力域中的雅可比

以你之姓@ 2022-12-08 14:21 160阅读 0赞

# 力域中的雅可比 #

功被定义为作用力通过一定距离，它是以能量为单位的标量。如果令位移趋向于无穷小，就可以用虚功原理来描述静止的情况。功具有能量的单位，所以它在任何广义坐标系下的测量值都相同。特别是在笛卡尔空间做的功等于关节空间做的功。在多维空间，功是一个力或力矩矢量与位移矢量的点积，因此有  
 f ⋅ δ χ = τ ⋅ δ Θ (5-91) f\\cdot \\delta\\chi=\\tau\\cdot\\delta\\Theta \\tag\{5-91\} f⋅δχ=τ⋅δΘ(5\-91)  
式中 f f f是一个作用在末端执行器上的 6 × 1 6\\times 1 6×1维笛卡尔力-力矩矢量， δ χ \\delta\\chi δχ是末端执行器的 6 × 1 6\\times1 6×1维无穷小的笛卡尔位移矢量， τ \\tau τ是 6 × 1 6\\times 1 6×1维关节力矩矢量， δ Θ \\delta\\Theta δΘ是 6 × 1 6\\times 1 6×1维无穷小的关节位移矢量。

式（5-91）向量点乘可以写成下面矩阵乘法的形式  
 f T δ χ = τ T δ Θ (5-92) f^T\\delta\\chi=\\tau^T\\delta\\Theta \\tag\{5-92\} fTδχ=τTδΘ(5\-92)  
雅可比矩阵的定义为  
 δ χ = J δ Θ (5-93) \\delta\\chi=J\\delta\\Theta \\tag\{5-93\} δχ=JδΘ(5\-93)  
因此可以写出  
 f T J δ θ = τ T δ Θ (5-94) f^TJ\\delta\\theta=\\tau^T\\delta\\Theta \\tag\{5-94\} fTJδθ=τTδΘ(5\-94)  
对所有的 δ Θ \\delta\\Theta δΘ，上式均成立，因此有  
 f T J = τ T (5-95) f^TJ=\\tau^T \\tag\{5-95\} fTJ=τT(5\-95)  
对上式两边转置得  
 τ = J T f (5-96) \\tau=J^Tf \\tag\{5-96\} τ=JTf(5\-96)  
可见，雅可比的转置将作用在手臂上的笛卡尔力映射成了等效关节力矩。当得到相对于坐标系\{0\}的雅可比矩阵后，可以有下式对坐标系\{0\}中的力矢量进行变换  
 τ = 0 J T   0 f (5-97) \\tau=^0J^T\\ ^0f\\tag\{5-97\} τ=0JT 0f(5\-97)  
当雅可比不满秩时，存在某些特定方向，末端执行器在这些方向上不能施加期望的静力。在力域中和位置域中奇异性都是存在的。

参考文献

\[1\] JOHN J.CRAIG. 机器人学导论: 第3版\[M\]. 机械工业出版社, 2006.