关键路径(防止题目重复)

超、凢脫俗 2022-12-18 13:57 185阅读 0赞

DAG(Directed AcyclineGraph) 有向无环图  
用来描述一个工程或系统的进行过程。  
一个工程可以分为若干个子工程，只有完成了这些子工程，  
就可以导致整个工程的完成

怎么表示子工程（活动）？  
一种是用节点表示活动  
另一种使用便表示活动  
AOV网：拓扑排序  
顶点表示活动，弧表示活动之间的优先制约关系  
称这种有向图为顶点表示活动的网，简称AOV网(Activity On Vertex network)

AOE网：关键路径  
以弧表示活动，以节点表示活动的开始或结束事件，  
称为边表示活动的网，简称AOE网(Activity On Edge)

拓扑排序：

AOV网不允许有贿赂，若有贿赂，则表明某项活动以自己为先决条件，这是荒谬的

在AOV网中没有回路的奇纳提下，将全部活动排列成一个线性序列，  
使得若AOV网中有 弧<i, j>存在， 则这个序列中， i一定排在j的前面  
则有这种性质的线性序列称为 拓扑有序序列， 相应的拓扑有序排序的算法成为拓扑排序

如何判断AOV网是否存在回路？

拓扑排序的方法：

在有向图中选一个没有钱去的顶点 且 输出  
从图中删除该顶点和所有以他为尾的弧  
重复上述两部，知道全部顶点全部取出  
或者途中不存在无前驱的节点为止

关键路径

AOE网 弧表示活动 权表示时间 节点表示事件

例一：  
某项目的任务是对A公司的办公室重新装修  
如果10月1日前完成装修工程，项目最迟应该何时开始？

例二：  
准备宴会，晚六点开始，最迟几点开始准备？  
压缩哪项活动时间可以失踪事件减少？

关于AOE网，我们关心两个问题：  
（1）完成整项工程至少需要多少时间？  
（2）哪些活动是影响工程进度的关键？

关键路径——路径长度最长的路径（不唯一）  
关键路径上的活动是关键活动

4个描述量

ve(vj)——表示事件vj的最早发生时间  
ve(v1) = 0

vl(vj)——表示事件vj的最迟发生时间

e(i)——表示活动ai的最早开始时间  
l(i)——表示ai的最迟开始时间

l(i) - e(i) ——表示完成后动ai的时间余量  
关键活动——l(i) == e(i)

如何找关键活动？  
设活动ai用弧<j, k>表示，其持续时间记为:wj,k  
则有：  
活动的最早开始时间即为j的最早发生时间  
(1)e(i) = ve(j);  
活动的最晚开始时间等于k的最晚发生时间 - 活动的时间  
(2)l(i) = vl(k) - wj,k  
【注意】l(i) != vl(j);

如何求ve(j)和vl(j)？  
（1）  
从ve(1)==0开始  
ve(j) = max(ve(i) + wi, j)  
一个顶点的做早开始时间就是 从上一个顶点（可能有好几个）  
的最早开始时间 + 弧的权值 的最大值（得等所有的活动都完成）  
（2）  
从vl(n) = ve(n)开始  
最后一个事件 的 最早开始时间 == 最晚开始时间

vl(i) = min(vl(j) - wi, j)  
一个节点的最晚开始时间  
就是从下一个顶点的（可能有好几个）  
的最晚开始时间 - 弧的权值

保证所有的活动都能完成  
所以要求最小值

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