偏差-方差分解（bias-variance decomposition）:在理论上解释算法的泛化性能

阳光穿透心脏的1/2处 2022-12-17 02:28 95阅读 0赞

### 文章目录 ###

*  先说结论:泛化误差可分解为偏差，方差与噪声之和
 *  再说推导：以回归任务为例
 *   *  偏差：刻画的是学习算法本身的拟合能力
     *  方差 ： 刻画的是数据扰动所造成的影响
     *  噪声：刻画的是学习问题本身的难度
 *  偏差-方差窘境（bias-variance dilemma）
 *  正则化：适度增加偏差以减少方差

我们可以直接做实验，拿到一个具体的精度，以及训练过程的变化曲线，观察出模型的泛化性能。

但是这样做，明显是很模糊主观的，而且也完全不知为何会表现出这样的泛化性能。

本文所说的这个分解方法就是要在理论上去分析一下，到底泛化误差由什么组成，由哪些因素影响。我个人觉得这个理论分析法的贡献是非常非常大的。

# 先说结论:泛化误差可分解为偏差，方差与噪声之和 #

![在这里插入图片描述][20201022142256440.png_pic_center]

![在这里插入图片描述][20201022142301589.png_pic_center]

即：分类器的泛化性能是由学习算法的能力，数据的充分性，以及学习任务本身的难度共同决定的。

# 再说推导：以回归任务为例 #

推导过程是很简单的，并不难，但是在在推导中，用回归会很方便，所以以回归任务为例子  
![在这里插入图片描述][2020102214532038.png_pic_center]  
 y D y\_D yD是数据集中的采样值，回归任务中，比如是1.2，但是也许其真实值y是1.25,这个是由于数据集采集过程中引入的无法避免的误差，即我们数据集中数据和真实状态的区别，这个差距越大，我们的学习算法性能再好也无法完美分类，所以这个差异刻画的是问题本身的难度，我们称之为噪声，是非常形象的。

> 比如，很多用传感器采集的数据，在采集过程中，不可避免地会引入噪声，使得数据集中的数据和真实数据有一定差异，这个差异就是噪声，比如采集脑电波信号EEG时，电极和电信号之间隔着一层头皮，不可避免的引入了头皮以及头皮和大脑皮层中间液体的电信号噪声。  
> 但是后续的分类或者回归任务只能使用数据集中有噪声的数据，训练出来的模型却要用于真实数据的分类，所以当然会性能较差。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM2NjA3ODk0_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]  
虽然这里多次用了期望和方差，但是真的很简单。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM2NjA3ODk0_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]  
两个红框计算结果为0：

红框1=  E \[ f ( x ; D ) . f ˉ ( x ) − y D . f ( x ; D ) − ( f ˉ ( x ) ) 2 + f ˉ ( x ) . y D \] = E\[f(x;D).\\bar f(x)-y\_D.f(x;D)-(\\bar f(x))^2 + \\bar f(x).y\_D\]= E\[f(x;D).fˉ(x)−yD.f(x;D)−(fˉ(x))2\+fˉ(x).yD\]=  
 f ˉ ( x ) . f ˉ ( x ) − f ˉ ( x ) . y D − ( f ˉ ( x ) ) 2 + f ˉ ( x ) . y D = 0 \\bar f(x).\\bar f(x)-\\bar f(x).y\_D-(\\bar f(x))^2 + \\bar f(x).y\_D=0 fˉ(x).fˉ(x)−fˉ(x).yD−(fˉ(x))2\+fˉ(x).yD=0

红框2= E \[ f ˉ ( x ) . y − f ˉ ( x ) . y D − y 2 + y . y D \] = E\[\\bar f(x).y-\\bar f(x).y\_D-y^2+ y.y\_D\]= E\[fˉ(x).y−fˉ(x).yD−y2\+y.yD\]=

f ˉ ( x ) . E \[ y − y D \] − E \[ y . ( y − y D ) \] = 0 \\bar f(x).E\[y-y\_D\]-E\[y.(y-y\_D)\]=0 fˉ(x).E\[y−yD\]−E\[y.(y−yD)\]=0  
因为 E \[ y − y D \] E\[y-y\_D\] E\[y−yD\]是噪声的期望，是0.

## 偏差：刻画的是学习算法本身的拟合能力 ##

算法的期望预测和真实结果的偏离程度

## 方差 ： 刻画的是数据扰动所造成的影响 ##

度量的是同样大小的训练集的波动导致的学习性能的变化

## 噪声：刻画的是学习问题本身的难度 ##

表示在当前任务上任何学习算法能够达到的期望泛化误差的下界

这三项中，只有偏差和方差是我们可以左右的，我们能做的就是：最小化偏差和方差。

# 偏差-方差窘境（bias-variance dilemma） #

但是偏差和方差又是冲突的。。。这就是偏差-方差窘境。（bias-variance dilemma）

*  在训练不足时，即**欠拟合**，学习器（分类器/回归器）的拟合能力还不够强，这时候**偏差主导了泛化误差。**
 *  随着训练程度加深，学习器的拟合能力足够强了，偏差不大了。但是训练数据的扰动会显著影响学习器，即训练数据发生轻微扰动，学习器都会显著变化，这就是我们常说的**过拟合**，即学习器学到了训练数据中自身的非全局的特性。**这时候泛化误差由方差主导**。

如图：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM2NjA3ODk0_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]  
这个图简直太真实太常见太形象了。。以前一直莫名其妙，怎么会这样，泛化误差怎么到后面还增大了，现在终于明白了，原理是因为方差越来越大！因为学习器越来越过拟合，过拟合的越来越严重！

而数据量非常大的场合，一般不会出现上图这种走势的训练图，而是

偏差大时，说明学习器不行，应该增大学习器的复杂度比如增加NN层数或者增加训练次数，这时候靠增大数据量是于事无补的。

> 下图是一个高偏差示例，数据其实是二次函数走向，但是偏要用一次函数去拟合，那么偏差就很大。就算增大数据量，拟合出来的还是一次函数直线，泛化误差还是很大。所以偏差表示学习器本身的学习能力，这里一次函数无论如何也不可能学到二次曲线的特性的。  
> ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM2NjA3ODk0_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]

而方差大时，则说明学习器没问题，是数据太少了，这种情况下，增加数据量可以显著解决问题。

> 示例：  
> ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM2NjA3ODk0_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 4]

我们就是要在泛化误差停止减小，转而增大的那一点停下来，停止训练，这时候的模型就是最佳的，偏差和方差之和达到了最小。  
即：我们要找一个最佳的bias-variance trade-off.  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM2NjA3ODk0_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 5]

> 之前常画的是loss曲线和精度曲线。而误差曲线一般是指上面几张图这样，增大训练集的规模，观察训练和测试误差的变化，从而判断模型的学习状况，是高偏差还是高方差，从而针对性解决。

# 正则化：适度增加偏差以减少方差 #

一个有效的正则化是有利的 ‘‘交易’’，也就是能显著减少方差而不过度增加偏差。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM2NjA3ODk0_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 6]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM2NjA3ODk0_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 7]

[20201022142256440.png_pic_center]: /images/20221123/cf87af32d64c41d8be15706bb94e0a22.png
[20201022142301589.png_pic_center]: /images/20221123/c1694bc43d444c7ca244dface5a72314.png
[2020102214532038.png_pic_center]: /images/20221123/3da79d0732634ea0b6d287dd4f95ea14.png
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