2021 考研线代知识点整理

桃扇骨 2022-12-09 05:13 569阅读 0赞

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# 2021 考研线代（34分） #

选择2个

填空题 1个

解答2 个

### 文章目录 ###

*  2021 考研线代（34分）
 *  1. 行列式-数
 *   *  概念
     *  1.1 计算
     *   *  1)数字型行列式
         *  2)抽象行列式
     *  1.2 应用
     *   *  1)特征值多项式
         *  2)克拉默法则(证明题)
     *  1.3 证明题
     *  1.4 题型
     *  1.5 方法总结
 *  2. 矩阵
 *   *  2.1 概念及运算
     *   *  1)运算
         *  2)特殊矩阵
     *  2.2 伴随矩阵，可逆矩阵
     *   *  1)概念
         *  2)公式
         *  3)求逆矩阵
     *  2.3 初等矩阵，初等变换
     *   *  1)初等变换
         *  2)初等矩阵
     *  2.4 矩阵的秩
     *   *  1)概念
         *  2)性质
     *  2.5 分块矩阵
     *  2.6 解法
     *  2.7 例题
 *  3. 向量
 *   *  3.1 概念
     *   *  运算
     *  3.2 线性表出，线性相关
     *   *  线性表的概念
         *  线性相关
         *  性质
     *  3.3 极大线性无关组，秩
     *   *  概念
         *  秩的定理
     *  3.4 schmidt正交化，正交矩阵
     *  3.5 向量空间
     *   *  过渡矩阵
     *  3.6 例题
     *  3.7 解法总结
 *  4. 方程组
 *   *  4.1 齐次线性方程组
     *  4.2 非齐次方程组
     *   *  解的性质
         *  解的结构
     *  4.3 公共解，同解
     *   *  概念
         *  性质
     *  4.4 解法
     *  4.5 例题
 *  5. 特征值，特征向量，相似矩阵
 *   *  5.1 特征值，特征值向量
     *   *  概念
         *  性质
     *  5.2 相似矩阵，矩阵的相似对角化
     *   *  概念
         *  性质
     *  5.3 实对称矩阵的相似对角化
     *   *  概念
         *  性质
     *  5.4 例题
     *  5.5 解法总结
 *  6. 二次型
 *   *  6.1 二次型概念
     *   *  概念
         *  二次型表示
     *  6.2 标准型，规范性
     *   *  1)概念
         *  2)性质
         *  3)变换方法
         *   *  配方法
             *  用正交变换变换成二次型
     *  6.3 正定二次型，正定矩阵
     *   *  概念
         *  性质
     *  6.4 例题
     *  6.5 解法总结

# 1. 行列式-数 #

## 概念 ##

> 不同行不同列元素乘积的代数和 ∣ a b c d ∣ = a d − b c \\begin\{vmatrix\}a&b\\\\ c&d\\end\{vmatrix\}=ad-bc ∣∣∣∣acbd∣∣∣∣=ad−bc

## 1.1 计算 ##

### 1)数字型行列式 ###

* 性质
 
 <table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th></th> 
 <th></th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td>进行转置行列式不变</td> 
 <td> ∣ A T ∣ = ∣ A ∣ \mid A^T\mid=\mid A\mid ∣AT∣=∣A∣</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>两行或者两列互换位置，行列式的值变号</td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>某行或者某列有着公因式k,可以把k 提出到行列式记号外</td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>行列式某行(某列)是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和</td> 
 <td> ∣ a 1 + b 1 a 2 + b 2 a 3 + b 3 c 1 c 2 c 3 d 1 d 2 d 3 ∣ = ∣ a 1 a 2 a 3 c 1 c 2 c 3 d 1 d 2 d 3 ∣ + ∣ b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 d 1 d 2 d 3 ∣ \begin{vmatrix}a_1+b_1&amp;a_2+b_2&amp;a_3+b_3\\ c_1&amp;c_2&amp;c_3\\ d_1&amp;d_2&amp;d_3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_1&amp;a_2&amp;a_3\\ c_1&amp;c_2&amp;c_3\\ d_1&amp;d_2&amp;d_3\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}b_1&amp;b_2&amp;b_3\\ c_1&amp;c_2&amp;c_3\\ d_1&amp;d_2&amp;d_3\end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣a1+b1c1d1a2+b2c2d2a3+b3c3d3∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣a1c1d1a2c2d2a3c3d3∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣b1c1d1b2c2d2b3c3d3∣∣∣∣∣∣</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>某行或列的k 倍加到另一行(或列),行列式的值不变</td> 
 <td> ∣ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ∣ = ∣ a 1 a 2 a 3 b 1 + k a 1 b 2 + k a 2 b 3 + k a 3 c 1 c 2 c 3 ∣ \begin{vmatrix}a_1&amp;a_2&amp;a_3\\ b_1&amp;b_2&amp;b_3\\ c_1&amp;c_2&amp;c_3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_1&amp;a_2&amp;a_3\\ b_1+ka_1&amp;b_2+ka_2&amp;b_3+ka_3\\ c_1&amp;c_2&amp;c_3\end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣a1b1c1a2b2c2a3b3c3∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣a1b1+ka1c1a2b2+ka2c2a3b3+ka3c3∣∣∣∣∣∣</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>拉普拉斯展开式</td> 
 <td> ∣ A ∗ O B ∣ = ∣ A O ∗ B ∣ = ∣ A ∣ ⋅ ∣ B ∣ ∣ O A B ∗ ∣ = ∣ ∗ A B O ∣ = ( − 1 ) m n ∣ A ∣ ⋅ ∣ B ∣ \begin{vmatrix}A&amp; *\\ O&amp; B\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A&amp;O\\ *&amp;B\end{vmatrix}=\mid A\mid \cdot \mid B\mid\\ \begin{vmatrix}O&amp; A\\ B&amp; *\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}*&amp;A\\ B&amp;O\end{vmatrix}=(-1)^{mn}\mid A\mid \cdot \mid B\mid ∣∣∣∣AO∗B∣∣∣∣=∣∣∣∣A∗OB∣∣∣∣=∣A∣⋅∣B∣∣∣∣∣OBA∗∣∣∣∣=∣∣∣∣∗BAO∣∣∣∣=(−1)mn∣A∣⋅∣B∣</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>范德蒙行列式</td> 
 <td> ∣ 1 2 3 a 1 a 2 a 3 a 1 2 a 2 2 a 3 2 ∣ = ( x 2 − x 1 ) ( x 3 − x 1 ) ( x 3 − x 2 ) \begin{vmatrix}1&amp;2&amp;3\\ a_1&amp;a_2&amp;a_3\\ a_1^2&amp;a_2^2&amp;a_3^2\end{vmatrix}=(x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2) ∣∣∣∣∣∣1a1a122a2a223a3a32∣∣∣∣∣∣=(x2−x1)(x3−x1)(x3−x2)</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 </tbody> 
 </table>
 * 行列式计算普通方法

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>方法</th> 
 <th>例题</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td>逐行相加</td> 
 <td> ∣ a 1 − 1 0 0 a 2 x − 1 0 a 3 0 x − 1 a 4 0 0 x ∣ = ∣ a 1 − 1 0 0 a 1 x + a 2 0 − 1 0 a 3 0 x − 1 a 4 0 0 x ∣ = ∣ a 1 − 1 0 0 a 1 x + a 2 0 − 1 0 a 1 x 2 + a 2 x + a 3 0 0 − 1 a 4 0 0 x ∣ = ∣ a 1 − 1 0 0 a 1 x + a 2 0 − 1 0 a 1 x 2 + a 2 x + a 3 0 0 − 1 a 1 x 3 + a 2 x 2 + a 3 x + a 4 0 0 0 ∣ \begin{vmatrix}a_1&amp;-1&amp;0&amp;0\\ a_2&amp;x&amp;-1&amp;0\\ a_3&amp;0&amp;x&amp;-1\\ a_4&amp;0&amp;0&amp;x\end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix}a_1&amp;-1&amp;0&amp;0\\ a_1x+a_2&amp;0&amp;-1&amp;0\\ a_3&amp;0&amp;x&amp;-1\\ a_4&amp;0&amp;0&amp;x\end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix}a_1&amp;-1&amp;0&amp;0\\ a_1x+a_2&amp;0&amp;-1&amp;0\\ a_1x^2+a_2x+a_3&amp;0&amp;0&amp;-1\\ a_4&amp;0&amp;0&amp;x\end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix}a_1&amp;-1&amp;0&amp;0\\ a_1x+a_2&amp;0&amp;-1&amp;0\\ a_1x^2+a_2x+a_3&amp;0&amp;0&amp;-1\\ a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4&amp;0&amp;0&amp;0\end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣∣∣a1a2a3a4−1x000−1x000−1x∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣a1a1x+a2a3a4−10000−1x000−1x∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣a1a1x+a2a1x2+a2x+a3a4−10000−10000−1x∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣a1a1x+a2a1x2+a2x+a3a1x3+a2x2+a3x+a4−10000−10000−10∣∣∣∣∣∣∣∣</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>(递推法)</td> 
 <td> ∣ 2 a 1 a 2 2 a 1 a 2 2 a 1 … … a 2 2 a 1 a 2 2 a ∣ 答 案 （ n + 1 ) a n , 用 数 学 归 纳 法 证 明 D k = 2 a D k − 1 − a 2 D k − 2 \begin{vmatrix}2a&amp;1\\ a^2&amp;2a&amp;1\\ &amp;a^2&amp;2a&amp;1\\ &amp;&amp;……\\&amp;&amp;a^2&amp;2a&amp;1&amp;\\ &amp;&amp;&amp;a^2&amp;2a\end{vmatrix}\\ 答案（n+1)a^n,用数学归纳法证明D_k=2aD_{k-1}-a^2D_{k-2} ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2aa212aa212a……a212aa212a∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣答案（n+1)an,用数学归纳法证明Dk=2aDk−1−a2Dk−2</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

### 2)抽象行列式 ###

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th></th> 
 <th></th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td>行列式性质</td> 
 <td> 若 A 是 n 阶 矩 阵 ， A T 是 A 的 转 置 矩 阵 ， 则 ∣ A T ∣ = ∣ A ∣ ; 若 A 是 n 阶 矩 阵 ， 则 ∣ k A ∣ = k n ∣ A ∣ ； 若 A 是 n 阶 矩 阵 ， A ∗ 是 A 的 伴 随 矩 阵 ， 则 ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 若 A 是 n 阶 可 逆 矩 阵 ， A − 1 是 A 的 逆 矩 阵 ， 则 ∣ A n − 1 ∣ = ∣ A ∣ − 1 若 矩 阵 A 和 B 相 似 A &nbsp; B ， 则 ∣ A ∣ = ∣ B ∣ 若 A 是 n 阶 矩 阵 ， A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ E A − n 阶 ， 特 征 值 为 λ 1 , λ 2 , λ n ∣ A ∣ = ∏ λ i 若A是n阶矩阵，A^T是A的转置矩阵，则\mid A^T\mid =\mid A\mid;\\ 若A是n 阶矩阵，则\mid kA \mid=k^n\mid A\mid；\\ 若A 是n 阶矩阵， A^* 是A的伴随矩阵，则\mid A^*\mid=\mid A\mid^{n-1}\\ 若A 是n阶可逆矩阵，A^{-1}是A的逆矩阵，则\mid A^{n-1}\mid=\mid A\mid ^{-1}\\ 若矩阵A和B 相似A ~ B，则\mid A\mid =\mid B\mid \\若A 是n阶矩阵，AA^*=A^*A=\mid A\mid E\\ A-n 阶，特征值为\lambda_1,\lambda_2,\lambda_n\mid A\mid=\prod\lambda_i 若A是n阶矩阵，AT是A的转置矩阵，则∣AT∣=∣A∣;若A是n阶矩阵，则∣kA∣=kn∣A∣；若A是n阶矩阵，A∗是A的伴随矩阵，则∣A∗∣=∣A∣n−1若A是n阶可逆矩阵，A−1是A的逆矩阵，则∣An−1∣=∣A∣−1若矩阵A和B相似A&nbsp;B，则∣A∣=∣B∣若A是n阶矩阵，AA∗=A∗A=∣A∣EA−n阶，特征值为λ1,λ2,λn∣A∣=∏λi</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>正交矩阵的性质</td> 
 <td> A A T = A T A = E , ∣ A ∣ 2 = 1 AA^T=A^TA=E,\mid A\mid^2=1 AAT=ATA=E,∣A∣2=1</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>3阶特征值展开</td> 
 <td> ∣ λ E − A ∣ = λ 3 − ( λ 1 + λ 2 + λ 3 ) λ 2 + λ − λ 1 λ 2 λ 3 = λ 3 − ( a 11 + a 22 + a 33 ) λ 2 + S 2 λ − ∣ A ∣ \mid \lambda E-A\mid=\lambda^3-(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)\lambda^2+\lambda-\lambda_1\lambda_2\lambda_3=\lambda^3-(a_{11}+a_{22}+a_{33})\lambda^2+S_2\lambda -\mid A\mid ∣λE−A∣=λ3−(λ1+λ2+λ3)λ2+λ−λ1λ2λ3=λ3−(a11+a22+a33)λ2+S2λ−∣A∣</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>代数余子式应用</td> 
 <td> 展 开 式 ∣ A ∣ = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + + a i n A i n 当 i ≠ j 时 a i 1 A j 1 + a i 2 A j 2 + ⋯ + a i n A j n = 0 展开式\mid A\mid=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}++a_{in}A_{in}\\当i\ne j 时\\ a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn}=0 展开式∣A∣=ai1Ai1+ai2Ai2++ainAin当i=j时ai1Aj1+ai2Aj2+⋯+ainAjn=0</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>矩阵不可逆</td> 
 <td> A 矩 阵 不 可 逆 ， ∣ A ∣ = 0 A 矩阵不可逆，\mid A\mid=0 A矩阵不可逆，∣A∣=0</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

