算法刻意练习之递归/分治/回溯/贪心算法

秒速五厘米 2022-12-06 15:12 193阅读 0赞

## 1 递归（Recursion） ##

### 1.1 特点 ###

（1）**递归 - 循环，通过函数体来进行的循环**；  
（2）盗梦空间的梦境  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5saWd1YW4_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]

### 1.2 递归状态 ###

（1）示例  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5saWd1YW4_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]

### 1.3 注意要点 ###

（1）**警惕堆栈溢出**：如果递归求解的数据规模很大，调用层次很深，一直压入栈就会有堆栈溢出的风险；在代码中限制最大递归深度超过深度就抛错；  
（2）**警惕重复计算**：通过比如散列表保存已求解的结果，空间复杂度从O(n) 变成O(1)；  
（3）**警惕生产环境脏数据导致死循环**：如果A的推荐人是B，B的推荐人是C，C的推荐人是A，解决方式是判断环；

### 1.4 递归思维要点 ###

（1）**不要人肉进行递归（最大误区）**，初学者可以在纸上画出递归的状态树，慢慢熟练之后一定要抛弃这样的习惯。一定要记住：直接看函数本身开始写即可。否则，永远没办法掌握、熟练使用递归；  
（2）**找到最近最简的方法，将其拆解成可重复解决的问题（找最近重复子问题）**。原因是我们写的程序的指令，只包括 if else 、 for 和 while loop、递归调用；  
（3）**数学归纳法的思维**，最开始最简单的条件是成立的，比如n=1,n=2的时候是成立的，且第二点你能证明当n成立的时候，可以推导出n+1也成立的；

### 1.5 递归代码模板 ###

public void recur(int level, int param) {
      // 1.递归终结条件（最先写）
      if (level > MAX_LEVEL) {
        // process result
        return;
      }
    
      // 2.处理当前层逻辑
      process(level, param);
    
      // 3.下探到下一层
      recur( level: level + 1, newParam);
    
      // 4.清理恢复当前层
      revertStates();
    }

### 1.4 小结 ###

碰到一个题目，就会找到他的重复性：  
**（1）最优重复性：动态规划；  
（2）最近重复性：根据重复性的构造和分解，便有分治和回溯。**

## 2 分治（Divide & Conquer） ##

### 2.1 特点 ###

（1）分治和回溯，本质上就是递归，是递归的一个细分类。可以理解为分治和回溯，就是一种特殊的递归，或者是较为复杂的递归；  
（2）大问题由细的子问题组成；  
（3）**分治的思想：本质是递归，在递归状态树的时候；找最近重复性，将大问题分为子问题分别解决，再组合子问题的结果为最终结果**。具体分析：字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。

### 2.2 递归状态树 ###

（1）示例  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5saWd1YW4_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]

### 2.3 分治法的基本步骤 ###

（1）分治算法能解决的问题，一般需要满足下面这几个条件：  
（2）原问题与分解成的小问题具有相同的模式  
（3）原问题分解成的子问题可以独立求解，子问题之间没有相关性  
（4）具有分解终止条件，也就是说，当问题足够小，可以直接求解  
（5）可以将子问题合并成原问题，而这个合并操作的复杂度不能太高，否则就起不到减小算法总体复杂度的效果了

### 2.4 分治代码模板 ###

public void recur(int level, int param) {
      // 1.递归终结条件（最先写）
      if (level > MAX_LEVEL) {
        // process result
        return;
      }
    
      // 2.处理当前层逻辑
      process(level, param);
    
      // 3.调用函数下探到下一层，解决更细节的子问题
      int subresult1 = recur( level: level + 1, newParam);
      int subresult2 = recur( level: level + 1, newParam);
      int subresult3 = recur( level: level + 1, newParam);
    
      // 4.将子问题的解的合并，产生最终结果
      int result = processResult(subresult1, subresult2, subresult3, …);
    
      // 5.清理恢复当前层
      revertStates();
    }

## 3 回溯（Backtracking） ##

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5saWd1YW4_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]

### 3.1 特点 ###

（1）**回溯法采用试错的思想，它尝试分步的去解决一个问题**。在分步解决问题的过程中，当它**通过尝试发现现有的分步答案不能得到有效的正确的解答的时候，它将取消上一步甚至是上几步的计算；再回到上一层，去试其他的可能答案**。

（2）回溯法通常用**最简单的递归方法**来实现，在反复重复上述的步骤后可能出现**两种情况：①找到一个可能存在的正确的答案；②在尝试了所有可能的分步方法后宣告该问题没有答案**。在最坏的情况下，回溯法会导致一次复杂度为指数时间的计算。

（3）最典型的应用是：八皇后问题、数独。

### 3.2 一般步骤 ###

（1）针对所给问题，确定问题的解空间：首先应明确定义问题的解空间，问题的解空间应至少包含问题的一个（最优）解；  
（2）确定结点的扩展搜索规则；  
（3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

## 5 贪心算法（Greedy） ##

**贪心算法，是一种在每一步选择中都采取在当前状态下最好或最优（即最有利）的选择，从而希望导致结果是最好或最优的算法。**

贪心算法可以认为是动态规划算法的一个特例，相比动态规划，使用贪心算法需要满足更多的条件（贪心选择性质），但是效率比动态规划要高。

比如说一个算法问题使用暴力解法需要指数级时间，如果能使用动态规划消除重叠子问题，就可以降到多项式级别的时间，如果满足贪心选择性质，那么可以进一步降低时间复杂度，达到线性级别的。

### 5.1 特点 ###

（1）特质：**每一步都做出一个局部最优的选择，最终的结果就是全局最优**。注意哦，这是一种特殊性质，其实只有一部分问题拥有这个性质。

比如你面前放着 100 张人民币，你只能拿十张，怎么才能拿最多的面额？显然每次选择剩下钞票中面值最大的一张，最后你的选择一定是最优的。

然而，大部分问题明显不具有贪心选择性质。比如打斗地主，对手出对儿三，按照贪心策略，你应该出尽可能小的牌刚好压制住对方，但现实情况我们甚至可能会出王炸。这种情况就不能用贪心算法，而得使用动态规划解决，参见前文「动态规划解决博弈问题」。

（2）**每一步都需要选择，且不能回退**。  
（3）此方法可能鼠目寸光，未必当前选了最好的选择，全局就是最优，所以**贪心算法需要满足一些前置条件方可使用合适**。  
（4）做题的时候贪心的思路要考虑的巧妙一点，比如**从前往后贪心，或从后往前贪心**。

![在这里插入图片描述][20200919234800201.png_pic_center]

### 5.2 场景 ###

（1）**贪心算法在有最优子结构的问题中尤为有效。最优子结构的意思是局部最优解能决定全局最优解。**  
![在这里插入图片描述][20200919234814351.png_pic_center]

（2）**贪心法可以做为辅助算法，解决对结果不特别精确的问题**  
![在这里插入图片描述][20200919234921935.png_pic_center]

## 5.3 贪心、回溯、和动态规划的对比 ##

**（1）贪心：当下做局部最优判断；  
（2）回溯：能够回退；  
（3）动态规划：最优判断+回退；**

## 5.4 例子 ##

（1）当硬币可选**集合固定：Coins = \[20, 10, 5, 1\]**，求最少可以几个硬币拼出总数。 比如 total = 36。前提条件：比如 Coin Change 这个题目，每个硬币**都是倍数关系**。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5saWd1YW4_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 4]  
（2）反例  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5saWd1YW4_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 5]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5saWd1YW4_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 6]

## 6 时间空间复杂度汇总 ##

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5saWd1YW4_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 7]

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