数据结构与算法 -- 排序与搜索

忘是亡心i 2022-12-20 06:13 140阅读 0赞

### 目录 ###

*  前言
 *  排序与搜索
 *  一、 冒泡排序
 *   *  分析与实现
     *  时间复杂度
 *  二、选择排序
 *   *  概念
     *  分析与实现
     *  时间复杂度
 *  三、插入算法
 *   *  概念
     *  分析与实现
     *  时间复杂度
 *  四、希尔排序
 *   *  分析
     *  实现
     *  时间复杂度
 *  五、快速排序
 *   *  概念
     *  分析
     *  时间复杂度
 *  六、归并排序
 *   *  时间复杂度
     *  常见排序算法效率比较
 *  七、搜索
 *   *  二分查找

# 前言 #

之前都是讲的数据结构部分，这里开始讲算法部分。

# 排序与搜索 #

排序算法的稳定性  
**稳定性**：稳定排序算法会让原本有相等键值的纪录维持相对次序。也就是如果一个排序算法是稳定的，当有两个相等键值的纪录R和S，且在原本的列表中R出现在S之前，在排序过的列表中R也将会是在S之前。  
当相等的元素是无法分辨的，比如像是整数，稳定性并不是一个问题。然而，假设以下的数对将要以他们的第一个数字来排序。  
(4, 1) (3, 1) (3, 7)（5, 6）  
在这个状况下，有可能产生两种不同的结果，一个是让相等键值的纪录维持相对的次序，而另外一个则没有：  
**(3, 1) (3, 7) (4, 1) (5, 6) （维持次序） (3, 1) 在(3, 7)之前，和原始的顺序一样， 这是稳定的**  
(3, 7) (3, 1) (4, 1) (5, 6) （次序被改变）  
不稳定排序算法可能会在相等的键值中改变纪录的相对次序，但是稳定排序算法从来不会如此。不稳定排序算法可以被特别地实现为稳定。作这件事情的一个方式是人工扩充键值的比较，如此在其他方面相同键值的两个对象间之比较，（比如上面的比较中加入第二个标准：第二个键值的大小）就会被决定使用在原先数据次序中的条目，当作一个同分决赛。然而，要记住这种次序通常牵涉到额外的空间负担。

# 一、 冒泡排序 #

## 分析与实现 ##

交换过程图示(第一次)：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]  
那么我们需要进行n-1次冒泡过程，每次对应的比较次数如下图所示：  
![在这里插入图片描述][2020111113595437.png_pic_center]

排序关注的是算法，这里用顺序表。也可以用链表，因为链表本事也是线性表。  
顺序表，交换的时候，交换的只是两个位置保存的数据，  
而链表交换的是两个结点，复杂在于，链接区需要重新指定排布。

# coding :utf-8
    def bubble_sort(alist):
    	"""冒泡排序"""
    	n = len(alist)
        for j in range(n-1):
            for i in range(0, n-1-j):
            	# 从头走到尾
                if alist[i] > alist[i+1]:
                    alist[i], alist[i+1] = alist[i+1], alist[i]

为了好理解，将上面代码改为下面的代码：

# coding :utf-8
    def bubble_sort(alist):
    	"""冒泡排序"""
    	n = len(alist)
        for j in range(n-1,0,-1):
            # j表示每次遍历需要比较的次数，是逐渐减小的
            count = 0
            for i in range(j):
            	# 班长从头走到尾
                if alist[i] > alist[i+1]:
                    alist[i], alist[i+1] = alist[i+1], alist[i]
                    count += 1
             if 0 == count:
             	return
    
    if __name__ == "__main__":
    	li = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
    	print(li)
    	bubble_sort(li)
    	print(li)

**优化代码如下：**

# coding :utf-8
    def bubble_sort(alist):
    	"""冒泡排序"""
    	n = len(alist)
        for j in range(n-1):
        	conut = 0
            for i in range(0, n-1-j):
            	# 从头走到尾
                if alist[i] > alist[i+1]:
                    alist[i], alist[i+1] = alist[i+1], alist[i]
                    count += 1
            if 0 == count:
            	return

