eta η 是学习率，我们这里取0.5。

如果学习率要根据迭代的次数调整，那就用到了**思维导图**中的**学习率调整**。

同理，可更新w6,w7,w8:

w 6 + = 0.408666186 w 7 + = 0.511301270 w 8 + = 0.561370121 \\begin\{array\}\{l\} w\_\{6\}^\{+\}=0.408666186 \\\\ w\_\{7\}^\{+\}=0.511301270 \\\\ w\_\{8\}^\{+\}=0.561370121 \\end\{array\} w6\+=0.408666186w7\+=0.511301270w8\+=0.561370121

#### 3）隐含层->隐含层的权值更新 ####

方法其实与上面说的差不多，但是有个地方需要变一下，在上文计算总误差对 w5 的偏导时，是从out(o1)->net(o1)->w5，但是在隐含层之间的权值更新时，是out(h1)->net(h1)->w1,而 out(h1) 会接受 E(o1) 和 E(o2) 两个地方传来的误差，所以这个地方两个都要计算。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2M0MDY0OTU3NjI_size_16_color_FFFFFF_t_70 10]

计算 ∂ E total ∂ out h 1 \\frac\{\\partial E\_\{\\text \{total\}\}\}\{\\partial \\text \{out\}\_\{h 1\}\} ∂outh1∂Etotal：

∂ E total ∂ o u t h 1 = ∂ E o 1 ∂ o u t h 1 + ∂ E o 2 ∂ o u t h 1 \\frac\{\\partial E\_\{\\text \{total\}\}\}\{\\partial o u t\_\{h 1\}\}=\\frac\{\\partial E\_\{o 1\}\}\{\\partial o u t\_\{h 1\}\}+\\frac\{\\partial E\_\{o 2\}\}\{\\partial o u t\_\{h 1\}\} ∂outh1∂Etotal=∂outh1∂Eo1\+∂outh1∂Eo2

先计算 ∂ E o 1 ∂ o u t h 1 \\frac\{\\partial E\_\{o 1\}\}\{\\partial o u t\_\{h 1\}\} ∂outh1∂Eo1:

∂ E o 1 ∂ o u t h 1 = ∂ E o 1 ∂ n e t o 1 ∗ ∂ n e t o 1 ∂ o u t h 1 ∂ E o 1 ∂ n e t o 1 = ∂ E o 1 ∂ o u t o 1 ∗ ∂ o u t o 1 ∂ n e t o 1 = 0.74136507 ∗ 0.186815602 = 0.138498562  net  o 1 = w 5 ∗  out  h 1 + w 6 ∗  out  h 2 + b 2 ∗ 1 ∂ n e t o 1 ∂ o u t h 1 = w 5 = 0.40 ∂ E o 1 ∂ o u t h 1 = ∂ E o 1 ∂ n e t o 1 ∗ ∂ n e t o 1 ∂ o u t h 1 = 0.138498562 ∗ 0.40 = 0.055399425 \\begin\{array\}\{l\} \\frac\{\\partial E\_\{o 1\}\}\{\\partial o u t\_\{h 1\}\}=\\frac\{\\partial E\_\{o 1\}\}\{\\partial n e t\_\{o 1\}\} \* \\frac\{\\partial n e t\_\{o 1\}\}\{\\partial o u t\_\{h 1\}\} \\\\ \\frac\{\\partial E\_\{o 1\}\}\{\\partial n e t\_\{o 1\}\}=\\frac\{\\partial E\_\{o 1\}\}\{\\partial o u t\_\{o 1\}\} \* \\frac\{\\partial o u t\_\{o 1\}\}\{\\partial n e t\_\{o 1\}\}=0.74136507 \* 0.186815602=0.138498562 \\\\ \\text \{ net \}\_\{o 1\}=w\_\{5\} \* \\text \{ out \}\_\{h 1\}+w\_\{6\} \* \\text \{ out \}\_\{h 2\}+b\_\{2\} \* 1 \\\\ \\frac\{\\partial n e t\_\{o 1\}\}\{\\partial o u t\_\{h 1\}\}=w\_\{5\}=0.40 \\\\ \\frac\{\\partial E\_\{o 1\}\}\{\\partial o u t\_\{h 1\}\}=\\frac\{\\partial E\_\{o 1\}\}\{\\partial n e t\_\{o 1\}\} \* \\frac\{\\partial n e t\_\{o 1\}\}\{\\partial o u t\_\{h 1\}\}=0.138498562 \* 0.40=0.055399425 \\end\{array\} ∂outh1∂Eo1=∂neto1∂Eo1∗∂outh1∂neto1∂neto1∂Eo1=∂outo1∂Eo1∗∂neto1∂outo1=0.74136507∗0.186815602=0.138498562 net o1=w5∗ out h1\+w6∗ out h2\+b2∗1∂outh1∂neto1=w5=0.40∂outh1∂Eo1=∂neto1∂Eo1∗∂outh1∂neto1=0.138498562∗0.40=0.055399425