## 1.2 应用 ##

### 1)特征值多项式 ###

A ∗ , A − 1 相 关 ， 无 关 ， 正 定 A^\*,A^-1相关，无关，正定 A∗,A−1相关，无关，正定、

### 2)克拉默法则(证明题) ###

\{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + … … + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … … + a 2 n x n = b 2 … … a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + … … + a n n x n = b n D = ∣ a 11 a 12 … … a 1 n a 21 a 22 … … a 2 n … … a n 1 a n 2 … … a n n ∣ , D 1 = ∣ b 1 a 12 … … a 1 n b 2 a 22 … … a 2 n … … b n a n 2 … … a n n ∣ ∣ D ∣ ≠ 0 , 方 程 组 有 唯 一 解 ， 且 x 1 = ∣ D 1 ∣ ∣ D ∣ , x 2 = ∣ D 2 ∣ ∣ D ∣ ， … … x n = ∣ D n ∣ ∣ D ∣ 若 D ≠ 0 , 则 A X = 0 只 有 零 解 A X = 0 有 非 零 解 ， 则 ∣ A ∣ = 0 \\begin\{cases\}a\_\{11\}x\_1+a\{12\}x\_2+……+a\_\{1n\}x\_n=b\_1\\\\ a\_\{21\}x\_1+a\{22\}x\_2+……+a\_\{2n\}x\_n=b\_2\\\\ ……\\\\ a\_\{n1\}x\_1+a\{n2\}x\_2+……+a\_\{nn\}x\_n=b\_n\\end\{cases\}\\\\ D=\\begin\{vmatrix\}a\_\{11\}&a\_\{12\}&……&a\_\{1n\}\\\\ a\_\{21\}&a\_\{22\}&……&a\_\{2n\}\\\\ &&……\\\\ a\_\{n1\}&a\_\{n2\}&……&a\_\{nn\} \\end\{vmatrix\},D\_1=\\begin\{vmatrix\}b\_1&a\_\{12\}&……&a\_\{1n\}\\\\ b\_2&a\_\{22\}&……&a\_\{2n\}\\\\ &&……\\\\ b\_n&a\_\{n2\}&……&a\_\{nn\} \\end\{vmatrix\}\\\\ \\mid D\\mid \\ne 0,方程组有唯一解，且x\_1=\\frac\{\\mid D\_1\\mid\}\{\\mid D\\mid\},x\_2=\\frac\{\\mid D\_2\\mid\}\{\\mid D\\mid \}，……x\_n=\\frac\{\\mid D\_n\\mid\}\{\\mid D\\mid \}\\\\ 若D\\ne 0,则AX=0 只有零解\\\\ AX=0 有非零解，则\\mid A\\mid =0 ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a11x1\+a12x2\+……\+a1nxn=b1a21x1\+a22x2\+……\+a2nxn=b2……an1x1\+an2x2\+……\+annxn=bnD=∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21an1a12a22an2……………………a1na2nann∣∣∣∣∣∣∣∣,D1=∣∣∣∣∣∣∣∣b1b2bna12a22an2……………………a1na2nann∣∣∣∣∣∣∣∣∣D∣=0,方程组有唯一解，且x1=∣D∣∣D1∣,x2=∣D∣∣D2∣，……xn=∣D∣∣Dn∣若D=0,则AX=0只有零解AX=0有非零解，则∣A∣=0

## 1.3 证明题 ##

A x = 0 有 非 零 解 r ( A ) < n , ∣ A ∣ = − ∣ A ∣ Ax=0有非零解\\\\ r(A)<n,\\\\ \\mid A\\mid=-\\mid A\\mid Ax=0有非零解r(A)<n,∣A∣=−∣A∣

## 1.4 题型 ##

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>题型</th> 
 <th>题目</th> 
 <th>解答</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td> ∣ A ∣ = ∣ 1 1 2 − 1 − 2 3 4 1 3 4 1 2 − 4 2 0 6 ∣ 求 1. A 12 − 2 A 22 + 3 A 32 − 4 A 42 = 2. A 31 + 2 A 32 + A 34 \mid A\mid =\begin{vmatrix}1&amp;1&amp;2&amp;-1\\ -2&amp;3&amp;4&amp;1\\ 3 &amp;4&amp;1&amp;2\\ -4&amp;2&amp;0&amp;6\end{vmatrix}\\ 求1.A_{12}-2A_{22}+3A_{32}-4A_{42}=\\ 2.A_{31}+2A_{32}+A_{34} ∣A∣=∣∣∣∣∣∣∣∣1−23−413422410−1126∣∣∣∣∣∣∣∣求1.A12−2A22+3A32−4A42=2.A31+2A32+A34</td> 
 <td> 1. 答 案 0 = a 11 A 12 + a 21 A 22 + a 31 A 32 + a 41 A 41 = 0 2. 答 案 − 40 构 造 新 的 行 列 式 ∣ 1 1 2 − 1 − 2 3 4 1 1 2 0 1 − 4 2 0 6 ∣ = − 40 1.答案0 \\ =a_{11}A_{12}+a_{21}A_{22}+a_{31}A_{32}+a_{41}A_{41}\\ =0\\ 2.答案-40\\构造新的行列式 \begin{vmatrix}1&amp;1&amp;2&amp;-1\\ -2&amp;3&amp;4&amp;1\\ 1&amp;2&amp;0 &amp;1\\ -4&amp;2&amp;0&amp;6\end{vmatrix}\\ =-40 1.答案0=a11A12+a21A22+a31A32+a41A41=02.答案−40构造新的行列式∣∣∣∣∣∣∣∣1−21−413222400−1116∣∣∣∣∣∣∣∣=−40</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td> A , B − 3 阶 ， ∣ A ∣ = 3 , ∣ B ∣ = 2 , ∣ A − 1 + B ∣ = 2 , 则 ∣ A + B − 1 ∣ = A,B-3阶，\mid A\mid=3,\mid B\mid=2,\\ \mid A^{-1}+B\mid =2,则\mid A+B^{-1}\mid= A,B−3阶，∣A∣=3,∣B∣=2,∣A−1+B∣=2,则∣A+B−1∣=</td> 
 <td> ∣ E A + B − 1 A ∣ = ∣ ( B − 1 B ) A + B − 1 ( A − 1 A ) ∣ = ∣ B − 1 ( B + A − 1 ) A ∣ = 1 2 ∗ 2 ∗ 3 = 3 \mid EA+B^{-1}A\mid\\ = \mid (B^{-1}B)A+B^{-1}(A^{-1}A)\mid\\ = \mid B^{-1}(B+A^{-1})A\mid\\ = \frac{1}{2}*2*3=3 ∣EA+B−1A∣=∣(B−1B)A+B−1(A−1A)∣=∣B−1(B+A−1)A∣=21∗2∗3=3</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td> A − 4 阶 正 交 矩 阵 ， ∣ A ∣ &lt; 0 , ∣ B − A ∣ = 5 , 则 ∣ E − A B T ∣ = A-4阶正交矩阵，\mid A\mid&lt;0,\mid B-A\mid=5,\\ 则\mid E-AB^T\mid= A−4阶正交矩阵，∣A∣&lt;0,∣B−A∣=5,则∣E−ABT∣=</td> 
 <td> ∣ A A T − A B T ∣ = ∣ A ( A T − B T ) ∣ = ∣ A ∣ ∣ A T − B T ∣ = ( − 1 ) ∣ ( B − A ) T ∣ = ( − 1 ) ∗ ( − 1 ) 4 ∣ ( A − B ) T ∣ = − 5 \mid AA^T-AB^T\mid\\ =\mid A(A^T-B^T)\mid\\ =\mid A\mid \mid A^T-B^T\mid\\ =(-1)\mid(B-A)^T\mid\\ =(-1)*(-1)^4\mid (A-B)^T\mid\\ =-5 ∣AAT−ABT∣=∣A(AT−BT)∣=∣A∣∣AT−BT∣=(−1)∣(B−A)T∣=(−1)∗(−1)4∣(A−B)T∣=−5</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>相似</td> 
 <td> A − 3 阶 ， α 1 , α 2 , α 3 − 3 维 线 性 代 数 无 关 列 向 量 A α 1 = α 2 + α 3 ， A α 2 = α 1 + α 3 , A α 3 = α 1 + α 2 + 2 α 3 , 求 ∣ A ∗ ∣ A-3阶，\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 -3维线性代数无关列向量\\ A\alpha_1=\alpha_2+\alpha_3，\\ A\alpha_2=\alpha_1+\alpha_3,\\ A\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2+2\alpha_3,求\mid A^*\mid A−3阶，α1,α2,α3−3维线性代数无关列向量Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3,Aα3=α1+α2+2α3,求∣A∗∣</td> 
 <td> A ( α 1 , α 2 , α 3 ) = ( α 1 , α 2 , α 3 ) ∣ 0 1 1 1 0 3 1 1 2 ∣ A P = P B P − 1 A P = B A , B 相 似 ∣ A ∣ = 2 ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 = ∣ A ∣ 2 = 4 A( \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\begin{vmatrix}0&amp;1&amp;1\\ 1&amp;0&amp;3\\ 1&amp;1&amp;2\end{vmatrix} \\ AP=PB\\ P^{-1}AP=B\\ A,B相似\mid A\mid=2 \\ \mid A^*\mid=\mid A\mid^{n-1}=\mid A\mid^2=4 A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)∣∣∣∣∣∣011101132∣∣∣∣∣∣AP=PBP−1AP=BA,B相似∣A∣=2∣A∗∣=∣A∣n−1=∣A∣2=4</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td> A − 3 阶 ， E − 3 阶 单 位 矩 阵 ， 如 A , A − 2 E , 3 A + 2 E 均 不 可 逆 ， ∣ A + E ∣ = A-3阶，E-3阶单位矩阵，\\ 如A,A-2E,3A+2E均不可逆，\\ \mid A+E\mid = A−3阶，E−3阶单位矩阵，如A,A−2E,3A+2E均不可逆，∣A+E∣=</td> 
 <td> 因 为 不 可 逆 ， 所 以 行 列 式 等 于 0 ∣ A ∣ = 0 , ∣ A − 2 E ∣ = 0 , ∣ 3 A + 2 E ∣ = 0 ( − 1 ) 3 ∣ 0 E − A ∣ = 0 , ( − 1 ) 3 ∣ 2 E − A ∣ = 0 , ( − 3 ) 3 ∣ − 2 3 E − A ∣ = 0 , 求 出 特 征 值 0 , 2 , − 2 3 ， A + E 的 特 征 值 1 , 3 ， 1 3 ， ∣ A + E ∣ = 1 ∗ 3 ∗ 1 3 = 1 因为不可逆，所以行列式等于0 \\ \mid A\mid =0,\mid A-2E\mid=0,\mid 3A+2E\mid=0\\ (-1)^3\mid 0E-A\mid=0,\\ (-1)^3\mid 2E-A\mid=0,\\ (-3)^3\mid -\frac{2}{3}E-A\mid=0,\\ 求出特征值0,2,-\frac{2}{3}，\\ A+E 的特征值1,3，\frac{1}{3}，\\ \mid A+E\mid=1*3*\frac{1}{3}=1 因为不可逆，所以行列式等于0∣A∣=0,∣A−2E∣=0,∣3A+2E∣=0(−1)3∣0E−A∣=0,(−1)3∣2E−A∣=0,(−3)3∣−32E−A∣=0,求出特征值0,2,−32，A+E的特征值1,3，31，∣A+E∣=1∗3∗31=1</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

## 1.5 方法总结 ##

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>问题</th> 
 <th>基本思路</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td> 证 明 行 列 式 ∣ A ∣ 为 0 证明行列式\mid A\mid 为0 证明行列式∣A∣为0</td> 
 <td> 1. 矩 阵 不 可 逆 2. r ( A ) &lt; n 3. A x = 0 有 非 零 解 4.0 是 矩 阵 A 的 特 征 值 5. A 的 行 列 式 向 量 线 性 相 关 1.矩阵不可逆\\ 2.r(A)&lt;n\\ 3.Ax=0有非零解\\ 4.0是矩阵A的特征值\\ 5.A 的行列式向量线性相关 1.矩阵不可逆2.r(A)&lt;n3.Ax=0有非零解4.0是矩阵A的特征值5.A的行列式向量线性相关</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

