【通信原理入坑之路】—— 模拟信号的数字编码之 PCM编码（A律13折线和μ律15折线的编译码剖析）

﹏ヽ暗。殇╰゛Y 2022-12-17 13:58 160阅读 0赞

> 引言：  
> 在我们的数字通信系统中，一般要发送的绝大多数都是模拟信号。而所谓数字通信，传递的就应该是数字信号。因此，我们首先要对这个待发送的模拟信号进行采样（这在我之前《信号与系统》的相关博客中有详细解读），但是问题来了：我们对一个幅值连续的模拟信号采样，采样值的幅度仍然是有无限多种可能的，尽管他们在时间上离散，可这仍然是一个模拟信号。要想成为数字信号，就必须让这个信号在时间和幅度上都是离散的，即取值只有有限种可能。因此，就需要对采样值的幅度进行量化。PCM编码（脉冲编码调制）就是其中一种方法。

所谓的脉冲编码调制 PCM ，博主对其理解就是将经过采样得到的信号经过**量化**和**编码**，从而得到一组二进制码组的过程。既然 PCM 可以理解为这样两个过程，那么我们就分别从这两个过程入手开始讲解。

# 1. 量化 #

PCM 编码中实现的是**非均匀量化**。**为什么使用非均匀量化呢？** —— 这是因为在实际的通信系统中，信号幅度可能会在一个很大的范围内变化。以电话通信为例：经过实验证明，幅度较低的信号出现的频率非常高，而幅度特别大的信号出现的概率就比较小。这样一来，如果采用均匀量化，那么小信号的量化就显得十分粗糙了。而换一种思路：**如果我们对出现概率很大的小信号，采用更为精细的量化方式；对于出现频率不那么高的大信号，采用略微粗糙的量化方法，可以预见的是这样做对通话质量是有保障的。**

上述提到的这种，就是非均匀量化。而实现非均匀量化，我们有下面这样的思路：

> 首先对信号做某种非线性变换，然后对经过非线性变换的结果进行均匀量化。

以上这种思路，就被引入到了接下来我们要介绍的 A 律13折线：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]

我们先来看看 A律13折线是怎么构成的：

1.  首先对于横轴：在 \[0 - 1\]区间不均匀地划分为8段： \[ 0 , 1 128 \] , \[ 1 128 , 1 64 \] , \[ 1 64 , 1 32 \] , \[ 1 32 , 1 16 \] , \[ 1 16 , 1 8 \] , \[ 1 8 , 1 4 \] , \[ 1 4 , 1 2 \] , \[ 1 2 , 1 \] \[0, \\frac\{1\}\{128\}\], \[\\frac\{1\}\{128\}, \\frac\{1\}\{64\}\], \[\\frac\{1\}\{64\}, \\frac\{1\}\{32\}\],\[\\frac\{1\}\{32\}, \\frac\{1\}\{16\}\],\[\\frac\{1\}\{16\}, \\frac\{1\}\{8\}\],\[\\frac\{1\}\{8\}, \\frac\{1\}\{4\}\],\[\\frac\{1\}\{4\}, \\frac\{1\}\{2\}\], \[\\frac\{1\}\{2\}, 1\] \[0,1281\],\[1281,641\],\[641,321\],\[321,161\],\[161,81\],\[81,41\],\[41,21\],\[21,1\]  
    而其中，这不均匀的8段里面，我们再**在每段里面均匀地划分出16小段**。值得注意的是，在同一段里面，这些等分之间的长度是相等的；但是在不同的段里面，这些等分的长度是不相等的。那么，在x轴上，**一共就有了： 8 × 16 = 128 8\\times16 = 128 8×16=128个量化级。** 下面，我们就来看看最小的量化间隔是什么：  
    很明显，8段里面最短的就是第一段，长度为： 1 128 \\frac\{1\}\{128\} 1281，那么在这段里面再做16等分，那么每一个小分的长度就是： 1 128 × 1 16 = 1 2048 \\frac\{1\}\{128\}\\times\\frac\{1\}\{16\} = \\frac\{1\}\{2048\} 1281×161=20481，这就是**最小的量化间隔**，我们记为 △ △ △。【特别值得注意的是：我们上述的讨论都是针对归一化信号而言的，即信号的幅度范围在 ±1 之间，如果题目中给的范围不是归一化的，那么得先将他归一化再来编码】！  
    那么，我们的横轴就以  △ △ △ 作为单位。所以8段中各段的起使电平就是： 16 △ , 32 △ , 64 △ , 128 △ , 256 △ , 512 △ , 1024 △ , 2048 △ 16△, 32△, 64△, 128△, 256△, 512△, 1024△, 2048△ 16△,32△,64△,128△,256△,512△,1024△,2048△
2.  横轴划分好了，接下来我们就看看y轴怎么划分—— 很简单，对于纵轴，我们**先直接在  \[ 0 , 1 \] \[0, 1\] \[0,1\] 区间做8等分，得到8个等长的段；接下来还是在每一段里面均匀地做16等分**。也就是y也是对应128个量化级。