同理，计算出：

∂ E o 2 ∂ o u t h 1 = − 0.019049119 \\frac\{\\partial E\_\{o 2\}\}\{\\partial o u t\_\{h 1\}\}=-0.019049119 ∂outh1∂Eo2=−0.019049119

两者相加得到总值：

∂ E total ∂ o u t h 1 = ∂ E o 1 ∂ o u t h 1 + ∂ E o 2 ∂ o u t h 1 = 0.055399425 + − 0.019049119 = 0.036350306 \\frac\{\\partial E\_\{\\text \{total\}\}\}\{\\partial o u t\_\{h 1\}\}=\\frac\{\\partial E\_\{o 1\}\}\{\\partial o u t\_\{h 1\}\}+\\frac\{\\partial E\_\{o 2\}\}\{\\partial o u t\_\{h 1\}\}=0.055399425+-0.019049119=0.036350306 ∂outh1∂Etotal=∂outh1∂Eo1\+∂outh1∂Eo2=0.055399425\+−0.019049119=0.036350306

再计算 ∂ o u t h 1 ∂ n e t h 1 \\frac\{\\partial o u t\_\{h 1\}\}\{\\partial n e t\_\{h 1\}\} ∂neth1∂outh1:

out  h 1 = 1 1 + e − n e t t h 1  out  h 1 ∂  net  h 1 =  out  h 1 ( 1 −  out  h 1 ) = 0.59326999 ( 1 − 0.59326999 ) = 0.241300709 \\begin\{array\}\{l\} \\text \{ out \}\_\{h 1\}=\\frac\{1\}\{1+e^\{-n e t\} t\_\{h 1\}\} \\\\ \\frac\{\\text \{ out \}\_\{h 1\}\}\{\\partial \\text \{ net \}\_\{h 1\}\}=\\text \{ out \}\_\{h 1\}\\left(1-\\text \{ out \}\_\{h 1\}\\right)=0.59326999(1-0.59326999)=0.241300709 \\end\{array\}  out h1=1\+e−netth11∂ net h1 out h1= out h1(1− out h1)=0.59326999(1−0.59326999)=0.241300709

再计算 ∂ n e t h 1 ∂ w 1 \\frac\{\\partial n e t\_\{h 1\}\}\{\\partial w\_\{1\}\} ∂w1∂neth1:

net h 1 = w 1 ∗ i 1 + w 2 ∗ i 2 + b 1 ∗ 1 ∂ net h 1 ∂ w 1 = i 1 = 0.05 \\begin\{array\}\{l\} \\text \{net\}\_\{h 1\}=w\_\{1\} \* i\_\{1\}+w\_\{2\} \* i\_\{2\}+b\_\{1\} \* 1 \\\\ \\frac\{\\partial \\text \{net\}\_\{h 1\}\}\{\\partial w\_\{1\}\}=i\_\{1\}=0.05 \\end\{array\} neth1=w1∗i1\+w2∗i2\+b1∗1∂w1∂neth1=i1=0.05