# 2. 矩阵 #

## 2.1 概念及运算 ##

>  矩 阵 是 一 个 m ∗ n 的 表 格 , \[ a i j \] m ∗ n 矩阵是一个m\*n 的表格,\[a\_\{ij\}\]\_\{m\*n\} 矩阵是一个m∗n的表格,\[aij\]m∗n

### 1)运算 ###

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th></th> 
 <th></th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td>方阵的幂</td> 
 <td> ( A + B ) 2 = A 2 + A B + B A + B 2 ≠ A 2 + 2 A B + B 2 ( A B ) k = ( A B ) ( A B ) ⋯ ( A B ) ≠ A k B k (A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2\ne A^2+2AB+B^2\\ (AB)^k=(AB)(AB)\cdots(AB)\ne A^kB^k (A+B)2=A2+AB+BA+B2=A2+2AB+B2(AB)k=(AB)(AB)⋯(AB)=AkBk</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td>$AB=C ，C 的行向量可以用B的行向量线性表示\ AB=C，C 是列向量可以用A 的列向量线性表示\$</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>加减法</td> 
 <td>$$</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>转置</td> 
 <td> ( A + B ) T = A T + B T ( A B ) T = B T A T ( A T ) T = A ( k A ) T = k A T (A+B)^T=A^T+B^T\\ (AB)^T=B^TA^T\\ (A^T)^T=A\\ (kA)^T=kA^T (A+B)T=AT+BT(AB)T=BTAT(AT)T=A(kA)T=kAT</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>乘法,只有结合律</td> 
 <td> ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = A B + A C ( B + C ) A = B A + C A (AB)C=A(BC)\\ A(B+C)=AB+AC\\ (B+C)A=BA+CA (AB)C=A(BC)A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

### 2)特殊矩阵 ###

1. 单 位 矩 阵 ， 主 对 角 元 素 为 1 2. 对 角 阵 ， 非 对 角 元 素 都 是 0 3. 上 ( 下 ) 三 角 矩 阵 ， 当 i < j ( j < i ) 时 ， a i j = 0 的 矩 阵 表 示 上 ( 下 角 矩 阵 4. 对 称 矩 阵 , 满 足 A = A T , 及 a i j = a j i 5. 正 交 矩 阵 ， A A T = A T A = E ， 的 矩 阵 成 为 正 交 矩 阵 A T = A − 1 6. 初 等 矩 阵 : 单 位 矩 阵 经 过 初 等 变 换 所 得 到 的 矩 阵 7. 行 最 简 矩 阵 ： 非 零 行 的 主 元 都 是 1 ， 且 主 元 所 在 列 的 其 他 元 素 都 是 0 1.单位矩阵，主对角元素为1\\\\ 2.对角阵，非对角元素都是0\\\\ 3.上(下)三角矩阵，当i<j(j<i)时，a\_\{ij\}=0 的矩阵表示上(下角矩阵\\\\ 4.对称矩阵,满足A=A^T,及a\_\{ij\}=a\_\{ji\}\\\\ 5.正交矩阵，AA^T=A^TA=E，的矩阵成为正交矩阵A^T=A^\{-1\}\\\\ 6.初等矩阵:单位矩阵经过初等变换所得到的矩阵\\\\ 7.行最简矩阵：非零行的主元都是1 ，且主元所在列的其他元素都是0 1.单位矩阵，主对角元素为12.对角阵，非对角元素都是03.上(下)三角矩阵，当i<j(j<i)时，aij=0的矩阵表示上(下角矩阵4.对称矩阵,满足A=AT,及aij=aji5.正交矩阵，AAT=ATA=E，的矩阵成为正交矩阵AT=A−16.初等矩阵:单位矩阵经过初等变换所得到的矩阵7.行最简矩阵：非零行的主元都是1，且主元所在列的其他元素都是0

## 2.2 伴随矩阵，可逆矩阵 ##

### 1)概念 ###

伴随矩阵  
 矩 阵 A 的 行 列 式 ∣ A ∣ 所 有 的 代 数 余 子 式 所 构 成 的 \[ A 11 A 21 ⋯ A n 1 A 21 A 22 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A n n \] 的 矩 阵 称 为 矩 阵 A 的 伴 随 矩 阵 ， 记 为 A ∗ 矩阵A 的行列式\\mid A\\mid 所有的代数余子式所构成的\\\\ \\begin\{bmatrix\}A\_\{11\}&A\_\{21\}&\\cdots&A\_\{n1\}\\\\ A\_\{21\}&A\_\{22\}&\\cdots&A\_\{n2\}\\\\ \\vdots&\\vdots&&\\vdots \\\\ A\_\{1n\}&A\_\{2n\}&\\cdots&A\_\{nn\}\\end\{bmatrix\}\\\\ 的矩阵称为矩阵A 的伴随矩阵，记为A^\* 矩阵A的行列式∣A∣所有的代数余子式所构成的⎣⎢⎢⎢⎡A11A21⋮A1nA21A22⋮A2n⋯⋯⋯An1An2⋮Ann⎦⎥⎥⎥⎤的矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，记为A∗  
可逆矩阵  
 A B = B A = E ( 单 位 矩 阵 ) , A 是 可 逆 矩 阵 ， B 是 A 的 可 逆 矩 阵 AB=BA=E(单位矩阵),A是可逆矩阵，B是A的可逆矩阵 AB=BA=E(单位矩阵),A是可逆矩阵，B是A的可逆矩阵

### 2)公式 ###

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>公式介绍</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td> 核 心 公 式 A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ E ( A ∗ ) − 1 = ( A − 1 ) ∗ = 1 ∣ A ∣ A ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 ( A ∗ ) ∗ = ∣ A ∣ n − 2 A A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ 核心公式AA^*=A^*A=\mid A\mid E\\ (A^*)^{-1}=(A^{-1})^*=\frac{1}{\mid A\mid}A\\ \mid A^*\mid=\mid A\mid ^{n-1}\\ (A^*)^*=\mid A\mid^{n-2}A\\ A^{-1}=\frac{1}{\mid A\mid}A^* 核心公式AA∗=A∗A=∣A∣E(A∗)−1=(A−1)∗=∣A∣1A∣A∗∣=∣A∣n−1(A∗)∗=∣A∣n−2AA−1=∣A∣1A∗</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> r ( A ) = n − 1 ⇔ ∣ A ∣ = 0 且 A 中 有 n − 1 阶 子 式 不 为 0 r(A)=n-1\Leftrightarrow \mid A\mid=0且A中有n-1 阶子式不为0 r(A)=n−1⇔∣A∣=0且A中有n−1阶子式不为0</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> r ( A ∗ ) = { n , 如 r ( A ) = n 1 , 如 r ( A ) = n − 1 0 , 如 r ( A ) r(A^*)=\begin{cases}n,如r(A)=n\\ 1,如r(A)=n-1\\ 0,如r(A)\end{cases} r(A∗)=⎩⎪⎨⎪⎧n,如r(A)=n1,如r(A)=n−10,如r(A)</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> ( k A ) ∗ = k n − 1 A ∗ (kA)^*=k^{n-1}A^* (kA)∗=kn−1A∗</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

公式对比

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>逆矩阵公式</th> 
 <th>转置公式</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td> ( k A ) − 1 = 1 k A − 1 (kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1} (kA)−1=k1A−1</td> 
 <td> ( k A ) T = k A T (kA)^T=kA^T (kA)T=kAT</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> ( A − 1 ) − 1 = A (A^{-1})^{-1}=A (A−1)−1=A</td> 
 <td> ( A T ) T = A (A^T)^T=A (AT)T=A</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> ( A 2 ) − 1 = ( A − 1 ) 2 (A^2)^{-1}=(A^{-1})^2 (A2)−1=(A−1)2</td> 
 <td> ( A 2 ) T = ( A T ) 2 (A^2)^T=(A^T)^2 (A2)T=(AT)2</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} (AB)−1=B−1A−1</td> 
 <td> ( A B ) T = B T A T (AB)^T=B^TA^T (AB)T=BTAT</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> ( A + B ) − 1 没 公 式 (A+B)^{-1}没公式 (A+B)−1没公式</td> 
 <td> ( A + B ) T = A T + B T (A+B)^T=A^T+B^T (A+B)T=AT+BT</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

( A − B ) 2 = E ( A − B ) − 1 = A − B (A-B)^2=E\\\\ (A-B)^\{-1\}=A-B (A−B)2=E(A−B)−1=A−B

### 3)求逆矩阵 ###

*  用公式
    
     A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A^\{-1\}=\\frac\{1\}\{\\mid A\\mid\}A^\* A−1=∣A∣1A∗
 *  初等变换
 *  分块矩阵  
     \[ B O O C \] = \[ B − 1 O O C − 1 \] \\begin\{bmatrix\}B&O\\\\ O&C\\end\{bmatrix\}=\\begin\{bmatrix\}B^\{-1\}&O\\\\ O&C^\{-1\}\\end\{bmatrix\} \[BOOC\]=\[B−1OOC−1\]

\[ O B − 1 C O \] = \[ O C − 1 B − 1 O \] \\begin\{bmatrix\}O&B^\{-1\}\\\\ C&O\\end\{bmatrix\}=\\begin\{bmatrix\}O&C^\{-1\}\\\\ B^\{-1\}&O\\end\{bmatrix\} \[OCB−1O\]=\[OB−1C−1O\]

## 2.3 初等矩阵，初等变换 ##

### 1)初等变换 ###

*  倍乘
    
     \[ 1 0 0 0 k 0 0 0 1 \] \\begin\{bmatrix\}1&0&0\\\\ 0&k&0\\\\ 0&0&1\\end\{bmatrix\} ⎣⎡1000k0001⎦⎤
 *  互换
    
     \[ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 \] \\begin\{bmatrix\}0&1&0\\\\ 1&0&0\\\\ 0&0&1\\end\{bmatrix\} ⎣⎡010100001⎦⎤
 *  倍加
    
     \[ 1 0 0 0 1 0 k 0 1 \] \\begin\{bmatrix\}1&0&0\\\\ 0&1&0\\\\ k&0&1\\end\{bmatrix\} ⎣⎡10k010001⎦⎤

### 2)初等矩阵 ###

单 位 矩 阵 经 过 初 等 变 化 后 就 是 初 等 矩 阵 初 等 矩 阵 P 左 乘 A , 所 得 P A 就 是 A 做 了 一 次 与 P 同 样 的 行 变 换 初 等 矩 阵 均 可 逆 ， 且 其 逆 矩 阵 也 是 初 等 矩 阵 初 等 矩 阵 的 逆 矩 阵 三 种 ， 行 变 换 和 列 变 换 的 就 是 变 成 负 数 交 换 两 行 变 换 的 就 是 自 己 本 身 还 有 就 是 对 角 线 上 的 逆 矩 阵 就 是 倒 数 单位矩阵经过初等变化后就是初等矩阵\\\\ 初等矩阵P左乘A,所得PA就是A做了一次与P 同样的行变换\\\\ 初等矩阵均可逆，且其逆矩阵也是初等矩阵\\\\ 初等矩阵的逆矩阵三种，行变换和列变换的就是变成负数\\\\ 交换两行变换的就是自己本身\\\\ 还有就是对角线上的逆矩阵就是倒数 单位矩阵经过初等变化后就是初等矩阵初等矩阵P左乘A,所得PA就是A做了一次与P同样的行变换初等矩阵均可逆，且其逆矩阵也是初等矩阵初等矩阵的逆矩阵三种，行变换和列变换的就是变成负数交换两行变换的就是自己本身还有就是对角线上的逆矩阵就是倒数

## 2.4 矩阵的秩 ##

### 1)概念 ###

秩 r ( A ) = r ⇔ 矩 阵 A 中 非 零 子 式 的 最 高 阶 数 是 r 秩r(A)=r\\Leftrightarrow 矩阵A中非零子式的最高阶数是r 秩r(A)=r⇔矩阵A中非零子式的最高阶数是r