## 时间复杂度 ##

最优时间复杂度：O(n) （表示遍历一次发现没有任何可以交换的元素，排序结束。）  
**最坏时间复杂度：O(n2)**  
稳定性：**稳定**

# 二、选择排序 #

## 概念 ##

选择排序（Selection sort）是一种简单直观的排序算法。它的**工作原理**如下。首先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置，然后，再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，然后放到已排序序列的末尾。以此类推，直到所有元素均排序完毕。

选择排序的主要优点与数据移动有关。如果某个元素位于正确的最终位置上，则它不会被移动。选择排序每次交换一对元素，它们当中至少有一个将被移到其最终位置上，因此对n个元素的表进行排序总共进行至多n-1次交换。在所有的完全依靠交换去移动元素的排序方法中，选择排序属于非常好的一种。

## 分析与实现 ##

**分析**：  
alist = \[54, 226, 93, 17, 77, 31, 44, 55, 20\]  
0 1 2 3 4 5 6 7 8  
min = 0  
alist\[0\], alist\[3\] = alist\[3\], alist\[0\]

alist = \[17, 226, 93, 54, 77, 31, 44, 55, 20\]  
min = 8  
alist\[1\], alist\[8\] = alist\[8\], alist\[1\]  
alist = \[17, 20, 93, 54, 77, 31, 44, 55, 226\]

min = 5  
alist = \[17, 20, 31, 54, 77, 93, 44, 55, 226\]

选择排序，前部分：有序；后部分：无序。  
始终从后面无序中进行排序，将最小/大的元素找出添加到前部分的有序中。

**实现代码**  
第一种写法：

def select_sort(alist):
    	"""选择排序"""
        n = len(alist)
        # 需要进行n-1次选择操作
        for j in range(n-1): # j: 0 ~ n-2
    	    min_index = j  # 记录最小位置
    	    # 从j+1位置到末尾选择出最小数据
    	    for i in range(j+1, n):
    	        if alist[min_index] > alist[i]:
    	        	min_index = i 
    	    alist[j], alist[min_index] = alist[min_index], alist[j]    
    
                
    if __name__ == "__main__":
    	alist = [54,226,93,17,77,31,44,55,20]
    	selection_sort(alist)
    	print(alist)

def select_sort(alist):
        n = len(alist)
        # 需要进行n-1次选择操作
        for i in range(n-1):
            # 记录最小位置
            min_index = i
            # 从i+1位置到末尾选择出最小数据
            for j in range(i+1, n):
                if alist[j] < alist[min_index]:
                    min_index = j
            # 如果选择出的数据不在正确位置，进行交换
            if min_index != i:
                alist[i], alist[min_index] = alist[min_index], alist[i]
    
    alist = [54,226,93,17,77,31,44,55,20]
    select_sort(alist)
    print(alist)

## 时间复杂度 ##

最优时间复杂度：O(n2)  
**最坏时间复杂度：O(n2)**  
稳定性：**不稳定**（考虑升序每次选择最大的情况）

# 三、插入算法 #

## 概念 ##

将序列视为两部分，一部分是有序的，一部分是无序的。  
插入排序（英语：Insertion Sort）是一种简单直观的排序算法。它的工作原理是通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。插入排序在实现上，在从后向前扫描过程中，需要反复把已排序元素逐步向后挪位，为最新元素提供插入空间。

一开始将第一个元素视为有序的。拿后面的无序序列的第一个元素与前面的有序序列进行比较。将前面的最有一个元素往前比较。

**选择排序思想**：把序列分为两部分，有序和无序，一开始认为左边是有序的，然后将右边无序的元素中选择出最小的拿到前面有序的中去。（操作的是右边的无序数据）  
**插入排序思想**：把序列分为两部分，有序和无序，一开始认为左边是有序的，然后将右边无序的第一个元素去和左边的元素比较（从右往左），插入到指定的位置。（操作的是左边的有序数据，从右往左判断）