好啦！这就是 A律13折线的设置，那么为啥叫13折呢？—— 首先对于上面这个图，我们发现第一段和第二段折线的斜率是一样的，而在  \[ − 1 , 0 \] \[-1, 0\] \[−1,0\] 区间，靠近0的也有两端折线斜率一样，所以这4条折线合并为1条折线，那么最终在  \[ − 1 , 1 \] \[-1, 1\] \[−1,1\] 区间上给人们呈现出来的，就一共有13条折线。故名为 A律13折线。

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> 这里给大家支一招：做题非常好用：不同的考题可能他们的最小量化间隔是不一样的，如果题目说最小量化间隔是1，那么很简单就按照上面的写出各段的起使电平（最大值是  2048 △ 2048△ 2048△）： 0 , 16 △ , 32 △ , 64 △ , 128 △ , 256 △ , 512 △ , 1024 △ , 2048 △ 0,16△, 32△, 64△, 128△, 256△, 512△, 1024△, 2048△ 0,16△,32△,64△,128△,256△,512△,1024△,2048△  
> 其中， \[ 0 , 16 △ \] \[ 0,16△\] \[0,16△\], \[ 16 △ , 32 △ \] \[16△, 32△\] \[16△,32△\]他们视为一段，标号从1开始。  
>  \\space   
> 如果题目说最小量化间隔是 2 ，那么最大值应该变成（ 4096 △ 4096△ 4096△），那么还是一样写出各段的起使电平： 0 , 32 △ , 64 △ , 128 △ , 256 △ , 512 △ , 1024 △ , 2048 △ , 4096 △ 0,32△, 64△, 128△, 256△, 512△, 1024△, 2048△, 4096△ 0,32△,64△,128△,256△,512△,1024△,2048△,4096△  
> 其中， \[ 0 , 32 △ \] \[ 0,32△\] \[0,32△\], \[ 32 △ , 64 △ \] \[32△, 64△\] \[32△,64△\]他们视为一段，标号从1开始。

# 2. 编码 #

A律13折线采用 8 位二进制数来进行编码。二进制码组的结构如下： C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 7 C 8 C\_1 \\space\\space C\_2C\_3C\_4 \\space\\space C\_5C\_6C\_7C\_8 C1C2C3C4C5C6C7C8

其中， C 1 C\_1 C1表示极性码：如果信号是正的，那么  C 1 = 1 C\_1 = 1 C1=1，反之  C 1 = 0 C\_1 = 0 C1=0

C 2 C 3 C 4 C\_2C\_3C\_4 C2C3C4 表示段落码：我们刚刚不是说先把x轴不均匀地划分为8段嘛，所以这里的段落码就是指示信号在哪一段的。（例：第一段就是 000；第二段就是 001；第五段就是 100…）

C 5 C 6 C 7 C 8 C\_5C\_6C\_7C\_8 C5C6C7C8 表示段内码：因为我们对每一段又进一步做了16等分，所以这个段内码就是指示信号在某一段内的哪个小段。（例：如果在第一小段就是 0000，第二小段就是 0001；第10小段就是 1001…）

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# 3.译码 #

译码的时候，极性码和段落码的恢复比较简单，值得注意的是段内码的恢复：  
首先，由： C 5 C 6 C 7 C 8 C\_5C\_6C\_7C\_8 C5C6C7C8确定段内数  m m m，接下来，我们还需要加上  △ k 2 \\frac\{△\_k\}\{2\} 2△k这一项（ △ k △\_k △k 表示第 k 段的量化间隔），这是为了能够将误差控制在  ± △ k 2 ±\\frac\{△\_k\}\{2\} ±2△k 范围之内。

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# 4. 对数PCM码与线性PCM码的互相转换 #

因为我们现在用PCM方法编码得到的是对数码，无法直接进行数值运算，因此需要转为线性PCM码。这很简单，我们下面介绍一下：

首先我们先将获得的对数PCM编码转换为十进制数  y ^ \\hat\{y\} y^，假设我们的最小量化间隔是  1 2048 \\frac\{1\}\{2048\} 20481时，那么  y ^ \\hat\{y\} y^ 的最大取值将会是 2048，需要11位二进制数来表示。所以我们最后就直接把十进制数转为11位二进制数即可。【**但是值得注意的是：8位二进制码转11位二进制码，由于量化间隔的问题，会出现不可分辨部分，所以我们一般可以通过查表得到转换结果**】

而将线性PCM码转为对数PCM码那就直接是PCM编码的过程了——先将线性码转为十进制数，然后对这个十进制数做PCM编码即可。

> 最后一点就是：A律压缩变换对于小信号区域，信噪比SNR有24dB的提升。

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