### 2)性质 ###

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>性质介绍</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td>$如果A~ B,AB相似，则r(A)=r(B),r(A+kE)=r(B+kE) $</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> 设 A − m ∗ n , B − n ∗ s , 如 果 A B = 0 , 1. B 的 列 向 量 是 A x = 0 的 解 ， 2. r ( A ) + r ( B ) ≤ n 设A-m*n,B-n*s,如果AB=0,\\ 1. B的列向量是Ax=0 的解，\\ 2.r(A)+r(B)\leq n 设A−m∗n,B−n∗s,如果AB=0,1.B的列向量是Ax=0的解，2.r(A)+r(B)≤n</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> r ( [ A O O B ] ) = r ( A ) + r ( B ) r(\begin{bmatrix}A&amp;O\\ O&amp;B \end{bmatrix})=r(A)+r(B) r([AOOB])=r(A)+r(B)</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> 如 果 A 可 逆 ， r ( A B ) = r ( B ) , r ( B A ) = r ( B ) 如果A可逆，r(AB)=r(B),r(BA)=r(B) 如果A可逆，r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> r ( A + B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) r ( A B ) ≤ m i n ( r ( A ) , r ( B ) ) 如 果 C 可 逆 ， B = A C , r ( B ) = r ( A C ) = r ( A ) r(A+B)\leq r(A)+r(B)\\ r(AB)\leq min(r(A),r(B))\\ 如果C可逆，B=AC,r(B)=r(AC)=r(A) r(A+B)≤r(A)+r(B)r(AB)≤min(r(A),r(B))如果C可逆，B=AC,r(B)=r(AC)=r(A)</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> 可 逆 矩 阵 的 秩 为 n , ∣ A ∣ ≠ 0 , A x = 0 只 有 零 解 , 0 不 是 A 的 特 征 值 ∣ A ∣ = 0 , A x = 0 有 非 零 解 可逆矩阵的秩为n,\mid A\mid \ne0,Ax=0 只有零解,0不是A 的特征值\\ \mid A\mid =0,Ax=0 有非零解 可逆矩阵的秩为n,∣A∣=0,Ax=0只有零解,0不是A的特征值∣A∣=0,Ax=0有非零解</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> A − m ∗ n , 如 m &lt; n ， A x = 0 ， 必 有 非 0 解 A-m*n ,如m&lt;n，Ax=0，必有非0解 A−m∗n,如m&lt;n，Ax=0，必有非0解</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> 秩 为 1 的 n 阶 方 阵 A = α β T , α , β 为 n 维 列 向 量 。 A k = ( α T β ) k − 1 A 秩为1 的n 阶方阵A=\alpha\beta^T,\alpha,\beta为n 维列向量。A^k=(\alpha^T\beta)^{k-1}A 秩为1的n阶方阵A=αβT,α,β为n维列向量。Ak=(αTβ)k−1A</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> r ( A T A ) = r ( A ) r ( k A ) = r ( A ) r(A^TA)=r(A)\\ r(kA)=r(A) r(ATA)=r(A)r(kA)=r(A)</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> r ( A A T ) ≤ 1 r(AA^T)\le 1 r(AAT)≤1</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

## 2.5 分块矩阵 ##

\[ A O O B \] n = \[ A n O O B n \] \[ A O O B \] − 1 = \[ A − 1 O O B − 1 \] \\begin\{bmatrix\}A&O\\\\ O&B\\end\{bmatrix\}^n=\\begin\{bmatrix\}A^n&O\\\\ O&B^n\\end\{bmatrix\}\\\\ \\begin\{bmatrix\}A&O\\\\ O&B\\end\{bmatrix\}^\{-1\}=\\begin\{bmatrix\}A^\{-1\}&O\\\\ O&B^\{-1\}\\end\{bmatrix\} \[AOOB\]n=\[AnOOBn\]\[AOOB\]−1=\[A−1OOB−1\]

## 2.6 解法 ##

**怎么求行列式等于0，反证法，克莱姆法则，秩，特征值，相反数**

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>问题</th> 
 <th>问题</th> 
 <th>思路</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td> A 2 = A , A ≠ E , 求 证 ∣ A ∣ = 0 A^2=A,A\ne E ,求证\mid A\mid =0 A2=A,A=E,求证∣A∣=0</td> 
 <td> 假 设 ∣ A ∣ ≠ 0 , A ( A − E ) = 0 , 又 因 为 ∣ A ∣ ≠ 0 ⇔ A ≠ 0 所 以 A − E = 0 ， A = E 与 题 意 不 符 ， 所 以 ∣ A ∣ = 0 假设\mid A\mid \ne 0,A(A-E)=0,\\ 又因为\mid A\mid \ne 0 \Leftrightarrow A\ne0\\ 所以A-E=0，A=E与题意不符，\\ 所以\mid A\mid =0 假设∣A∣=0,A(A−E)=0,又因为∣A∣=0⇔A=0所以A−E=0，A=E与题意不符，所以∣A∣=0</td> 
 <td>反证法</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td> A 2 = A ⇒ A ( A − E ) = 0 A − E 的 列 向 量 是 A x = 0 的 解 A x = 0 的 解 A − E ≠ 0 ， 所 以 A x = 0 有 非 0 解 ， ∣ A ∣ = 0 A^2=A \Rightarrow A(A-E)=0\\ A-E的列向量是Ax=0的解Ax=0的解\\ A-E\ne 0，所以Ax=0 有非0解，\mid A\mid=0 A2=A⇒A(A−E)=0A−E的列向量是Ax=0的解Ax=0的解A−E=0，所以Ax=0有非0解，∣A∣=0</td> 
 <td>克莱姆法则</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td> A 2 = A , 即 A ( A − E ) = 0 , 所 以 r ( A ) + r ( A − E ) ≤ n , 因 为 A − E ≠ 0 , r ( A − E ) ≥ 1 , 所 以 r ( A ) &lt; n , 所 以 ∣ A ∣ = 0 A^2=A,即A(A-E)=0,\\所以r(A)+r(A-E)\le n,因为A-E\ne 0,r(A-E)\ge1,所以r(A)&lt;n,所以\mid A\mid =0 A2=A,即A(A−E)=0,所以r(A)+r(A−E)≤n,因为A−E=0,r(A−E)≥1,所以r(A)&lt;n,所以∣A∣=0</td> 
 <td>秩</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

## 2.7 例题 ##

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>题型</th> 
 <th>题目</th> 
 <th>解答</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td> A = [ a i j ] 3 ∗ 3 ， 满 足 A ∗ = A T ， 若 a 11 , a 12 , a 13 为 三 个 相 等 的 正 数 , 则 a 11 为 A=[a_{ij}]_{3*3}，满足A^*=A^T，\\ 若a_{11},a_{12},a_{13}为三个相等的正数,\\ 则a_{11}为 A=[aij]3∗3，满足A∗=AT，若a11,a12,a13为三个相等的正数,则a11为</td> 
 <td> A ∗ = A T ⇔ a i j = A i j ∣ A ∣ = a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 = 3 a 11 2 ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 = ∣ A ∣ 2 ∣ A T ∣ = ∣ A ∣ ∣ A ∣ 2 = ∣ A ∣ , 因 为 ∣ A ∣ = 3 a 11 2 &gt; 0 ∣ A ∣ = 1 , a 11 = 1 3 A^*=A^T\Leftrightarrow a_{ij}=A_{ij}\\ \mid A\mid=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}=3a_{11}^2\\ \mid A^*\mid=\mid A\mid^{n-1}=\mid A\mid ^{2}\\ \mid A^T\mid =\mid A\mid \\ \mid A\mid ^2=\mid A\mid ,因为\mid A\mid =3a_{11}^2&gt;0\\ \mid A\mid =1,a_{11}=\frac{1}{\sqrt{3}} A∗=AT⇔aij=Aij∣A∣=a11A11+a12A12+a13A13=3a112∣A∗∣=∣A∣n−1=∣A∣2∣AT∣=∣A∣∣A∣2=∣A∣,因为∣A∣=3a112&gt;0∣A∣=1,a11=3 1</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td> A = [ 1 0 0 0 − 2 3 0 0 0 − 4 5 0 0 0 − 6 7 ] B = ( E + A ) − 1 ( E − A ) 求 ( E + B ) − 1 A=\begin{bmatrix}1&amp;0&amp;0&amp;0\\ -2&amp;3&amp;0&amp;0\\ 0&amp;-4&amp;5&amp;0\\ 0&amp;0&amp;-6&amp;7\end{bmatrix}\\ B=(E+A)^{-1}(E-A) \\ 求(E+B)^{-1} A=⎣⎢⎢⎡1−20003−40005−60007⎦⎥⎥⎤B=(E+A)−1(E−A)求(E+B)−1</td> 
 <td> ( E + B ) − 1 = ( E + ( E + A ) − 1 ( E − A ) ) − 1 = ( ( E + A ) − 1 ( E + A ) + ( E + A ) − 1 ( E − A ) ) = ( ( E + A ) − 1 ( E + A + E − A ) ) = ( 2 E ( E + A ) − 1 ) − 1 = 1 2 ( E + A ) (E+B)^{-1}=(E+(E+A)^{-1}(E-A))^{-1}\\ =((E+A)^{-1}(E+A)+(E+A)^{-1}(E-A))\\ =((E+A)^{-1}(E+A+E-A)) \\ =(2E(E+A)^{-1})^{-1}=\frac{1}{2}(E+A) (E+B)−1=(E+(E+A)−1(E−A))−1=((E+A)−1(E+A)+(E+A)−1(E−A))=((E+A)−1(E+A+E−A))=(2E(E+A)−1)−1=21(E+A)</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td> A , B 都 是 正 交 矩 阵 ∣ A ∣ + ∣ B ∣ = 0 , 求 ∣ A + B ∣ A,B都是正交矩阵\\ \mid A\mid +\mid B\mid =0,\\ 求\mid A+B\mid A,B都是正交矩阵∣A∣+∣B∣=0,求∣A+B∣</td> 
 <td> ∣ A + B ∣ = ∣ E A + B E ∣ = ∣ B B T A + B A T A ∣ = ∣ B ( B T + A T ) A ∣ = ∣ B ∣ ⋅ ∣ ( B + A ) T ∣ ⋅ ∣ A ∣ = − ∣ A ∣ 2 ∣ B + A ∣ − ∣ A + B ∣ , 所 以 ∣ A + B ∣ = 0 \mid A+B\mid =\mid EA+BE\mid\\ =\mid BB^TA+BA^TA\mid \\ =\mid B(B^T+A^T)A\mid \\ =\mid B\mid \cdot \mid (B+A)^T\mid \cdot \mid A\mid\\ =-\mid A\mid^2\mid B+A\mid\\ -\mid A+B\mid,\\ 所以\mid A+B\mid=0 ∣A+B∣=∣EA+BE∣=∣BBTA+BATA∣=∣B(BT+AT)A∣=∣B∣⋅∣(B+A)T∣⋅∣A∣=−∣A∣2∣B+A∣−∣A+B∣,所以∣A+B∣=0</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td> r ( A ) = 1 表 示 A 矩 阵 可 以 表 示 为 [ a 1 a 2 a 3 ] [ b 1 b 2 b 3 ] , A 2 = [ a 1 a 2 a 3 ] [ b 1 b 2 b 3 ] [ a 1 a 2 a 3 ] [ b 1 b 2 b 3 ] [ b 1 b 2 b 3 ] [ a 1 a 2 a 3 ] = 一 个 数 字 A 2 = C A , 然 后 开 始 递 推 A n = C n − 1 A r(A)=1 表示A矩阵可以表示为\begin{bmatrix}a_1\\ a_2\\ a_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_1&amp;b_2&amp;b_3\end{bmatrix},\\ A^2=\begin{bmatrix}a_1\\ a_2\\ a_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_1&amp;b_2&amp;b_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_1\\ a_2\\ a_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_1&amp;b_2&amp;b_3\end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix}b_1&amp;b_2&amp;b_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_1\\ a_2\\ a_3\end{bmatrix}=一个数字\\ A^2=CA,然后开始递推\\ A^n=C^{n-1}A r(A)=1表示A矩阵可以表示为⎣⎡a1a2a3⎦⎤[b1b2b3],A2=⎣⎡a1a2a3⎦⎤[b1b2b3]⎣⎡a1a2a3⎦⎤[b1b2b3][b1b2b3]⎣⎡a1a2a3⎦⎤=一个数字A2=CA,然后开始递推An=Cn−1A</td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>特殊方阵的幂</td> 
 <td> A = [ 0 a b 0 0 c 0 0 0 ] 型 A 2 = [ 0 0 a c 0 0 0 0 0 0 ] 拓 展 A = [ 1 2 3 0 1 4 0 0 1 ] , 求 A n A=\begin{bmatrix}0&amp;a&amp;b\\ 0&amp;0&amp;c\\ 0&amp;0&amp;0\end{bmatrix}型\\ A^2=\begin{bmatrix}0&amp;0&amp;ac\\ 0&amp;0&amp;0\\ 0&amp;0&amp;0\end{bmatrix}\\ 拓展 \\ A=\begin{bmatrix}1&amp;2&amp;3\\ 0&amp;1&amp;4\\ 0&amp;0&amp;1\end{bmatrix},求A^n A=⎣⎡000a00bc0⎦⎤型A2=⎣⎡000000ac00⎦⎤拓展A=⎣⎡100210341⎦⎤,求An</td> 
 <td> A = [ 1 0 0 0 1 0 0 1 0 ] + [ 0 2 3 0 0 4 0 0 0 ] = E + B A n = ( E + B ) n = E n + n E n − 1 B + C n 2 E n − 1 B 2 + C n 3 E n − 2 B 3 + ⋯ = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] + n [ 0 2 3 0 0 4 0 0 0 ] + n ( n + 1 ) n [ 0 0 24 0 0 0 0 0 0 ] A=\begin{bmatrix}1&amp;0&amp;0\\ 0&amp;1&amp;0\\ 0&amp;1&amp;0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&amp;2&amp;3\\ 0&amp;0&amp;4\\ 0&amp;0&amp;0\end{bmatrix}=E+B\\ A^n=(E+B)^n\\ =E^n+nE^{n-1}B+C_n^2E^{n-1}B^2+C_n^3E_{n-2}B^3+\cdots\\ =\begin{bmatrix}1&amp;0&amp;0\\ 0&amp;1&amp;0\\ 0&amp;0&amp;1\end{bmatrix}+n\begin{bmatrix}0&amp;2&amp;3\\ 0&amp;0&amp;4\\ 0&amp;0&amp;0\end{bmatrix}+\frac{n(n+1)}{n}\begin{bmatrix}0&amp;0&amp;24\\ 0&amp;0&amp;0\\ 0&amp;0&amp;0\end{bmatrix} A=⎣⎡100011000⎦⎤+⎣⎡000200340⎦⎤=E+BAn=(E+B)n=En+nEn−1B+Cn2En−1B2+Cn3En−2B3+⋯=⎣⎡100010001⎦⎤+n⎣⎡000200340⎦⎤+nn(n+1)⎣⎡0000002400⎦⎤</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>相似的题目</td> 
 <td> P − 1 A P = B ( P − 1 A P ) ( P − 1 A P ) = B 2 P − 1 A 2 P = B 2 A n = P B n P − 1 A n = P [ a 1 a 2 a 3 ] n P − 1 = P [ a 1 n a 2 n a 3 ] P − 1 P^{-1}AP=B\\ (P^{-1}AP)(P^{-1}AP)=B^2\\ P^{-1}A^2P=B^2\\ A^n=PB^nP^{-1}\\ A^n=P\begin{bmatrix}a_1&amp;&amp;\\ &amp;a_2&amp;\\ &amp;&amp;a_3\end{bmatrix}^nP^{-1}=P\begin{bmatrix}a_1^n&amp;&amp;\\ &amp;a_2^n&amp;\\ &amp;&amp;a_3\end{bmatrix}P^{-1} P−1AP=B(P−1AP)(P−1AP)=B2P−1A2P=B2An=PBnP−1An=P⎣⎡a1a2a3⎦⎤nP−1=P⎣⎡a1na2na3⎦⎤P−1</td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td> A = [ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ] , B = [ a 11 a 12 a 13 a 21 + 2 a 31 a 22 + 2 a 33 a 23 + 2 a 32 a 31 a 32 a 33 ] 若 A − 1 = [ 1 2 3 0 4 5 0 0 6 ] , 则 B − 1 = A=\begin{bmatrix}a_{11}&amp;a_{12}&amp;a_{13}\\ a_{21}&amp;a_{22}&amp;a_{23}\\ a_{31}&amp;a_{32}&amp;a_{33}\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}a_{11}&amp;a_{12}&amp;a_{13}\\ a_{21}+2a_{31}&amp;a_{22}+2a_{33}&amp;a_{23}+2_{a32}\\ a_{31}&amp;a_{32}&amp;a_{33}\end{bmatrix}\\ 若A^{-1}=\begin{bmatrix}1&amp;2&amp;3\\ 0&amp;4&amp;5\\ 0&amp;0&amp;6\end{bmatrix},则B^{-1}= A=⎣⎡a11a21a31a12a22a32a13a23a33⎦⎤,B=⎣⎡a11a21+2a31a31a12a22+2a33a32a13a23+2a32a33⎦⎤若A−1=⎣⎡100240356⎦⎤,则B−1=</td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

