《恋上数据结构与算法》笔记（十二）：B树

清疚 2022-12-24 05:50 33阅读 0赞

# 目录 #

*  一、B树性质
    
     *  1、初识B树
     *  2、m阶B树的性质（m >= 2）
     *  3、B树 与 二叉搜索树
 *  二、B树的操作
    
     *  1、搜索
     *  2、添加
     *  3、上溢
     *  4、上溢的解决
     *  5、添加导致上溢的例子
     *  6、删除
     *  7、下溢
     *  8、下溢的解决
 *  三、4阶B树

# 一、B树性质 #

### 1、初识B树 ###

*  `B树`是一种`平衡的多路搜索树`，多用于**文件系统**，数据库(**MySQL**)的实现。
 *  B树特点：
    
     *  一个节点`可以存储超过2个元素，可以拥有超过2个子节点。`
     *  拥有二叉树的一些性质。
     *  `平衡`，每个节点的所有子树高度一致。
     *  比较`矮`。  
        ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzM3OTg5OTgw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]

### 2、m阶B树的性质（m >= 2） ###

*  假设一个`节点`存储的元素个数为`x`。
    
     *  根节点的元素个数：`1 <= x <= m-1`，五阶B树(上图)`根节点`元素个数**大于等于**`1`并且**小于等于**`4`。
     *  非根节点的元素个数：`(m / 2)(向上取整) - 1 <= x <= m - 1`, 五阶B树的`非根节点`元素个数**大于等于**`2`并且**小于等于**`4`
 *  如果节点有子节点，子节点个数 `y = x + 1`, **节点的子节点个数 = 节点存储元素个数 + 1**  
    ![在这里插入图片描述][20201126232338242.png_pic_center]
    
     *  根节点的子节点：`2 <= y <= m`
     *  非根节点的子节点：`(m / 2)(向上取整) <= y <= m`

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzM3OTg5OTgw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]  
![在这里插入图片描述][20201126233005856.png_pic_center]  
![在这里插入图片描述][20201126233019150.png_pic_center]

### 3、B树 与 二叉搜索树 ###

*  将`二叉搜索树`的`节点合并`，可以成为`B树`。
 *  `多代（父和子）节点合并`，可以获得一个`超级节点`（类似`3阶B树`中的`18`和`33`节点，`23`和`30`节点）。
    
     *  `2代`合并的`超级节点`，最多拥有`4`个子节点（至少是`4阶B树`）。
     *  `3代`合并的`超级节点`，最多拥有`8`个子节点（至少是`8阶B树`）。
     *  `n代`合并的`超级节点`，最多拥有`2^n` 个子节点（至少是`2^n阶B树`）。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzM3OTg5OTgw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]

*  将`18`和`33`合并，`23`和`30`合并，`20`和`21`合并，`45`和`47`合并，`50`和`52`合并。即将一个`B树`变为`二叉搜索树`。  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzM3OTg5OTgw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]

# 二、B树的操作 #

### 1、搜索 ###

*  先在节点内部`从小到大`搜索元素。
 *  如果`命中`，搜索`结束`。
 *  如果`未命中`，再去对应的`子节点`中`搜索`元素，重复步骤`1`。  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzM3OTg5OTgw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 4]
 *  假设搜索`72`，首先在`根节点`做比较，`72大于40`，所以接着在`根节点`的`右子树`搜索，`72大于60小于80`，继续在`60和80`之间的`子树`寻找，因为`72大于70`，所以需要继续往`70`的`右子树`寻找，但是右子树为`空`，所以得出结论`72不在该B树`上。

### 2、添加 ###

*  **`新添加的元素必定是添加到叶子节点`。**  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzM3OTg5OTgw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 5]
 *  假设插入`55`，首先在`根节点`做比较，`55大于40`，所以接着在`根节点`的`右子树`搜索，`55小于60`，继续在`60`的`左子树`寻找，`55大于50`，所以将`55`插入在节点`50`的`右侧`。  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzM3OTg5OTgw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 6]
 *  假设插入`95`，首先在`根节点`做比较，`95大于40`，所以接着在`根节点`的`右子树`搜索，`95大于80`，继续在`80`的`右子树`寻找，`95大于90小于100`，所以将`95`插入在节点`90和100`的`中间`。

### 3、上溢 ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzM3OTg5OTgw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 7]