最后，三者相乘：

∂ E t o t a l ∂ w 1 = ∂ E t o t a l ∂ o u t h 1 ∗ ∂ o u t h 1 ∂ n e t h 1 ∗ ∂ n e t h 1 ∂ w 1 ∂ E t o t a l ∂ w 1 = 0.036350306 ∗ 0.241300709 ∗ 0.05 = 0.000438568 \\begin\{array\}\{l\} \\frac\{\\partial E\_\{t o t a l\}\}\{\\partial w\_\{1\}\}=\\frac\{\\partial E\_\{t o t a l\}\}\{\\partial o u t\_\{h 1\}\} \* \\frac\{\\partial o u t\_\{h\} 1\}\{\\partial n e t\_\{h 1\}\} \* \\frac\{\\partial n e t\_\{h 1\}\}\{\\partial w\_\{1\}\} \\\\ \\frac\{\\partial E\_\{t o t a l\}\}\{\\partial w\_\{1\}\}=0.036350306 \* 0.241300709 \* 0.05=0.000438568 \\end\{array\} ∂w1∂Etotal=∂outh1∂Etotal∗∂neth1∂outh1∗∂w1∂neth1∂w1∂Etotal=0.036350306∗0.241300709∗0.05=0.000438568

为了简化公式，用 sigma(h1) 表示隐含层单元 h1 的误差：

∂ E t o t a l ∂ w 1 = ( ∑ o ∂ E t o t a l ∂ o u t o ∗ ∂ o u t o ∂ n e t o ∗ ∂ n e t o ∂ o u t h 1 ) ∗ ∂ o u t h 1 ∂ n e t h 1 ∗ ∂ n e t h 1 ∂ w 1 ∂ E t o t a l ∂ w 1 = ( ∑ o δ o ∗ w h o ) ∗ out h 1 ( 1 − o u t h 1 ) ∗ i 1 ∂ E t o t a l ∂ w 1 = δ h 1 i 1 \\begin\{aligned\} \\frac\{\\partial E\_\{t o t a l\}\}\{\\partial w\_\{1\}\} &=\\left(\\sum\_\{o\} \\frac\{\\partial E\_\{t o t a l\}\}\{\\partial o u t\_\{o\}\} \* \\frac\{\\partial o u t\_\{o\}\}\{\\partial n e t\_\{o\}\} \* \\frac\{\\partial n e t\_\{o\}\}\{\\partial o u t\_\{h 1\}\}\\right) \* \\frac\{\\partial o u t\_\{h\} 1\}\{\\partial n e t\_\{h 1\}\} \* \\frac\{\\partial n e t\_\{h 1\}\}\{\\partial w\_\{1\}\} \\\\ \\frac\{\\partial E\_\{t o t a l\}\}\{\\partial w\_\{1\}\} &=\\left(\\sum\_\{o\} \\delta\_\{o\} \* w\_\{h o\}\\right) \* \\text \{out\}\_\{h 1\}\\left(1-o u t\_\{h 1\}\\right) \* i\_\{1\} \\\\ \\frac\{\\partial E\_\{t o t a l\}\}\{\\partial w\_\{1\}\} &=\\delta\_\{h 1\} i\_\{1\} \\end\{aligned\} ∂w1∂Etotal∂w1∂Etotal∂w1∂Etotal=(o∑∂outo∂Etotal∗∂neto∂outo∗∂outh1∂neto)∗∂neth1∂outh1∗∂w1∂neth1=(o∑δo∗who)∗outh1(1−outh1)∗i1=δh1i1