# 3. 向量 #

## 3.1 概念 ##

>  n 个 数 a 1 , a 2 , a 3 , a n 所 构 成 的 一 个 有 序 数 组 称 为 n 维 向 量 ， 记 成 ( a 1 , a 2 , ⋯   , a n ) n个数a\_1,a\_2,a\_3,a\_n所构成的一个有序数组称为n 维向量，记成(a\_1,a\_2,\\cdots ,a\_n) n个数a1,a2,a3,an所构成的一个有序数组称为n维向量，记成(a1,a2,⋯,an)

### 运算 ###

**零向量**，所有的分量都是0

*  加法
 *  数乘
 *  内积
    
     ( α , β ) = a 1 b 1 , a 2 b 2 , + ⋯ + a n b n = a T β = β T α (\\alpha,\\beta)=a\_1b\_1,a2b\_2,+\\cdots+a\_nb\_n=a^T\\beta=\\beta^T\\alpha (α,β)=a1b1,a2b2,\+⋯\+anbn=aTβ=βTα

## 3.2 线性表出，线性相关 ##

### 线性表的概念 ###

>  对 n 维 向 量 α 1 , α 2 , 如 果 存 在 实 数 k 1 , k 2 , k 3 , 使 得 k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k n α n = β , 称 向 量 β 是 向 量 是 组 合 对n维向量\\alpha\_1,\\alpha\_2,如果存在实数k\_1,k\_2,k\_3,使得k\_1\\alpha\_1+k\_2\\alpha\_2+\\cdots+k\_n\\alpha\_n=\\beta,称向量\\beta 是向量是组合 对n维向量α1,α2,如果存在实数k1,k2,k3,使得k1α1\+k2α2\+⋯\+knαn=β,称向量β是向量是组合

### 线性相关 ###

>  对 n 维 向 量 α 1 , α 2 , ⋯   , α s ， 若 果 ∃ 不 全 维 0 的 k 1 , k 2 , k 3 , ⋯   , k n 使 得 k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k s α s = 0 成 立 , 则 称 向 量 组 α 1 , α 2 , α 3 + ⋯ 线 性 相 关 ， 否 则 称 α 1 , α 2 ， 线 性 无 关 对n 维向量\\alpha\_1,\\alpha\_2,\\cdots ,\\alpha\_s，若果\\exists 不全维0 的k\_1,k\_2,k\_3,\\cdots,k\_n\\\\ 使得k\_1\\alpha\_1+k\_2\\alpha\_2+\\cdots+k\_s\\alpha\_s=0 成立,\\\\ 则称向量组\\alpha\_1,\\alpha\_2,\\alpha\_3+\\cdots 线性相关，否则称\\alpha\_1,\\alpha\_2，线性无关 对n维向量α1,α2,⋯,αs，若果∃不全维0的k1,k2,k3,⋯,kn使得k1α1\+k2α2\+⋯\+ksαs=0成立,则称向量组α1,α2,α3\+⋯线性相关，否则称α1,α2，线性无关

**其次方程组线性相关=有非零解=秩<n**

### 性质 ###

如 果 α 1 , α 2 , ⋯   , α r 线 性 相 关 则 α 1 , α 2 , ⋯   , α r , α s 必 相 关 低 维 向 量 无 关 ， 高 维 向 量 必 无 关 如果\\alpha\_1,\\alpha\_2,\\cdots,\\alpha\_r 线性相关\\\\ 则\\alpha\_1,\\alpha\_2,\\cdots,\\alpha\_r,\\alpha\_s 必相关\\\\ 低维向量无关，高维向量必无关 如果α1,α2,⋯,αr线性相关则α1,α2,⋯,αr,αs必相关低维向量无关，高维向量必无关

## 3.3 极大线性无关组，秩 ##

### 概念 ###

>  *   设 向 量 组 α 1 , α 2 , ⋯   , α s 中 ， 有 一 部 分 组 a i 1 , a i 2 , a i r ， 满 足 条 件 a i 1 , a i 2 , a i r 线 性 无 关 , 再 添 加 一 个 向 量 a j ( 1 ≤ j ≤ s ) ， 向 量 组 必 相 关 则 称 向 量 组 是 极 大 线 性 无 关 组 设向量组\\alpha\_1,\\alpha\_2,\\cdots,\\alpha\_s 中，有一部分组a\_\{i1\},a\_\{i2\},a\_\{ir\}，满足条件\\\\ a\_\{i1\},a\_\{i2\},a\_\{ir\}线性无关,\\\\ 再添加一个向量a\_j(1\\le j\\le s)，向量组必相关\\\\ 则称向量组是极大线性无关组 设向量组α1,α2,⋯,αs中，有一部分组ai1,ai2,air，满足条件ai1,ai2,air线性无关,再添加一个向量aj(1≤j≤s)，向量组必相关则称向量组是极大线性无关组
>  *   向 量 组 α 1 , α 2 , ⋯   , α s 的 极 大 线 性 无 关 组 中 所 含 向 量 的 个 数 r 称 为 该 向 量 组 的 秩 ， 记 为 r ( α 1 , α 2 , α s ) = r 向量组\\alpha\_1,\\alpha\_2,\\cdots,\\alpha\_s的极大线性无关组中所含向量的个数r称为该向量组的秩，记为r(\\alpha\_1,\\alpha\_2,\\alpha\_s)=r 向量组α1,α2,⋯,αs的极大线性无关组中所含向量的个数r称为该向量组的秩，记为r(α1,α2,αs)=r

### 秩的定理 ###

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>定理</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td> α 1 , α 2 , α 3 , ⋯ ， α s 可 以 由 β 1 , β 2 , ⋯   , β t 线 性 表 出 。 且 是 s &gt; t ， 则 α 1 , α 2 , α 3 , ⋯ ， α s 必 相 关 如 果 α 1 , α 2 , α 3 , ⋯ ， α s 无 关 ， 且 α 1 , α 2 , α 3 , ⋯ ， α s 可 以 由 β 1 , β 2 , ⋯   , β t 线 性 表 出 可 以 推 出 s ≤ t \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\cdots，\alpha_s 可以由\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t线性表出。且是s&gt;t ，\\ 则\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\cdots，\alpha_s必相关\\ 如果\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\cdots，\alpha_s 无关，且\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\cdots，\alpha_s 可以由\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t线性表出\\ 可以推出 s\le t α1,α2,α3,⋯，αs可以由β1,β2,⋯,βt线性表出。且是s&gt;t，则α1,α2,α3,⋯，αs必相关如果α1,α2,α3,⋯，αs无关，且α1,α2,α3,⋯，αs可以由β1,β2,⋯,βt线性表出可以推出s≤t</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> 如 果 向 量 组 ( 1 ) α 1 , α 2 , α 3 , 可 以 由 ( 2 ) β 1 , β 2 , ⋯   , β s 线 性 表 出 则 r ( 1 ) ≤ r ( 2 ) 如 果 向 量 组 1 , 2 等 价 ， 则 r ( 1 ) = r ( 2 ) 如果向量组(1)\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,可以由(2)\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s线性表出\\ 则r(1)\le r(2)\\ 如果向量组1,2等价，则r(1)=r(2) 如果向量组(1)α1,α2,α3,可以由(2)β1,β2,⋯,βs线性表出则r(1)≤r(2)如果向量组1,2等价，则r(1)=r(2)</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> 如 果 向 量 组 ( 1 ) α i 1 , α i 2 , ⋯   , α i s , ( 2 ) β j 1 , β j 2 , ⋯   , β j 2 ， 都 是 α 1 , α 2 , α 3 , ⋯ ， α s 的 极 大 线 性 无 关 组 则 r = t 如果向量组(1)\alpha_{i1},\alpha_{i2},\cdots,\alpha_{is},(2)\beta_{j1},\beta_{j2},\cdots,\beta_{j2}，\\都是\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\cdots，\alpha_s的极大线性无关组\\ 则r=t 如果向量组(1)αi1,αi2,⋯,αis,(2)βj1,βj2,⋯,βj2，都是α1,α2,α3,⋯，αs的极大线性无关组则r=t</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> 经 过 初 等 变 换 向 量 组 的 秩 不 变 经过初等变换向量组的秩不变 经过初等变换向量组的秩不变</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

## 3.4 schmidt正交化，正交矩阵 ##

设 向 量 组 α 1 , α 2 , α 3 线 性 无 关 。 令 β 1 = α 1 , β 2 = α 2 − ( α 2 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 β 3 = α 3 − ( α 3 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 − ( α 3 , β 2 ) ( β 2 , β 2 ) β 2 然 后 在 单 位 化 设向量组\\alpha\_1,\\alpha\_2,\\alpha\_3线性无关。\\\\ 令\\beta\_1=\\alpha\_1,\\\\ \\beta\_2=\\alpha\_2-\\frac\{(\\alpha\_2,\\beta\_1)\}\{(\\beta\_1,\\beta\_1)\}\\beta\_1\\\\ \\beta\_3=\\alpha\_3-\\frac\{(\\alpha\_3,\\beta\_1)\}\{(\\beta\_1,\\beta\_1)\}\\beta\_1-\\frac\{(\\alpha\_3,\\beta\_2)\}\{(\\beta\_2,\\beta\_2)\}\\beta\_2\\\\ 然后在单位化 设向量组α1,α2,α3线性无关。令β1=α1,β2=α2−(β1,β1)(α2,β1)β1β3=α3−(β1,β1)(α3,β1)β1−(β2,β2)(α3,β2)β2然后在单位化