*  假设再插入`98`呢？（假设这是一颗`4阶B树`, 那么它的非根节点存储的元素数量: `1<=x<=3`）
    
     *  最右下角的`叶子节点`的元素`个数`将超过限制。
     *  这种现象可以称之为：`上溢（overflow）`。

### 4、上溢的解决 ###

*  假设`5阶B树`。  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzM3OTg5OTgw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 8]
 *  上溢节点的`元素个数`必然等于m, 也就是`数量5`, 因为节点最多为`<=4`。
 *  假设上溢节点最`中间元素`的位置为k, 也就是`元素34`。
 *  将`k`位置的元素`向`上与`父节点合并`。
 *  将`[0,k-1]和[k+1,m-1]`位置的元素`分裂`成`2`个子节点，这`2`个子节点的元素个数，必然都不会低于最低限制`（m / 2(向下取整) - 1）`。  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzM3OTg5OTgw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 9]
 *  一次`分裂`完毕后，有可能导致`父节点上溢`，依然按照上述方法解决。  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzM3OTg5OTgw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 10]
 *  最极端的情况，有可能一致`分裂`到`根节点`。
 *  `添加元素`导致的`上溢`，是**唯一**一种可能导致`B树长高`的操作。

### 5、添加导致上溢的例子 ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzM3OTg5OTgw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 11]

*  插入`98`  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzM3OTg5OTgw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 12]
    
     *  `98`大于`根节点`，继续往`根节点右子树`比较，`98大于60和80`，继续往`80`右子树比较，`98大于90，95`，小于`100`，所以将`98`插入在`95和100`中间。
     *  插入`98`之后，`90 95 98 100`节点`溢出`，需要`上溢`，将`中间元素95或98`向上与`父节点合并`，将`90，98，100`节点`分裂`成`2`个子节点。
 *  插入`52`  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzM3OTg5OTgw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 13]
 *  插入`54`  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzM3OTg5OTgw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 14]

### 6、删除 ###

*  假如需要`删除`的元素在`叶子节点`中，那么`直接删除`即可。  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzM3OTg5OTgw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 15]
 *  删除`30`  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzM3OTg5OTgw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 16]
    
     *  假如需要`删除`的`元素`在`非叶子节点`中。
        
         *  先找到`前驱`或`后继元素`，`覆盖`所需`删除元素的值`。
     *  再把`前驱`或`后继元素删除`。
 *  删除`60`  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzM3OTg5OTgw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 17]
 *  `60`的`前驱`为`55`，将`55`从`54和55节点中删除`，并将`55`覆盖`60`。  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzM3OTg5OTgw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 18]
 *  `非叶子节点`的`前驱`或`后继元素`，**必定在叶子节点中**。
    
     *  所以这里的`删除前驱`或`后继元素`，就是最开始提到的情况：删除的元素在叶子节点中。
     *  `真正的删除元素都发生在叶子节点中`。

### 7、下溢 ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzM3OTg5OTgw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 19]

*  假设一颗`5阶B树`，删除`22`。
 *  叶子节点被删除一个元素后，`元素个数`可能会低于最低限制`（>= m/2(向下取整) - 1）`。
 *  这种现象称为：`下溢（underflow）`。

### 8、下溢的解决 ###

*  下溢节点的元素数量必然等于`(m/2(向上取整) - 2)`, 因为`(m/2(向上取整) - 1)`是节点元素数量最少的个数, 再少就下溢了。
 *  如果下溢节点临近的`兄弟节点`，有至少`m/2(向上取整)`个元素，可以向其`借一个元素`。  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzM3OTg5OTgw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 20]
 *  绿色节点在删除一个元素后，节点元素个数`不能低于`最低限制`（>= m/2(向下取整) - 1）`。
    
     *  为了使树继续满足`B树`的`性质要求`，需要对绿色节点进行`下溢`操作。
     *  将父节点的元素`b插入到下溢节点的0位置`（最小位置）。
     *  用兄弟节点的元素`a（最大的元素）替代父节点的元素b`。
     *  这种操作其实就是：`旋转`。
 *  注意子节点`d`也需要调整。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzM3OTg5OTgw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 21]

*  如果下溢节点临近的`兄弟节点`，只有`（>= m/2(向下取整) - 1）`个元素。
    
     *  将`父节点`的元素`b挪下来跟左右子节点进行合并`。
     *  合并后的节点元素个数等于`m/2(向下取整) + m/2(向下取整) - 2，不超过m-1`。
     *  这个操作可能会导致`父节点下溢`，依然按照上述方法解决，下溢现象可能会一直`往上传播`。
 *  删除元素导致的`下溢`，是唯一一种可能导致B树变矮的操作。

## `4阶B树` ##

如果先学习 `4 阶 B 树`（2 - 3 - 4 树），将能更好地学习`理解红黑树`：

4阶B树的`性质`：

*  所有节点能存储的元素个数 x ：`1 ≤ x ≤ 3`
 *  所有非叶子节点的子节点个数 y ：`2 ≤ y ≤ 4`
 *  添加：从 1 添加到 22

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