最后，更新 w1 的权值：

w 1 + = w 1 − η ∗ ∂ E t o t a l ∂ w 1 = 0.15 − 0.5 ∗ 0.000438568 = 0.149780716 w\_\{1\}^\{+\}=w\_\{1\}-\\eta \* \\frac\{\\partial E\_\{t o t a l\}\}\{\\partial w\_\{1\}\}=0.15-0.5 \* 0.000438568=0.149780716 w1\+=w1−η∗∂w1∂Etotal=0.15−0.5∗0.000438568=0.149780716

同理，额可更新w2,w3,w4的权值：

w 2 + = 0.19956143 w 3 + = 0.24975114 w 4 + = 0.29950229 \\begin\{array\}\{l\} w\_\{2\}^\{+\}=0.19956143 \\\\ w\_\{3\}^\{+\}=0.24975114 \\\\ w\_\{4\}^\{+\}=0.29950229 \\end\{array\} w2\+=0.19956143w3\+=0.24975114w4\+=0.29950229

这样误差反向传播法就完成了，最后我们再把更新的权值重新计算，不停地迭代。

在这个例子中第一次迭代之后，总误差E(total)由0.298371109下降至0.291027924。

迭代10000次后，总误差为0.000035085，输出为\[0.015912196,0.984065734\]（原输入为\[0.01,0.99\]），证明效果还是不错的。

**这就是整个神经网络的工作原理**，如果你跟着思路，顺利看到这里。那么恭喜你，深度学习的学习算是通过了一关。

## 四、Python 实现 ##

整个过程，可以用 Python 代码实现。

#coding:utf-8
    import random
    import math
    
    #
    # 参数解释：
    # "pd_" ：偏导的前缀
    # "d_" ：导数的前缀
    # "w_ho" ：隐含层到输出层的权重系数索引
    # "w_ih" ：输入层到隐含层的权重系数的索引
    
    class NeuralNetwork:
        LEARNING_RATE = 0.5
    
        def __init__(self, num_inputs, num_hidden, num_outputs, hidden_layer_weights = None, hidden_layer_bias = None, output_layer_weights = None, output_layer_bias = None):
            self.num_inputs = num_inputs
    
            self.hidden_layer = NeuronLayer(num_hidden, hidden_layer_bias)
            self.output_layer = NeuronLayer(num_outputs, output_layer_bias)
            self.init_weights_from_inputs_to_hidden_layer_neurons(hidden_layer_weights)
            self.init_weights_from_hidden_layer_neurons_to_output_layer_neurons(output_layer_weights)
    
        def init_weights_from_inputs_to_hidden_layer_neurons(self, hidden_layer_weights):
            weight_num = 0
            for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):
                for i in range(self.num_inputs):
                    if not hidden_layer_weights:
                        self.hidden_layer.neurons[h].weights.append(random.random())
                    else:
                        self.hidden_layer.neurons[h].weights.append(hidden_layer_weights[weight_num])
                    weight_num += 1
    
        def init_weights_from_hidden_layer_neurons_to_output_layer_neurons(self, output_layer_weights):
            weight_num = 0
            for o in range(len(self.output_layer.neurons)):
                for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):
                    if not output_layer_weights:
                        self.output_layer.neurons[o].weights.append(random.random())
                    else:
                        self.output_layer.neurons[o].weights.append(output_layer_weights[weight_num])
                    weight_num += 1
    
        def inspect(self):
            print('------')
            print('* Inputs: {}'.format(self.num_inputs))
            print('------')
            print('Hidden Layer')
            self.hidden_layer.inspect()
            print('------')
            print('* Output Layer')
            self.output_layer.inspect()
            print('------')
    
        def feed_forward(self, inputs):
            hidden_layer_outputs = self.hidden_layer.feed_forward(inputs)
            return self.output_layer.feed_forward(hidden_layer_outputs)
    
        def train(self, training_inputs, training_outputs):
            self.feed_forward(training_inputs)
    
            # 1. 输出神经元的值
            pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input = [0] * len(self.output_layer.neurons)
            for o in range(len(self.output_layer.neurons)):
    