## 3.5 向量空间 ##

> 全体n 维向量连同向量的加法和数乘运算合成为n 维向量空间

### 过渡矩阵 ###

1. α 1 , α 2 , ⋯   , α n , 2. β 1 , β 2 , ⋯   , β n \[ β 1 , β 2 , ⋯   , β n \] = \[ α 1 , α 2 , ⋯   , α n \] C C 为 基 α 到 β 的 过 渡 矩 阵 1.\\alpha\_1,\\alpha\_2,\\cdots,\\alpha\_n,\\\\ 2.\\beta\_1,\\beta\_2,\\cdots,\\beta\_n\\\\ \[\\beta\_1,\\beta\_2,\\cdots,\\beta\_n\]=\[\\alpha\_1,\\alpha\_2,\\cdots,\\alpha\_n\]C\\\\ C 为基\\alpha到\\beta 的过渡矩阵 1.α1,α2,⋯,αn,2.β1,β2,⋯,βn\[β1,β2,⋯,βn\]=\[α1,α2,⋯,αn\]CC为基α到β的过渡矩阵

## 3.6 例题 ##

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>t考点</th> 
 <th>问题</th> 
 <th>解答</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td> 重 组 的 例 题 设 λ 1 , λ 2 是 矩 阵 A 不 同 的 特 征 值 α 1 , α 2 是 λ 1 线 性 无 关 的 特 征 向 量 ， α 是 λ 2 的 特 征 向 量 ， 证 明 α 1 , α 2 , α 线 性 无 关 重组的例题\\ 设\lambda_1,\lambda_2 是矩阵A不同的特征值\\ \alpha_1,\alpha_2是\lambda_1线性无关的特征向量，\\ \alpha 是\lambda_2的特征向量，证明\alpha_1,\alpha_2,\alpha线性无关 重组的例题设λ1,λ2是矩阵A不同的特征值α1,α2是λ1线性无关的特征向量，α是λ2的特征向量，证明α1,α2,α线性无关</td> 
 <td> A α 1 = λ 1 α 1 , A α 2 = λ 1 α 2 , A α = λ 2 α k 1 α 1 + k 2 α 2 + k α = 0 用 A 左 乘 A k 1 α 1 + A k 2 α 2 + A k α = 0 k 1 λ 1 α 1 + k 2 λ 1 α 2 + k λ 2 α = 0 用 λ 1 乘 λ 1 k 1 α 1 + λ 1 k 2 α 2 + λ 1 k α = 0 然 后 两 个 式 子 相 减 A\alpha_1=\lambda_1\alpha_1,A\alpha_2=\lambda_1\alpha_2,\\ A\alpha=\lambda_2\alpha\\ k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k\alpha=0\\ 用A左乘 \\ Ak_1\alpha_1+Ak_2\alpha_2+Ak\alpha=0\\ k_1\lambda_1\alpha_1+k_2\lambda_1\alpha_2+k\lambda_2\alpha=0\\ 用\lambda_1 乘\\ \lambda_1k_1\alpha_1+\lambda_1k_2\alpha_2+\lambda_1k\alpha=0\\ 然后两个式子相减 Aα1=λ1α1,Aα2=λ1α2,Aα=λ2αk1α1+k2α2+kα=0用A左乘Ak1α1+Ak2α2+Akα=0k1λ1α1+k2λ1α2+kλ2α=0用λ1乘λ1k1α1+λ1k2α2+λ1kα=0然后两个式子相减</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td> A − 3 阶 ， α 1 , α 2 是 A 分 别 特 征 值 − 1 和 1 的 特 征 向 量 ， 且 A α 3 = α 2 + α 3 证 明 α 1 , α 2 , α 3 线 性 无 关 求 A 的 相 似 矩 阵 A-3阶，\alpha_1,\alpha_2是A分别特征值-1和1 的特征向量，\\ 且A\alpha_3=\alpha_2+\alpha_3\\ 证明\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 线性无关\\ 求A 的相似矩阵 A−3阶，α1,α2是A分别特征值−1和1的特征向量，且Aα3=α2+α3证明α1,α2,α3线性无关求A的相似矩阵</td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

## 3.7 解法总结 ##

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>证明问题</th> 
 <th>方法</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td> 证 明 向 量 线 性 无 关 α 1 , α 2 , α 3 线 性 无 关 证 明 2 α 1 + 3 α 2 , α 2 − α 3 , α 1 − α 2 + α 3 证明向量线性无关\\ \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性无关\\ 证明 2\alpha_1+3\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3,\alpha_1-\alpha_2+\alpha_3 证明向量线性无关α1,α2,α3线性无关证明2α1+3α2,α2−α3,α1−α2+α3</td> 
 <td> 方 法 一 ： 第 一 步 设 k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k s α s = 0 方 法 有 两 个 1. 乘 2. 重 组 方 法 二 ： 用 线 性 表 出 来 做 方 法 三 ： 用 秩 来 做 \\ 方法一：\\ 第一步设k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\\ 方法有两个\\ 1.乘\\ 2.重组\\ 方法二：用线性表出来做\\ 方法三：用秩来做 方法一：第一步设k1α1+k2α2+⋯+ksαs=0方法有两个1.乘2.重组方法二：用线性表出来做方法三：用秩来做</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> 证 明 线 性 表 出 证明线性表出 证明线性表出</td> 
 <td> 用 秩 做 证 明 k ≠ 0 用秩做\\ 证明k\ne 0 用秩做证明k=0</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

# 4. 方程组 #

## 4.1 齐次线性方程组 ##

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>性质</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td> A x = 0 有 非 零 解 ⇔ 秩 r ( A ) &lt; n ⇔ A 的 列 向 量 线 性 相 关 Ax=0有非零解\Leftrightarrow 秩r(A)&lt;n \Leftrightarrow A的列向量线性相关 Ax=0有非零解⇔秩r(A)&lt;n⇔A的列向量线性相关</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> λ 1 , λ 2 , ⋯   , λ t 是 A x = 0 的 解 ， 则 k 1 λ 1 + k 2 λ 2 + ⋯ + k t λ t 是 A x = 0 的 解 \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_t是Ax=0 的解，则k_1\lambda_1+k_2\lambda_2+\cdots+k_t\lambda_t是Ax=0的解 λ1,λ2,⋯,λt是Ax=0的解，则k1λ1+k2λ2+⋯+ktλt是Ax=0的解</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> 若 A x = 0 有 非 0 解 ， 则 线 性 无 关 ， 解 向 量 的 个 数 为 n − r ( A ) 若Ax=0 有非0解，则线性无关，解向量的个数为n-r(A) 若Ax=0有非0解，则线性无关，解向量的个数为n−r(A)</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> t = n − r ( A ) 表 示 线 性 无 关 解 向 量 的 个 数 未 知 数 中 自 由 变 量 的 个 数 t=n-r(A)\\ 表示线性无关解向量的个数\\ 未知数中自由变量的个数 t=n−r(A)表示线性无关解向量的个数未知数中自由变量的个数</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

## 4.2 非齐次方程组 ##

参数的处理，讨论

解的结构 
 A X = B 有 解 ⇔ r ( A ) = r ( A ‾ ) 有 唯 一 解 r ( A ) = r ( A ‾ ) = n ∞ 解 : r ( A ) = r ( A ‾ ) < n A X = b 无 解 r ⇔ r ( A ) + 1 = r ( A ‾ ) AX=B有解\\Leftrightarrow r(A)=r(\\overline\{A\})\\\\ 有唯一解r(A)=r(\\overline A)=n\\\\ \\infty解:r(A)=r(\\overline A)<n\\\\ AX=b 无解r\\Leftrightarrow r(A)+1=r(\\overline A) AX=B有解⇔r(A)=r(A)有唯一解r(A)=r(A)=n∞解:r(A)=r(A)<nAX=b无解r⇔r(A)\+1=r(A)

### 解的性质 ###

设 η 1 , η 2 是 A x = b 的 两 个 解 ， ξ 是 对 应 齐 次 方 程 组 的 A x = 0 的 解 ， A ( η 1 − η 2 ) = 0 , A ( η 1 + k ξ ) = b 设\\eta\_1,\\eta\_2是Ax=b 的两个解，\\xi是对应齐次方程组的Ax=0 的解，\\\\ A(\\eta\_1-\\eta\_2)=0,A(\\eta\_1+k\\xi)=b 设η1,η2是Ax=b的两个解，ξ是对应齐次方程组的Ax=0的解，A(η1−η2)=0,A(η1\+kξ)=b

### 解的结构 ###

设 A m ∗ n x = b 特 解 ， 对 应 的 齐 次 方 程 组 A x = 0 , 有 基 础 解 析 ， ξ 1 , ξ 2 , ⋯   , ξ n − r ， 则 解 为 k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + ⋯ + k n − r ξ n − r + η 设A\_\{m\*n\}x=b特解，对应的齐次方程组Ax=0,有基础解析，\\xi\_1,\\xi\_2,\\cdots,\\xi\_\{n-r\}，\\\\ 则解为k\_1\\xi\_1+k\_2\\xi\_\{2\}+\\cdots+k\_\{n-r\}\\xi\_\{n-r\}+\\eta 设Am∗nx=b特解，对应的齐次方程组Ax=0,有基础解析，ξ1,ξ2,⋯,ξn−r，则解为k1ξ1\+k2ξ2\+⋯\+kn−rξn−r\+η

## 4.3 公共解，同解 ##

### 概念 ###

> 公共解: 方 程 组 A m ∗ n x = 0 和 B m ∗ n x = 0 的 公 共 解 是 满 足 方 程 组 \[ A B \] x = 0 的 解 方程组A\_\{m\*n\}x=0和B\_\{m\*n\}x=0 的公共解是满足方程组\\begin\{bmatrix\}A\\\\ B \\end\{bmatrix\}x=0的解 方程组Am∗nx=0和Bm∗nx=0的公共解是满足方程组\[AB\]x=0的解
> 
> 同解: 若 α 是 1 的 解 ， 则 α 一 定 是 2 的 解 ， 反 之 ， 若 α 是 2 的 解 ， 则 α 必 定 是 1 的 解 ， 就 称 1 和 2 同 解 若\\alpha 是1的解，则\\alpha 一定是2 的解，反之，若\\alpha 是2 的解，则\\alpha 必定是1 的解，就称1和2 同解 若α是1的解，则α一定是2的解，反之，若α是2的解，则α必定是1的解，就称1和2同解

### 性质 ###

## 4.4 解法 ##

## 4.5 例题 ##

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>考点</th> 
 <th>题目</th> 
 <th>解答</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td>公共解的问题</td> 
 <td> 有 基 础 解 系 为 1. α 1 = ( 1 , 0 , 2 , 3 ) T , α 2 = ( 0 , 1 , 3 , 5 ) T 2. β 1 = ( 2 , − 1 , a + 2 , 1 ) , β 2 = ( − 1 , 2 , 4 , a + 8 ) T 求 1 ， 2 的 非 0 公 共 解 有基础解系为\\ 1.\alpha_1=(1,0,2,3)^T,\alpha_2=(0,1,3,5)^T\\ 2.\beta_1=(2,-1,a+2,1),\beta_2=(-1,2,4,a+8)^T\\ 求1，2的非0 公共解 有基础解系为1.α1=(1,0,2,3)T,α2=(0,1,3,5)T2.β1=(2,−1,a+2,1),β2=(−1,2,4,a+8)T求1，2的非0公共解</td> 
 <td> 设 非 0 解 公 共 解 为 r , 则 r = x 1 α 1 + x 2 α 2 = − y 1 β 1 − y 2 β 2 既 有 x 1 α 1 + x 2 α 2 + y 1 β 1 + y 2 β 2 = 0 A = ( α 1 , α 2 , β 1 , β 2 ) 对 于 A x = 0 的 系 数 矩 阵 A 为 初 等 行 变 换 A = [ 1 0 2 − 1 0 1 − 1 2 2 3 a + 2 4 3 5 1 a + 8 ] ⇒ [ 1 0 2 − 1 0 1 − 1 2 0 0 a + 1 0 0 0 0 a + 1 ] r ≠ 0 ⇔ x i , y i 不 全 为 0 r ( A ) &lt; 4 a = − 1 设非0解公共解为r,则r=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2=-y_1\beta_1-y_2\beta_2\\ 既有x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+y_1\beta_1+y_2\beta_2=0\\ A=(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2)\\ 对于Ax=0的系数矩阵A为初等行变换\\ A=\begin{bmatrix}1&amp;0&amp;2&amp;-1\\ 0&amp;1&amp;-1&amp;2\\ 2&amp;3&amp;a+2&amp;4\\ 3&amp;5&amp;1&amp;a+8\end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix}1&amp;0&amp;2&amp;-1\\ 0&amp;1&amp;-1&amp;2\\ 0&amp;0&amp;a+1&amp;0\\ 0&amp;0&amp;0&amp;a+1\end{bmatrix}\\ r\ne 0\Leftrightarrow x_i,y_i不全为0\\ r(A)&lt;4\\ a=-1 设非0解公共解为r,则r=x1α1+x2α2=−y1β1−y2β2既有x1α1+x2α2+y1β1+y2β2=0A=(α1,α2,β1,β2)对于Ax=0的系数矩阵A为初等行变换A=⎣⎢⎢⎡102301352−1a+21−124a+8⎦⎥⎥⎤⇒⎣⎢⎢⎡100001002−1a+10−120a+1⎦⎥⎥⎤r=0⇔xi,yi不全为0r(A)&lt;4a=−1</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td> [ 1 2 0 1 − 1 1 ] X = [ 2 6 3 4 ] \begin{bmatrix}1&amp;2&amp;0\\ 1&amp;-1&amp;1\end{bmatrix}X=\begin{bmatrix}2&amp;6\\ 3&amp;4\end{bmatrix} [112−101]X=[2364]</td> 
 <td> x − 3 ∗ 2 的 矩 阵 ， 答 案 [ 2 − 2 k 1 6 − 2 k 2 k 1 k 2 1 + 3 k 1 − 2 + 3 k 2 ] x-3*2的矩阵，答案\begin{bmatrix}2-2k_1&amp;6-2k_2\\ k_1&amp;k_2\\ 1+3k_1&amp;-2+3k_2\end{bmatrix} x−3∗2的矩阵，答案⎣⎡2−2k1k11+3k16−2k2k2−2+3k2⎦⎤</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