## 分析与实现 ##

**分析**  
alist = \[93, 54, 77, 44, 55, 226\]  
alist = \[54，93, 77, 44, 55, 226\]  
alist = \[54，77， 93, 44, 55, 226\]  
alist = \[44， 54，77， 93, 55, 226\]  
alist = \[44， 54，55， 77， 93, 226\]  
alist = \[44， 54，55， 77， 93, 226 \]

**实现**  
**方法1**

# O(n^2)
    def insert_sort(alist):
    	"""插入排序"""
    	n = len(alist)
    	# 从右边的无序序列中取出多少个元素执行这样的过程
    	for j in range(1, n):  # O(n)
    		# i代表内层循环起始值
    	    i = j
    	    # 执行从右边的无序序列中取出第一元素，即i位置的元素，然后将器插入到前面的正确位置中
    	    while i>0 :  # O(n)
    		    if alist[i] < alist[i-1]:
    		    	alist[i], alist[i-1] = alist[i-1], alist[i]
    		    	i -= 1
    		    # 下面的else算是对代码的优化，提升最优时间复杂度O(1)，没有else的话是O(n)
    		    else:
    		    	break
    		    	                
    if __name__ == "__main__":
    	alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
    	insert_sort(alist)
    	print(alist)

**方法2：**

def insert_sort(alist):
    	"""插入排序"""
        # 从第二个位置，即下标为1的元素开始向前插入
        for i in range(1, len(alist)):
            # 从第i个元素开始向前比较，如果小于前一个元素，交换位置
            for j in range(i, 0, -1):
                if alist[j] < alist[j-1]:
                    alist[j], alist[j-1] = alist[j-1], alist[j]
                else:
                # alist[j] >= alist[j-1] 跳出此循环，原因是前面是有序的，从小到大排好了
                	break  
                    
    if __name__ == "__main__":
    	alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
    	insert_sort(alist)
    	print(alist)

## 时间复杂度 ##

最优时间复杂度：O(n) （升序排列，序列已经处于升序状态），加else部分的提升  
**最坏时间复杂度：O(n2)**  
稳定性：**稳定**

# 四、希尔排序 #

## 分析 ##

希尔排序实际上就是对插入排序的一个改进版。  
alist = \[54,26,93,17,77,31,44,55,20\]  
将原有一个序列，分为几个序列。每个子序列按照插入去做。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 4]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 5]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 6]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 7]

**常见排序算法效率比较**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 8]

## 实现 ##

def shell_sort(alist):
    	"""希尔排序"""
    	n = len(alist)
    	gap = n // 2 # 注意python3
    	
    	# gap变化到0之前，插入算法执行的次数
    	while gap>0:
    		# 此插入算法，与普通的插入算法的区别就是gap
    			for j in range(gap, n):
    				# j : [gap, gap+1, gap+2, ...., n-1]
    				i = j
    				while i>0:
    					if alist[i] < alist[i-gap]:
    						alist[i], alist[i-gap] = alist[i-gap], alist[i]
    						i -= gap
    					else:
    						break
    			# 缩短gap步长
    			gap //= 2
    
    
    if __name__ == "__main__":
    	alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
    	shell_sort(alist)
    	print(alist)

方法二：

def shell_sort(alist):
        n = len(alist)
        # 初始步长
        gap = n / 2
        while gap > 0:
            # 按步长进行插入排序
            for i in range(gap, n):
                j = i
                # 插入排序
                while j>=gap and alist[j-gap] > alist[j]:
                    alist[j-gap], alist[j] = alist[j], alist[j-gap]
                    j -= gap
            # 得到新的步长
            gap = gap / 2
    
    if __name__ == "__main__":
    alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
    shell_sort(alist)
    print(alist)