                # ∂E/∂zⱼ
                pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] = self.output_layer.neurons[o].calculate_pd_error_wrt_total_net_input(training_outputs[o])
    
            # 2. 隐含层神经元的值
            pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input = [0] * len(self.hidden_layer.neurons)
            for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):
    
                # dE/dyⱼ = Σ ∂E/∂zⱼ * ∂z/∂yⱼ = Σ ∂E/∂zⱼ * wᵢⱼ
                d_error_wrt_hidden_neuron_output = 0
                for o in range(len(self.output_layer.neurons)):
                    d_error_wrt_hidden_neuron_output += pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] * self.output_layer.neurons[o].weights[h]
    
                # ∂E/∂zⱼ = dE/dyⱼ * ∂zⱼ/∂
                pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input[h] = d_error_wrt_hidden_neuron_output * self.hidden_layer.neurons[h].calculate_pd_total_net_input_wrt_input()
    
            # 3. 更新输出层权重系数
            for o in range(len(self.output_layer.neurons)):
                for w_ho in range(len(self.output_layer.neurons[o].weights)):
    
                    # ∂Eⱼ/∂wᵢⱼ = ∂E/∂zⱼ * ∂zⱼ/∂wᵢⱼ
                    pd_error_wrt_weight = pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] * self.output_layer.neurons[o].calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(w_ho)
    
                    # Δw = α * ∂Eⱼ/∂wᵢ
                    self.output_layer.neurons[o].weights[w_ho] -= self.LEARNING_RATE * pd_error_wrt_weight
    
            # 4. 更新隐含层的权重系数
            for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):
                for w_ih in range(len(self.hidden_layer.neurons[h].weights)):
    
                    # ∂Eⱼ/∂wᵢ = ∂E/∂zⱼ * ∂zⱼ/∂wᵢ
                    pd_error_wrt_weight = pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input[h] * self.hidden_layer.neurons[h].calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(w_ih)
    
                    # Δw = α * ∂Eⱼ/∂wᵢ
                    self.hidden_layer.neurons[h].weights[w_ih] -= self.LEARNING_RATE * pd_error_wrt_weight
    
        def calculate_total_error(self, training_sets):
            total_error = 0
            for t in range(len(training_sets)):
                training_inputs, training_outputs = training_sets[t]
                self.feed_forward(training_inputs)
                for o in range(len(training_outputs)):
                    total_error += self.output_layer.neurons[o].calculate_error(training_outputs[o])
            return total_error
    
    class NeuronLayer:
        def __init__(self, num_neurons, bias):
    
            # 同一层的神经元共享一个截距项b
            self.bias = bias if bias else random.random()
    
            self.neurons = []
            for i in range(num_neurons):
                self.neurons.append(Neuron(self.bias))
    
        def inspect(self):
            print('Neurons:', len(self.neurons))
            for n in range(len(self.neurons)):
                print(' Neuron', n)
                for w in range(len(self.neurons[n].weights)):
                    print(' Weight:', self.neurons[n].weights[w])
                print(' Bias:', self.bias)
    
        def feed_forward(self, inputs):
            outputs = []
            for neuron in self.neurons:
                outputs.append(neuron.calculate_output(inputs))
            return outputs
    
        def get_outputs(self):
            outputs = []
            for neuron in self.neurons:
                outputs.append(neuron.output)
            return outputs
    
    class Neuron:
        def __init__(self, bias):
            self.bias = bias
            self.weights = []
    
        def calculate_output(self, inputs):
            self.inputs = inputs
            self.output = self.squash(self.calculate_total_net_input())
            return self.output
    
        def calculate_total_net_input(self):
            total = 0
            for i in range(len(self.inputs)):
                total += self.inputs[i] * self.weights[i]
            return total + self.bias
    
        # 激活函数sigmoid
        def squash(self, total_net_input):
            return 1 / (1 + math.exp(-total_net_input))
    
        def calculate_pd_error_wrt_total_net_input(self, target_output):
            return self.calculate_pd_error_wrt_output(target_output) * self.calculate_pd_total_net_input_wrt_input();
    