# 5. 特征值，特征向量，相似矩阵 #

## 5.1 特征值，特征值向量 ##

### 概念 ###

>  A 是 n 阶 方 阵 ， 如 果 对 于 数 λ , 存 在 非 零 向 量 α ， 使 得 A α = λ α 成 立 ， 则 称 λ 是 A 的 特 征 值 , α 是 A 的 对 应 于 λ 的 特 征 向 量 A是n阶方阵，如果对于数\\lambda ,存在非零向量\\alpha，使得A\\alpha=\\lambda\\alpha \\\\ 成立，则称\\lambda 是A的特征值,\\alpha 是A 的对应于\\lambda 的特征向量 A是n阶方阵，如果对于数λ,存在非零向量α，使得Aα=λα成立，则称λ是A的特征值,α是A的对应于λ的特征向量

### 性质 ###

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>矩阵的特征值，特征向量的性质</th> 
 <th>证明</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td> A α = λ α , α ≠ 0 α 是 ( λ E − A ) x = 0 的 非 零 解 A\alpha=\lambda\alpha,\alpha\ne 0\\ \alpha 是(\lambda E-A)x =0的非零解 Aα=λα,α=0α是(λE−A)x=0的非零解</td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> ∣ λ E − A ∣ = 0 \mid \lambda E-A\mid=0 ∣λE−A∣=0</td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P−1AP=B</td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> ∏ i = 1 n λ i = ∣ A ∣ \prod_{i=1}^n \lambda_i=\mid A\mid ∏i=1nλi=∣A∣</td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> 如 果 是 n 阶 矩 阵 ， r ( A ) = 1 ∣ λ E − A ∣ = λ n − ∑ a i i λ n − 1 如果是n 阶矩阵，r(A)=1\\ \mid \lambda E-A\mid =\lambda^n-\sum a_{ii}\lambda^{n-1} 如果是n阶矩阵，r(A)=1∣λE−A∣=λn−∑aiiλn−1</td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> 不 同 特 征 值 的 特 征 向 量 线 性 无 关 k 重 特 征 值 至 多 有 k 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 不同特征值的特征向量线性无关\\ k重特征值至多有k个线性无关的特征向量 不同特征值的特征向量线性无关k重特征值至多有k个线性无关的特征向量</td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> 如 果 P − 1 A P = B 若 A α = λ α , 则 B ( P − 1 α ) = λ ( P − 1 α ) 若 B α = λ α , 则 A ( P α ) = λ ( P α ) 如果P^{-1}AP=B\\ 若A\alpha=\lambda\alpha,则B(P^{-1}\alpha)=\lambda(P^{-1}\alpha)\\ 若B\alpha=\lambda\alpha,则A(P\alpha)=\lambda(P\alpha) 如果P−1AP=B若Aα=λα,则B(P−1α)=λ(P−1α)若Bα=λα,则A(Pα)=λ(Pα)</td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> 特 征 值 相 等 是 矩 阵 相 似 的 必 要 条 件 。 特 征 值 相 等 不 一 定 相 似 除 非 这 些 特 征 值 都 不 同 。 比 如 1 , 2 如 果 有 特 征 值 重 根 的 时 候 ， 就 需 要 验 证 了 特征值相等是矩阵相似的必要条件。特征值相等不一定相似\\ 除非这些特征值都不同。比如1,2\\ 如果有特征值重根的时候，就需要验证了 特征值相等是矩阵相似的必要条件。特征值相等不一定相似除非这些特征值都不同。比如1,2如果有特征值重根的时候，就需要验证了</td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

特征值的算法

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th> A ( 矩 阵 ) A(矩阵) A(矩阵)</th> 
 <th> λ \lambda λ 特征值</th> 
 <th> α 特 征 向 量 \alpha 特征向量 α特征向量</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td> A + k E A+kE A+kE</td> 
 <td> λ + k \lambda+k λ+k</td> 
 <td> α \alpha α</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> A − 1 A^{-1} A−1</td> 
 <td> 1 λ \frac{1}{\lambda} λ1</td> 
 <td> α \alpha α</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> A ∗ A^* A∗</td> 
 <td> 1 λ ∣ A ∣ \frac{1}{\lambda}\mid A\mid λ1∣A∣</td> 
 <td> λ \lambda λ</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> A n A^n An</td> 
 <td> λ n \lambda^n λn</td> 
 <td> α \alpha α</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> P − 1 A P P^{-1}AP P−1AP</td> 
 <td> λ \lambda λ</td> 
 <td> P − 1 α P^{-1}\alpha P−1α</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

## 5.2 相似矩阵，矩阵的相似对角化 ##

### 概念 ###

>  设 A , B 都 是 n 阶 矩 阵 ， 若 存 在 可 逆 矩 阵 P , 使 得 P − 1 A P = B , 则 称 A 相 似 B ， 记 为 A ∼ B 若 A ∼ Λ , 其 中 Λ 是 对 角 阵 ， 称 A 可 相 似 对 角 化 ， Λ 是 A 的 相 似 标 准 型 设A,B 都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P,使得P^\{-1\}AP=B,则称A相似B，记为A\\sim B \\\\ 若A\\sim \\Lambda,其中\\Lambda 是对角阵，称A 可相似对角化，\\Lambda 是A 的相似标准型 设A,B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P,使得P−1AP=B,则称A相似B，记为A∼B若A∼Λ,其中Λ是对角阵，称A可相似对角化，Λ是A的相似标准型

### 性质 ###

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>两个矩阵相似推出的结论</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td> ∣ λ E − A ∣ = ∣ λ E − B ∣ \mid \lambda E-A\mid=\mid \lambda E-B\mid ∣λE−A∣=∣λE−B∣</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> r ( A ) = r ( B ) r(A)=r(B) r(A)=r(B)</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> A , B 有 着 相 同 的 特 征 值 A,B 有着相同的特征值 A,B有着相同的特征值</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> ∣ A ∣ = ∣ B ∣ = ∏ i = 1 n λ i \mid A\mid=\mid B\mid =\prod_{i=1}^n\lambda_i ∣A∣=∣B∣=∏i=1nλi</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> ∑ a i i = ∑ b i i \sum a_{ii}=\sum b_{ii} ∑aii=∑bii</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> A ∼ B A + k E ∼ B + k E λ A + k E = λ B + k E A \sim B\\A+kE\sim B+kE\\ \lambda_{A+kE}=\lambda_{B+kE} A∼BA+kE∼B+kEλA+kE=λB+kE</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> 传 递 性 : A ∼ B , B ∼ C , ⇔ A ∼ C 传递性:A\sim B,B\sim C,\Leftrightarrow A\sim C 传递性:A∼B,B∼C,⇔A∼C</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> A ∼ B , A n ∼ B n A\sim B,A^n\sim B^n A∼B,An∼Bn</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>$A\sim \Lambda \Leftrightarrow A有n个特征向量 $</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

## 5.3 实对称矩阵的相似对角化 ##

### 概念 ###

>  实 对 称 矩 阵 : 元 素 a i j 都 是 实 数 的 对 称 矩 阵 ， a i j 是 实 数 ， A T = A 实对称矩阵:元素a\_\{ij\}都是实数的对称矩阵，a\_\{ij\}是实数，A^T=A 实对称矩阵:元素aij都是实数的对称矩阵，aij是实数，AT=A

### 性质 ###

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th></th> 
 <th></th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td>实对称矩阵必与对角矩阵相似</td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交</td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> 实 对 称 矩 阵 必 相 似 于 对 角 阵 ， 即 存 在 逆 矩 阵 P , 使 得 P − 1 A P = Λ , 且 存 在 正 交 阵 Q , Q − 1 A Q = Q T A Q = Λ 实对称矩阵必相似于对角阵，即存在逆矩阵P,使得P^{-1}AP=\Lambda,\\ 且存在正交阵Q,Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\Lambda 实对称矩阵必相似于对角阵，即存在逆矩阵P,使得P−1AP=Λ,且存在正交阵Q,Q−1AQ=QTAQ=Λ</td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>实对称矩阵特征值必是实数</td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

## 5.4 例题 ##

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th></th> 
 <th></th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td> A − 2 阶 ， α 1 , α 2 − 2 维 无 关 ， 且 A α 1 = α 2 , A α 2 = − 2 α 1 + 3 α 2 求 A 的 特 征 值 求 可 逆 矩 阵 P 使 得 P − 1 A P = Λ A-2阶，\alpha_1,\alpha_2-2 维无关，且A\alpha_1=\alpha_2,A\alpha_2=-2\alpha_1+3\alpha_2\\ 求A的特征值\\ 求可逆矩阵P 使得P^{-1}AP=\Lambda A−2阶，α1,α2−2维无关，且Aα1=α2,Aα2=−2α1+3α2求A的特征值求可逆矩阵P使得P−1AP=Λ</td> 
 <td> A ( α 1 , α 2 ) = ( α 2 , − 2 α 1 + 3 α 2 ) A ( α 1 , α 2 ) = ( α 1 , α 2 ) [ 0 − 2 1 3 ] A(\alpha_1,\alpha_2)=(\alpha_2,-2\alpha_1+3\alpha_2)\\ A(\alpha_1,\alpha_2)=(\alpha_1,\alpha_2)\begin{bmatrix}0&amp;-2\\ 1&amp;3\end{bmatrix} A(α1,α2)=(α2,−2α1+3α2)A(α1,α2)=(α1,α2)[01−23]</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> A − 3 阶 实 对 称 ， r ( A ) = 2 , 若 A 2 = A , 则 A 的 特 征 值 A-3阶实对称，r(A)=2,若A^2=A,则A的特征值 A−3阶实对称，r(A)=2,若A2=A,则A的特征值</td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> A − 3 阶 实 对 称 ， 各 行 元 素 之 和 全 为 3 , α 1 = ( − 1 , 2 , − 1 ) T , α 2 = ( 0 , − 1 , 1 ) T 是 A x = 0 的 解 ， 求 A 的 特 征 值 ， 特 征 向 量 求 正 交 矩 阵 Q 使 Q T A Q = Λ 求 A 及 ( A − 3 2 E ) 6 A-3阶实对称，各行元素之和全为3,\alpha_1=(-1,2,-1)^T,\\ \alpha_2=(0,-1,1)^T是Ax=0 的解，\\ 求A的特征值，特征向量\\ 求正交矩阵Q使Q^TAQ=\Lambda\\ 求A及(A-\frac{3}{2}E)^6 A−3阶实对称，各行元素之和全为3,α1=(−1,2,−1)T,α2=(0,−1,1)T是Ax=0的解，求A的特征值，特征向量求正交矩阵Q使QTAQ=Λ求A及(A−23E)6</td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

## 5.5 解法总结 ##

# 6. 二次型 #

## 6.1 二次型概念 ##

### 概念 ###

>  f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = a 11 x 1 2 + 2 a 12 x 1 x 2 + 2 a 1 n x 1 x n + a m n x n 2 称 为 n 个 变 量 的 二 次 型 ， 系 数 均 为 实 数 是 ， 称 为 n 元 二 次 型 f(x\_1,x\_2,\\cdots,x\_n)=a\_\{11\}x\_1^2+2a\_\{12\}x\_1x\_2+2a\_\{1n\}x\_1x\_n+a\_\{mn\}x\_n^2\\\\ 称为n个变量的二次型，系数均为实数是，称为n元二次型 f(x1,x2,⋯,xn)=a11x12\+2a12x1x2\+2a1nx1xn\+amnxn2称为n个变量的二次型，系数均为实数是，称为n元二次型

