操作臂的运动学

短命女 2022-12-08 13:00 144阅读 0赞

# 操作臂的运动学 #

### 文章目录 ###

*  操作臂的运动学
 *   *  2.1 连杆的描述
     *  2.2 操作臂的运动学
     *   *  2.2.1 连杆变换
         *  2.2.2例子：PUMA560连杆参数
     *  参考文献

## 2.1 连杆的描述 ##

机器人中每个连杆都可以用四个运行学参数来描述，其中两个描述连杆本身，另外两个用于描述连杆之间的连接关系。为了是问题简化，通常设定 Z ^ 0 \{ \{\\widehat\{Z\}\}\_\{0\}\} Z0沿关节轴1的方向，并且当关节变量1为0时，设定关节参考坐标系\{0\}和坐标系\{1\}重合，按照这个规定总会有 a 0 = 0.0 \{ \{a\}\_\{0\}\}=0.0 a0=0.0， α 0 = 0.0 \{ \{\\alpha \}\_\{0\}\}=0.0 α0=0.0。另外当关节1为转动关节时， d 1 = 0.0 \{ \{d\}\_\{1\}\}=0.0 d1=0.0；当 关节1位移动关节时， θ 1 = 0.0 \{ \{\\theta\}\_\{1\}\}=0.0 θ1=0.0 。

各个参数的定义

a i − 1 \{ \{a\}\_\{i-1\}\} ai−1=沿 X ^ i − 1 \{ \{\\widehat\{X\}\}\_\{i-1\}\} Xi−1轴，从 Z ^ i − 1 \{ \{\\widehat\{Z\}\}\_\{i-1\}\} Zi−1轴移动到 Z ^ i \{ \{\\widehat\{Z\}\}\_\{i\}\} Zi的距离；

α i − 1 \{ \{\\alpha \}\_\{i-1\}\} αi−1=沿 X ^ i − 1 \{ \{\\widehat\{X\}\}\_\{i-1\}\} Xi−1轴，从 Z ^ i − 1 \{ \{\\widehat\{Z\}\}\_\{i-1\}\} Zi−1轴旋转到 Z ^ i \{ \{\\widehat\{Z\}\}\_\{i\}\} Zi的角度；

d i \{ \{d\}\_\{i\}\} di=沿 Z ^ i \{ \{\\widehat\{Z\}\}\_\{i\}\} Zi轴，从 X ^ i − 1 \{ \{\\widehat\{X\}\}\_\{i-1\}\} Xi−1移动到 X ^ i \{ \{\\widehat\{X\}\}\_\{i\}\} Xi轴的距离；

θ i \{ \{\\theta \}\_\{i\}\} θi=沿 Z ^ i \{ \{\\widehat\{Z\}\}\_\{i\}\} Zi轴，从 X ^ i − 1 \{ \{\\widehat\{X\}\}\_\{i-1\}\} Xi−1旋转到 X ^ i \{ \{\\widehat\{X\}\}\_\{i\}\} Xi轴的角度。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0dhbGF4eV9Sb2JvdA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]

例子：3R机械手的连杆参数  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0dhbGF4eV9Sb2JvdA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]

![在这里插入图片描述][20200919143219298.png_pic_center]  
![在这里插入图片描述][20200919143329741.png_pic_center]

## 2.2 操作臂的运动学 ##

### 2.2.1 连杆变换 ###

连杆两个关节轴用四个参数描述，那么每个参数可看成是坐标系的一次简单变换，从而推导出坐标系\{i\}相对于坐标系\{i-1\}的变换。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0dhbGF4eV9Sb2JvdA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]