## 时间复杂度 ##

最优时间复杂度：根据步长序列的不同而不同  
**最坏时间复杂度：O(n2)**  
稳定想：**不稳定**

# 五、快速排序 #

**重点：递归嵌套。** – 函数调用函数自身

## 概念 ##

快速排序（英语：Quicksort），又称**划分交换**排序（partition-exchange sort），通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。

**步骤**：

1.  从数列中挑出一个元素，称为"基准"（pivot）；
2.  重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分区结束之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操作；
3.  递归地（recursive）把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序。

递归的最底部情形，是数列的大小是零或一，也就是永远都已经被排序好了。虽然一直递归下去，但是这个算法总会结束，因为在每次的迭代（iteration）中，它至少会把一个元素摆到它最后的位置去。

## 分析 ##

两个游标。  
快速排序的分析  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 9]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 10]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 11]

low这个游标从左向右走过的位置都比第一个元素小，high从右向左走，走过的位置都比第一个元素的大，然后交换位置，然后继续向中间移动，一直到两个游标在一个位置。下面再重复这样的环节。  
第一轮之后：  
54 26 20 17 44 54  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 12]  
**开始**

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 13]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 14]  
先让high游标向左走。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 15]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 16]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 17]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 18]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 19]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 20]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 21]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 22]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 23]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 24]  
此时，high与low位置重合，中间值（原始的第一个元素的位置就在这个重合的位置）下面按上面的继续重复操作。

# coding:utf-8
    
    def quick_sort(alist, first, last):
        """快速排序"""
    	
        # 递归的退出条件
        if first >= last:
            return   
    	mid_valus = alist[first]
    	low = first 
    	high = last
    
    	while low < high:
    		# 让high游标左移，# 遇到等于的情况，就读放在右边处理，也就是high继续向左走
    		while low < high and alist[high] >= mid_value:  
    			high -= 1
    		alist[low] = alist[high]
    		
    		# low游标右移
    		while low < high and alist[low] < mid_value:
    			low += 1
    		alist[high] = alist[low]
    		
    	# 退出循环后，low与high重合，此时所指位置为基准元素的正确位置, 将基准元素放到该位置
    	alist[low] = mid_value  # alist[high] = mid_value 
    	
    	# 递归执行
    	# 对基准元素(low)左边的子序列进行快速排序
    	quick_sort(alist, 0, low-1)
    	# 对基准元素（low）右边的子序列进行快速排序
    	quick_sort(alist, low+1, last)
    	
    if __name__ == "__main__":
    	alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
    	quick_sort(alist)
    	print(alist)

# coding:utf-8
    
    def quick_sort(alist, start, end):
        """快速排序"""
    
        # 递归的退出条件
        if start >= end:
            return
    
        # 设定起始元素为要寻找位置的基准元素
        mid = alist[start]
    
        # low为序列左边的由左向右移动的游标
        low = start
    
        # high为序列右边的由右向左移动的游标
        high = end
    
        while low < high:
            # 如果low与high未重合，high指向的元素不比基准元素小，则high向左移动
            while low < high and alist[high] >= mid:
                high -= 1
            # 将high指向的元素放到low的位置上
            alist[low] = alist[high]
    
            # 如果low与high未重合，low指向的元素比基准元素小，则low向右移动
            while low < high and alist[low] < mid:
                low += 1
            # 将low指向的元素放到high的位置上
            alist[high] = alist[low]
    
        # 退出循环后，low与high重合，此时所指位置为基准元素的正确位置
        # 将基准元素放到该位置
        alist[low] = mid
    
        # 对基准元素左边的子序列进行快速排序
        quick_sort(alist, start, low-1)
    
        # 对基准元素右边的子序列进行快速排序
        quick_sort(alist, low+1, end)
    
    if __name__ == "__main__":
    	alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
    	quick_sort(alist,0,len(alist)-1)
    	print(alist)