        # 每一个神经元的误差是由平方差公式计算的
        def calculate_error(self, target_output):
            return 0.5 * (target_output - self.output) ** 2
    
        def calculate_pd_error_wrt_output(self, target_output):
            return -(target_output - self.output)
    
        def calculate_pd_total_net_input_wrt_input(self):
            return self.output * (1 - self.output)
    
        def calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(self, index):
            return self.inputs[index]
    
    
    # 文中的例子:
    
    nn = NeuralNetwork(2, 2, 2, hidden_layer_weights=[0.15, 0.2, 0.25, 0.3], hidden_layer_bias=0.35, output_layer_weights=[0.4, 0.45, 0.5, 0.55], output_layer_bias=0.6)
    for i in range(10000):
        nn.train([0.05, 0.1], [0.01, 0.09])
        print(i, round(nn.calculate_total_error([[[0.05, 0.1], [0.01, 0.09]]]), 9))
    
    
    #另外一个例子，可以把上面的例子注释掉再运行一下:
    
    # training_sets = [
    # [[0, 0], [0]],
    # [[0, 1], [1]],
    # [[1, 0], [1]],
    # [[1, 1], [0]]
    # ]
    
    # nn = NeuralNetwork(len(training_sets[0][0]), 5, len(training_sets[0][1]))
    # for i in range(10000):
    # training_inputs, training_outputs = random.choice(training_sets)
    # nn.train(training_inputs, training_outputs)
    # print(i, nn.calculate_total_error(training_sets))

## 五、其他 ##

预处理和后处理就相对简单很多，预处理就是一些常规的图像变换操作，数据增强方法等。后处理每个任务都略有不同，比如目标检测的非极大值抑制等，这些内容可以放在以后再讲。

至于深度学习框架的学习，那就是另外一大块内容了，深度学习框架是一种为了深度学习开发而生的工具，库和预训练模型等资源的总和。我们可以用 Python 实现简单的神经网络，但是复杂的神经网络，还得靠框架，框架的使用可以大幅度降低我们的开发成本。

至于学哪种框架，看个人喜好，Pytorch 和 Tensorflow 都行。人生苦短，我选 Pytorch。

## 六、学习资料推荐 ##

学完本文，只能算是深度学习入门，还有非常多的内容需要深入学习。

推荐一些资料，方便感兴趣的读者继续研究。

视频：

*  [吴恩达的深度学习公开课][Link 4]：https://mooc.study.163.com/university/deeplearning\_ai

书籍：

*  《神经网络与深度学习》
 *  《PyTorch深度学习实战》

开源项目：

*  Pytorch教程 1：https://github.com/yunjey/pytorch-tutorial
 *  Pytorch教程 2：https://github.com/pytorch/tutorials

**视频和书籍**，公众号「JackCui-AI」**后台**回复「**666**」有惊喜哦！

## 七、絮叨 ##

学习的积累是个漫长而又孤独的过程，厚积才能薄发，有不懂的知识就多看多想，要相信最后胜利的，是坚持下去的那个人。

**本文硬核，如果喜欢，还望转发、再看多多支持。**

我是 Jack，我们下期见。

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> 文章持续更新，可以微信公众号搜索【JackCui-AI】第一时间阅读，本文 GitHub [https://github.com/Jack-Cherish/PythonPark][https_github.com_Jack-Cherish_PythonPark] 已经收录，有大厂面试完整考点，欢迎Star。

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[Unravel]: https://jackcui.blog.csdn.net/article/details/108142140
[Link 1]: https://jackcui.blog.csdn.net/article/details/109952588
[Link 2]: https://jackcui.blog.csdn.net/article/details/108822521
[AI]: https://cuijiahua.com/blog/2020/06/dl-20.html
[U_2-Net]: https://jackcui.blog.csdn.net/article/details/110305506
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