建立中间坐标系\{R\}，\{Q\}，\{P\}，把在坐标系\{i\}中定义的矢量变换为在坐标系\{i-1\}中的描述，对应的变换可以写成  
 i − 1 P = R i − 1 T Q R T P Q T i P T i P (2-1) ^\{i - 1\}\{\\bf\{P\}\} = \_R^\{i - 1\}\{\\bf\{T\}\}\_Q^R\{\\bf\{T\}\}\_P^Q\{\\bf\{T\}\}\_i^P\{\\bf\{T\}\}\{\}^i\{\\bf\{P\}\} \\tag\{2-1\} i−1P=Ri−1TQRTPQTiPTiP(2\-1)  
变换矩阵为  
 i i − 1 T = R i T Q R T P Q T i P T (2-2) ^\{i - 1\} \_i\{\\bf\{T\}\} = \{\}\_R^i\{\\bf\{T\}\}\{\}\_Q^R\{\\bf\{T\}\}\{\}\_P^Q\{\\bf\{T\}\}\{\}\_i^P\{\\bf\{T\}\} \\tag\{2-2\} ii−1T=RiTQRTPQTiPT(2\-2)  
即  
 i i − 1 T = R X ( α i − 1 ) D X ( a i − 1 ) R Z ( θ i ) D Z ( d i ) (2-3) \{\}^\{i - 1\}\_i\{\\bf\{T\}\} = \{ \{\\bf\{R\}\}\_X\}(\{\\alpha \_\{i - 1\}\})\{ \{\\bf\{D\}\}\_X\}(\{a\_\{i - 1\}\})\{ \{\\bf\{R\}\}\_Z\}(\{\\theta \_i\})\{ \{\\bf\{D\}\}\_Z\}(\{d\_i\}) \\tag\{2-3\} ii−1T=RX(αi−1)DX(ai−1)RZ(θi)DZ(di)(2\-3)  
计算得到 i i − 1 T ^\{i-1\}\_\{i\}\\mathbf\{T\} ii−1T的一般表达式为  
 i i − 1 T = \[ c θ i − s θ i 0 a i − 1 s θ i c α i − 1 c θ i c α i − 1 − s α i − 1 − s α i − 1 d i s θ i s α i − 1 c θ i s α i − 1 c α i − 1 c α i − 1 d i 0 0 0 1 \] (2-4) ^\{i - 1\}\_i\{\\bf\{T\}\} = \\left\[ \{\\begin\{matrix\} \{c\{\\theta \_i\}\}&\{ - s\{\\theta \_i\}\}&0&\{ \{a\_\{i - 1\}\}\}\\\\ \{s\{\\theta \_i\}c\{\\alpha \_\{i - 1\}\}\}&\{c\{\\theta \_i\}c\{\\alpha \_\{i - 1\}\}\}&\{ - s\{\\alpha \_\{i - 1\}\}\}&\{ - s\{\\alpha \_\{i - 1\}\}\{d\_i\}\}\\\\ \{s\{\\theta \_i\}s\{\\alpha \_\{i - 1\}\}\}&\{c\{\\theta \_i\}s\{\\alpha \_\{i - 1\}\}\}&\{c\{\\alpha \_\{i - 1\}\}\}&\{c\{\\alpha \_\{i - 1\}\}\{d\_i\}\}\\\\ 0&0&0&1 \\end\{matrix\}\} \\right\] \\tag\{2-4\} ii−1T=⎣⎢⎢⎡cθisθicαi−1sθisαi−10−sθicθicαi−1cθisαi−100−sαi−1cαi−10ai−1−sαi−1dicαi−1di1⎦⎥⎥⎤(2\-4)

### 2.2.2例子：PUMA560连杆参数 ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0dhbGF4eV9Sb2JvdA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]  
![在这里插入图片描述][20200919143517742.png_pic_center]

连杆参数表如下：

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th align="center"> i i i</th> 
 <th align="center"> a i − 1 a_{i-1} ai−1</th> 
 <th align="center"> α i − 1 {\alpha _{i - 1}} αi−1</th> 
 <th align="center"> d i d_i di</th> 
 <th align="center"> θ i \theta_i θi</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td align="center">1</td> 
 <td align="center">0</td> 
 <td align="center">0</td> 
 <td align="center">0</td> 
 <td align="center"> θ 1 \theta_1 θ1</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td align="center">2</td> 
 <td align="center">0</td> 
 <td align="center">-90</td> 
 <td align="center">0</td> 
 <td align="center"> θ 2 \theta_2 θ2</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td align="center">3</td> 
 <td align="center"> a 2 a_2 a2</td> 
 <td align="center">0</td> 
 <td align="center"> d 3 d_3 d3</td> 
 <td align="center"> θ 3 \theta_3 θ3</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td align="center">4</td> 
 <td align="center"> a 3 a_3 a3</td> 
 <td align="center">-90</td> 
 <td align="center"> d 4 d_4 d4</td> 
 <td align="center"> θ 4 \theta_4 θ4</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td align="center">5</td> 
 <td align="center">0</td> 
 <td align="center">90</td> 
 <td align="center">0</td> 
 <td align="center"> θ 5 \theta_5 θ5</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td align="center">6</td> 
 <td align="center">0</td> 
 <td align="center">-90</td> 
 <td align="center">0</td> 
 <td align="center"> θ 6 \theta_6 θ6</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

## 参考文献 ##

\[1\] JOHN J.CRAIG. 机器人学导论: 第3版\[M\]. 机械工业出版社, 2006.

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[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0dhbGF4eV9Sb2JvdA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]: /images/20221123/59cc03c8a453484db6a5547d8681d3bf.png
[20200919143219298.png_pic_center]: /images/20221123/d5542a1ca684438ebe718e86ab63dfdd.png
[20200919143329741.png_pic_center]: /images/20221123/686c7e2aa9a940258d47a9284bbbe5e3.png
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[20200919143517742.png_pic_center]: /images/20221123/3e32f8902fc94ce494b0005492249bb7.png