### 二次型表示 ###

f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 2 + 5 x 2 2 + 5 x 3 2 + 2 x 1 x 2 − 4 x 1 x 3 = ( x 1 , x 2 , x 3 ) \[ 1 1 − 2 1 5 0 − 2 0 5 \] \[ x 1 x 2 x 3 \] = x T A x 平 方 项 系 数 写 在 主 对 角 线 上 f(x\_1,x\_2,x\_3)=x\_1^2+5x\_2^2+5x\_3^2+2x\_1x\_2-4x\_1x\_3\\\\ =(x\_1,x\_2,x\_3)\\begin\{bmatrix\}1&1&-2\\\\ 1&5&0\\\\ -2&0&5\\end\{bmatrix\}\\begin\{bmatrix\}x\_1\\\\ x\_2\\\\ x\_3\\end\{bmatrix\}\\\\ =x^TAx\\\\ 平方项系数写在主对角线上 f(x1,x2,x3)=x12\+5x22\+5x32\+2x1x2−4x1x3=(x1,x2,x3)⎣⎡11−2150−205⎦⎤⎣⎡x1x2x3⎦⎤=xTAx平方项系数写在主对角线上

## 6.2 标准型，规范性 ##

### 1)概念 ###

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th></th> 
 <th></th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td>标准型</td> 
 <td> 二 次 型 f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) 只 有 平 方 项 ， 没 有 混 合 项 ( 即 混 合 项 的 系 数 全 部 为 零 ) x 1 2 + 5 x 2 2 − 2 x 3 2 = x T [ 1 5 − 2 ] x 二次型f(x_1,x_2,\cdots,x_n)只有平方项，没有混合项(即混合项的系数全部为零)\\ x_1^2+5x_2^2-2x_3^2=x^T\begin{bmatrix}1&amp;&amp;\\ &amp;5&amp;\\ &amp;&amp;-2\end{bmatrix}x 二次型f(x1,x2,⋯,xn)只有平方项，没有混合项(即混合项的系数全部为零)x12+5x22−2x32=xT⎣⎡15−2⎦⎤x</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>规范性</td> 
 <td> 平 方 项 的 系 数 只 能 是 1 ， − 1 , 0 比 如 x 1 2 + x 2 2 平方项的系数只能是1，-1,0\\ 比如x_1^2+x_2^2 平方项的系数只能是1，−1,0比如x12+x22</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>正惯性指数</td> 
 <td> 是 对 于 标 准 型 来 讲 的 ， 正 平 方 项 的 系 数 p 称 为 正 惯 性 指 数 ， 负 平 方 项 系 数 q 称 为 负 惯 性 指 数 ， p + q = r 是 二 次 型 对 应 矩 阵 的 秩 ， p − q 称 为 符 号 差 x 1 2 + 4 x 2 2 + 9 x 3 2 对 应 的 p = 3 , q = 0 x 1 2 − x 2 2 − x 3 2 对 应 的 p = 1 , q = 2 是对于标准型来讲的，正平方项的系数p称为正惯性指数，负平方项系数q称为负惯性指数，p+q=r是二次型对应矩阵的秩，p-q称为符号差\\ x_1^2+4x_2^2+9x_3^2对应的p=3,q=0\\ x_1^2-x_2^2-x_3^2对应的p=1,q=2 是对于标准型来讲的，正平方项的系数p称为正惯性指数，负平方项系数q称为负惯性指数，p+q=r是二次型对应矩阵的秩，p−q称为符号差x12+4x22+9x32对应的p=3,q=0x12−x22−x32对应的p=1,q=2</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>合同</td> 
 <td> 设 两 个 A B 是 两 个 n 阶 方 程 ， 若 存 在 可 逆 阵 C ， 使 得 C T A C = B , 则 称 A 合 同 于 B , 继 承 A ≃ B 设两个AB是两个n阶方程，若存在可逆阵C，使得C^TAC=B,\\ 则称A合同于B,继承A\simeq B 设两个AB是两个n阶方程，若存在可逆阵C，使得CTAC=B,则称A合同于B,继承A≃B</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

### 2)性质 ###

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th></th> 
 <th></th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td> 坐 标 变 换 任 意 一 个 二 次 型 x T A x , 都 可 以 通 过 配 方 法 可 逆 线 性 变 换 x = C y ， 其 中 C 是 可 逆 阵 ， 化 为 标 准 型 对 于 任 意 一 个 n 阶 实 对 称 矩 阵 A , 一 定 存 在 可 逆 阵 C , 使 得 C T A C = A ， 即 实 对 称 矩 阵 一 定 合 同 于 对 角 阵 坐标变换\\ 任意一个二次型x^TAx,都可以通过配方法可逆线性变换x=Cy，其中C是可逆阵，化为标准型\\ 对于任意一个n 阶实对称矩阵A,一定存在可逆阵C,使得C^TAC=A，\\ 即实对称矩阵一定合同于对角阵 坐标变换任意一个二次型xTAx,都可以通过配方法可逆线性变换x=Cy，其中C是可逆阵，化为标准型对于任意一个n阶实对称矩阵A,一定存在可逆阵C,使得CTAC=A，即实对称矩阵一定合同于对角阵</td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> 反 身 性 A ≃ B 反身性A\simeq B 反身性A≃B</td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> 对 称 性 ： A ≃ B , 则 B ≃ A 对称性：A\simeq B,则B\simeq A 对称性：A≃B,则B≃A</td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> 传 递 性 : A ≃ B , B ≃ C ⇔ A ≃ C 传递性: A\simeq B,B\simeq C\Leftrightarrow A\simeq C 传递性:A≃B,B≃C⇔A≃C</td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> 合 同 具 有 相 同 的 秩 合同具有相同的秩 合同具有相同的秩</td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> 任 一 个 二 次 型 X T A X 都 ∃ 坐 标 变 换 X = c y 化 为 标 准 型 y T Λ y = d 1 y 1 2 + d 2 y 2 2 + d 3 y 3 2 任一个二次型X^TAX都\exists 坐标变换X=cy 化为标准型\\ y^T\Lambda y=d_1y_1^2+d_2y_2^2+d_3y_3^2 任一个二次型XTAX都∃坐标变换X=cy化为标准型yTΛy=d1y12+d2y22+d3y32</td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

### 3)变换方法 ###

#### 配方法 ####

f = x 1 2 + 3 x 2 2 + 3 x 3 2 + 2 x 1 x 2 − 4 x 1 x 3 f = \[ x 1 2 + 2 x 1 ( x 2 − 2 x 3 ) + ( x 2 − 2 x 3 ) 2 \] + 3 x 2 2 + 3 x 3 2 − ( x 2 − 2 x 3 ) 2 f = ( x 1 + x 2 − 2 x 3 ) 2 + 2 x 2 − x 3 2 + 4 x 2 x 3 f = ( x 1 + x 2 − 2 x 1 ) 2 + 2 ( x 2 + x 3 ) 2 − 3 x 3 2 \{ y 1 = x 1 + x 2 − 2 x 3 y 2 = x 2 + x 3 y 3 = x 3 ⇔ \{ x 1 = y 1 − y 2 + 3 y 3 x 2 = y 2 − y 3 x 3 = y 3 f = y 1 2 + 2 y 2 2 − 3 y 3 2 f=x\_1^2+3x\_2^2+3x\_3^2+2x\_1x\_2-4x\_1x\_3\\\\ f=\[x\_1^2+2x\_1(x\_2-2x\_3)+(x\_2-2x\_3)^2\]+3x\_2^2+3x\_3^2-(x\_2-2x\_3)^2\\\\ f=(x\_1+x\_2-2x\_3)^2+2x\_2-x\_3^2+4x\_2x\_3\\\\ f=(x\_1+x\_2-2x\_1)^2+2(x\_2+x\_3)^2-3x\_3^2\\\\ \\begin\{cases\}y\_1=x\_1+x\_2-2x\_3\\\\ y\_2=x\_2+x\_3\\\\ y\_3=x\_3\\end\{cases\} \\Leftrightarrow \\begin\{cases\}x\_1=y\_1-y\_2+3y\_3\\\\ x\_2=y\_2-y\_3\\\\ x\_3=y\_3\\end\{cases\}\\\\ f=y\_1^2+2y\_2^2-3y\_3^2 f=x12\+3x22\+3x32\+2x1x2−4x1x3f=\[x12\+2x1(x2−2x3)\+(x2−2x3)2\]\+3x22\+3x32−(x2−2x3)2f=(x1\+x2−2x3)2\+2x2−x32\+4x2x3f=(x1\+x2−2x1)2\+2(x2\+x3)2−3x32⎩⎪⎨⎪⎧y1=x1\+x2−2x3y2=x2\+x3y3=x3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x1=y1−y2\+3y3x2=y2−y3x3=y3f=y12\+2y22−3y32

#### 用正交变换变换成二次型 ####

x T A x = y T Λ y = λ 1 y 1 2 + λ 2 y 2 2 + λ 3 y 3 2 方 法 步 骤 1. 把 二 次 型 表 示 成 矩 阵 形 式 想 x T A x 2. 求 出 A 的 特 征 值 及 对 应 的 特 征 向 量 3. 对 重 根 的 特 征 向 量 正 交 化 ， 4. 将 所 有 的 向 量 单 位 化 ， 然 后 合 并 成 正 交 矩 阵 x^TAx=y^T\\Lambda y=\\lambda\_1y\_1^2+\\lambda\_2y\_2^2+\\lambda\_3y^2\_3 \\\\ 方法步骤1.把二次型表示成矩阵形式想x^TAx\\\\ 2.求出A 的特征值及对应的特征向量\\\\ 3.对重根的特征向量正交化，\\\\ 4.将所有的向量单位化，然后合并成正交矩阵 xTAx=yTΛy=λ1y12\+λ2y22\+λ3y32方法步骤1.把二次型表示成矩阵形式想xTAx2.求出A的特征值及对应的特征向量3.对重根的特征向量正交化，4.将所有的向量单位化，然后合并成正交矩阵

## 6.3 正定二次型，正定矩阵 ##

### 概念 ###

>  对 于 任 意 非 零 向 量 x = \[ x 1 , x 2 , ⋯   , x n \] T 恒 有 f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j x i x j = x T A x > 0 正 定 二 次 型 的 矩 阵 称 为 正 定 矩 阵 对于任意非零向量x=\[x\_1,x\_2,\\cdots,x\_n\]^T\\\\ 恒有f(x\_1,x\_2,\\cdots,x\_n)=\\sum\_\{i=1\}^\{n\}\\sum\_\{j=1\}^na\_\{ij\}x\_ix\_j=x^TAx>0\\\\ 正定二次型的矩阵称为正定矩阵 对于任意非零向量x=\[x1,x2,⋯,xn\]T恒有f(x1,x2,⋯,xn)=∑i=1n∑j=1naijxixj=xTAx>0正定二次型的矩阵称为正定矩阵
> 
>  反 对 称 矩 阵 ∣ A T ∣ = − A a i i = 0 , a i j = − a j i 反对称矩阵\\mid A^T\\mid =-A \\\\a\_\{ii\}=0,a\_\{ij\}=-a\_\{ji\} 反对称矩阵∣AT∣=−Aaii=0,aij=−aji

### 性质 ###

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>性质</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td> 正 定 二 次 型 主 对 角 线 a i i &gt; 0 正定二次型主对角线a_{ii}&gt;0 正定二次型主对角线aii&gt;0</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> A 的 行 列 式 ∣ A ∣ &gt; 0 A的行列式\mid A\mid &gt;0 A的行列式∣A∣&gt;0</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> 充 要 条 件 是 A 的 主 子 式 全 部 大 于 0 , 特 征 值 全 部 大 于 0 充要条件是\\ A的主子式全部大于0,\\ 特征值全部大于0 充要条件是A的主子式全部大于0,特征值全部大于0</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> A − m ∗ n , r ( A ) = n A T A 是 正 定 矩 阵 A-m*n,r(A)=n\\ A^TA是正定矩阵 A−m∗n,r(A)=nATA是正定矩阵</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> A 是 正 定 矩 阵 ， A − 1 是 正 定 矩 阵 A是正定矩阵，A^{-1}是正定矩阵 A是正定矩阵，A−1是正定矩阵</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> 反 对 称 矩 阵 ∣ A ∣ = ( − 1 ) n ∣ A ∣ 反对称矩阵\mid A\mid =(-1)^n\mid A\mid 反对称矩阵∣A∣=(−1)n∣A∣</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

## 6.4 例题 ##

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th></th> 
 <th></th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td> f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = a x 1 2 + ( a − 1 ) x 2 2 + ( a + 2 ) x 3 2 的 规 范 性 为 y 1 2 − y 2 2 − y 3 2 a + 2 &gt; a &gt; a − 1 { a + 2 &gt; 0 a &lt; 0 a − 1 &lt; 0 a ∈ ( − 2 , 0 ) f(x_1,x_2,x_3)=ax_1^2+(a-1)x_2^2+(a+2)x_3^2\\ 的规范性为y_1^2-y_2^2-y_3^2\\ a+2&gt;a&gt;a-1\\ \begin{cases}a+2&gt;0\\ a&lt;0\\ a-1&lt;0\end{cases} \\ a\in(-2,0) f(x1,x2,x3)=ax12+(a−1)x22+(a+2)x32的规范性为y12−y22−y32a+2&gt;a&gt;a−1⎩⎪⎨⎪⎧a+2&gt;0a&lt;0a−1&lt;0a∈(−2,0)</td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

## 6.5 解法总结 ##