## 时间复杂度 ##

最优时间复杂度：O(nlogn)  
**最坏时间复杂度：O(n2)**  
稳定性：**不稳定**  
从一开始快速排序平均需要花费O(n log n)时间的描述并不明显。但是不难观察到的是分区运算，数组的元素都会在每次循环中走访过一次，使用O(n)的时间。在使用结合（concatenation）的版本中，这项运算也是O(n)。

在最好的情况，每次我们运行一次分区，我们会把一个数列分为两个几近相等的片段。这个意思就是每次递归调用处理一半大小的数列。因此，在到达大小为一的数列前，我们只要作log n次嵌套的调用。这个意思就是调用树的深度是O(logn)。但是在同一层次结构的两个程序调用中，不会处理到原来数列的相同部分；因此，程序调用的每一层次结构总共全部仅需要O(n)的时间（每个调用有某些共同的额外耗费，但是因为在每一层次结构仅仅只有O(n)个调用，这些被归纳在O(n)系数中）。结果是这个算法仅需使用O(nlogn)时间。

# 六、归并排序 #

归并排序是采用分治法的一个非常典型的应用。归并排序的思想就是先递归分解数组，再合并数组。

将数组分解最小之后，然后合并两个有序数组，基本思路是比较两个数组的最前面的数，谁小就先取谁，取了后相应的指针就往后移一位。然后再比较，直至一个数组为空，最后把另一个数组的剩余部分复制过来即可。

把整个序列进行拆分，拆分后对两边再进行拆分，  
拆分：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 25]  
合并  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 26]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 27]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 28]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 29]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 30]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 31]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 32]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 33]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 34]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 35]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 36]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 37]

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 38]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 39]

递归实现：

def merge_sort(alist):
    	"""归并排序"""
    	n = len(alist)
    	if n<= 1:
    		return alist
        # 拆分（二分分解）
        mid = n//2  # python3
        # 传入的是新的列表，也就是子序列，而排序传的是自身（原始序列）
        left_li = merge_sort(alist[:mid]) # left 采用归并排序后形成的有序的新的列表
        right_li = merge_sort(alist[mid:]) # right 采用归并排序后形成的有序的新的列表
        
        # 合并（将两个有序的子序列合并成一个整体）
        # merge(left, right)
        left_pointer, right_pointer = 0, 0
        result = []
    
    	while left_pointer<len(left_li) and right_pointer<len(right_li):
    		if left_li[left_pointer] <= right_li[right_pointer]:
    			result.append(left_li[left_pointer])
    			left_pointer += 1
    		else:
    			result.append(right_li[right_pointer])
    			right_pointer += 1
    			
    	# 如果是走到头之后的列表，就是空列表
    	result += left_li[left_pointer:]  
    	result += right_li[right_pointer:]
    	return result
    
    
    if __name__ == "__main__":
    	alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
    	sorted_alist = mergeSort(alist)
    	print(sorted_alist)

![在这里插入图片描述][20201112111136483.png_pic_center]  
**运行结果**：  
![在这里插入图片描述][20201112111658321.png_pic_center]  
**说明：** 改变的不是原始列表，而是产生一个新的列表。

可以将上面的代码改为下面的代码，也就是模块化：

def merge_sort(alist):
    	"""归并排序"""
        if len(alist) <= 1:
            return alist
        # 二分分解
        num = len(alist)/2
        left = merge_sort(alist[:num])
        right = merge_sort(alist[num:])
        # 合并
        return merge(left,right)
    
    def merge(left, right):
        '''合并操作，将两个有序数组left[]和right[]合并成一个大的有序数组'''
        #left与right的下标指针
        l, r = 0, 0
        result = []
        while l<len(left) and r<len(right):
            if left[l] <= right[r]:
                result.append(left[l])
                l += 1
            else:
                result.append(right[r])
                r += 1
        result += left[l:]
        result += right[r:]
        return result
    
    if __name__ == "__main__":
    	alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
    	sorted_alist = mergeSort(alist)
    	print(sorted_alist)

![在这里插入图片描述][20201112112241441.png_pic_center]  
![在这里插入图片描述][20201112112812172.png_pic_center]  
![在这里插入图片描述][2020111211380499.png_pic_center]  
![在这里插入图片描述][20201112113902897.png_pic_center]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 40]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 41]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 42]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 43]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 44]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 45]  
![在这里插入图片描述][20201112114644545.png_pic_center]

## 时间复杂度 ##

最优时间复杂度：O(nlogn)  
最坏时间复杂度：**O(nlogn)**  
稳定性：**稳定**

## 常见排序算法效率比较 ##

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 46]  
堆排序 对应的是二叉树。  
归并排序，相比之前的排序，时间复杂度小，但是空间上大了。  
必须掌握**快速排序**，不需要额外空间，归并排序增加了额外空间。

# 七、搜索 #

搜索就是在某个序列中找到某个元素。  
搜索是在一个项目集合中找到一个特定项目的算法过程。搜索通常的答案是真的或假的，因为该项目是否存在。 搜索的几种常见方法：**顺序查找、二分法查找、二叉树查找、哈希查找**。

## 二分查找 ##

二分查找又称折半查找，优点是比较次数少，查找速度快，平均性能好；其缺点是要求待查表为有序表，且插入删除困难。因此，折半查找方法适用于不经常变动而查找频繁的有序列表。首先，假设表中元素是按升序排列，将表中间位置记录的关键字与查找关键字比较，如果两者相等，则查找成功；否则利用中间位置记录将表分成前、后两个子表，如果中间位置记录的关键字大于查找关键字，则进一步查找前一子表，否则进一步查找后一子表。重复以上过程，直到找到满足条件的记录，使查找成功，或直到子表不存在为止，此时查找不成功。  
只能作用有顺序的顺序表，不能支持链表。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 47]  
计算中间坐标，关注起始和终止位置。

**二分查找条件**：

1.  必须有序（已经排过序的）；
2.  只支持下标索引，也就是支持顺序，不支持链表。

二分法查找实现  
**递归实现**: 不需要在原有序列中递归

def binary_search(alist, item):
    	"""二分排序:递归"""
    	n = len(alist)
    	if n>0:
    		mid = n//2
    		if alist[mid] == item:
    			return True
    		elif item < alist[mid]:
    			return binary_search(alist[:mid], item)
    		else:
    			return binary_search(alist[mid+1:], item)
    	return False
    	
    if __name__ == "__main__":	
    	testlist = [0, 1, 2, 8, 13, 17, 19, 32, 42,]
    	print(binary_search(testlist, 3))
    	print(binary_search(testlist, 13))

（非递归实现）：原列表上查找

def binary_search_2(alist, item):
    	"""二分排序，非递归"""
          first = 0
          last = len(alist)-1
          while first<=last:
              mid = (first + last)//2
              if alist[midpoint] == item:
                  return True
              elif item < alist[midpoint]:
                  last = midpoint-1
              else:
                  first = midpoint+1
          return False
        
    if __name__ == "__main__":	
    	testlist = [0, 1, 2, 8, 13, 17, 19, 32, 42,]
    	print(binary_search_2(testlist, 3))
    	print(binary_search_2(testlist, 13))

**二分查找时间复杂度**  
最优时间复杂度：O(1)  
最坏时间复杂度：**O(logn)**

**遍历查找**  
最优时间复杂度：O(1)  
最坏时间复杂度：**O(n)**

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]: /images/20221120/5198fc28c0864dabb21f5c346b1ac9ee.png
[2020111113595437.png_pic_center]: https://img-blog.csdnimg.cn/2020111113595437.png#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]: https://img-blog.csdnimg.cn/2020111116022445.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ=,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201111160443945.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ=,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201111160501313.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ=,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 4]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201111160605593.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ=,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 5]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201111160656629.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ=,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 6]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201111160714637.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ=,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 7]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201111160730810.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ=,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 8]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201111160916381.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ=,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 9]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201112082929414.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ=,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
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