slam 基础之机器人学中的坐标转换学习总结

布满荆棘的人生 2022-12-06 15:07 319阅读 0赞

常用的坐标系是右手系，ros中也是如下图：

![20200913221255340.png][]

**坐标变换**:

习惯上,我们表示一个物体的三维位置和朝向时,都会在其身上附一个随动的坐标系.所以描述一个物体在坐标系中的位置和朝向,总是可以等效为描述物体自身坐标系和别的坐标系之间的关系.

一般的坐标系转换主要为平移转换和旋转转换

可以看看 [机器人坐标转换][Link 1]

齐次坐标 [齐次坐标的理解][Link 2] 讲的不错。

公众号上的两篇文章：

[干货 | 位置角度平移旋转，“乱七八糟”的坐标变换][Link 3]

另外一篇整理如下：

原文：[机器人的位姿描述与坐标变换][Link 4]

**一、刚体位姿**

**1. 刚体位姿：**将描述刚体的3个位置自由度和3个方位即姿态自由度简称为刚体位姿。

**2. 刚体位姿描述方法****：**

**（1）建立坐标系**

![f86059972923f1ffead30773bea58236.png][]

**（2）位置描述**

刚体的位置可以用一个3x1的矩阵来表示，即刚体坐标系原点Ob在基坐标系o-xyz中的位置。

刚体的位置描述为：![ca0a9f318debd66740afe25bef77833a.png][]

**（3）姿态描述**

用刚体坐标系的三个方向单位矢量**n , o, a,** 的方向余弦矩阵表示。

方向余弦矩阵书写为：

![309aad434c2b5c222d1e192a50d9683a.png][]

此方向余弦矩阵又称之为**旋转矩阵**。

**（4）R正交性**

由于旋转矩阵R的三个列向量**n , o, a,** 都是单位矢量，且双双相互垂直，因此旋转矩阵R的9个元素满足6个约束条件（正交条件）：

**n.n=o.o=a.a=1**

**n.o=o.a=a.n=0**

可见，**旋转矩阵R是正交矩阵（Orthogonal Matrix）**，且R满足如下条件：

![fe6217e8eb83471b63bedb0805d51a8e.png][]

**（5）刚体位姿描述**

用4×4的齐次矩阵来表示刚体位姿，此矩阵称为刚体位姿矩阵。

![781c51bf01073242a8938e9bd27cd08b.png][]

**二、机器人位姿描述**

![effd4e5bb4aa9957fc61d5e1c2fd4c80.png][]

机器人手部的位姿可以用刚体位姿矩阵表示为：

![2c5d8aace7001b13b5aafecebb2de391.png][]

**三、正交坐标变换**

**1. 正交坐标变换的一般形式**

![9c9dfb7ceb68651e1a1d7bc94bbc77e0.png][]

点 ***p ***在基础坐标系和刚体坐标系的位置矢量分别表示为：

![519ce7954397097fa4f48605fb59684b.png][]

![ee8684913c6ccced998669dd76fe154f.png][]与![a89e95ce79c691d283a8415ead72e598.png][]之间的变换关系为：

![da7ae69fa45fc3ba840d59d64ddd9201.png][]

从刚体坐标系到基础坐标系的一般变换关系式可以表示为：

![eb5dd8d0a491974b4a3768d026a515f2.png][]

**例题：**如图所示，b坐标系原点与基础坐标系o-xyz的原点重合，x轴与xb轴之间的夹角为θz，另外，z轴与zb轴重合。

**求：**表示b系相对于基础坐标系o-xyz的位置矢量x0和旋转矩阵R，并求空间一点P=\[u  v  w\]T从b系到基础坐标系o-xyz的一般变换表达式。

![fecf5595d1fed140f9bc717eb46bd408.png][]

**解：**（1）位置矢量x0=0。

（2）求旋转矩阵R

![2361e5e4f7dddda2e6d6b66fecb510e1.png][]

b系相对于基础坐标系o-xyz的旋转矩阵R为：

![3a0e0132c9cd4d526f7cb31d491ffb91.png][]

（3）从b系到基础坐标系o-xyz的一般变换表达式为

![eb5dd8d0a491974b4a3768d026a515f2.png][]

![ffb305d52ada754c3583536c133a9b6f.png][]

**2. 绕坐标轴的旋转矩阵**

（a）绕x轴旋转θ角的旋转矩阵

![5abd052fc1c32358430e10c6bb4cc0ca.png][]

![a1973d1c5a5e9436dbdf3189ad580485.png][]

（b）绕y轴旋转θ角的旋转矩阵

![c07517f3eef567711d7f4df1e6957ff8.png][]

![61876b2c7594133b110cc52f9555ae66.png][]

（c）绕z轴旋转θ角的旋转矩阵

![c2ce812ef99ea89a79b6834bdf7e2d4a.png][]

![fd403e94231854fd1e7f6b86d542a744.png][]

**3. 绕任意轴的旋转矩阵**

![eccc0091697a7ac2b5b139eb5b1960cd.png][]

**4. 绕两个坐标轴旋转的变换矩阵**

**（1）相对动坐标系的变换顺序：**

1）j系先绕着i系的z轴旋转θ角，得到m系；

2）绕新m系的x轴旋转α角，得到变换后的j系。

![c9348a77e0f69e0b09c2bf07ce0b6030.png][]

总的变换矩阵为：**R=R(z,θ).R(x,α)**

**（2）相对定坐标系的变换**

1）先绕参考坐标系i系的x轴旋转α角，得到n系；

2）再将n系绕参考z轴旋转θ角，得到j系。

![8aa0705ebc61d9656175c0c5012be5db.png][]

总的变换矩阵为：**R=R(z,θ).R(x,α)**

**（3）总结：**

坐标变换**相对动系**时，总变换矩阵中旋转矩阵相乘的顺序和变换顺序一致，变换矩阵**右乘**；

**相对固定参考系**时，总变换矩阵中旋转矩阵相乘的顺序和变换顺序相反，变换矩阵**左乘**。

**5. 绕三个坐标轴旋转的变换矩阵**

**（1）基于欧拉角的欧拉变换**

用欧拉角**φ、θ、Ψ**来规定一个转动序列所得到的变换。

欧拉变换顺序可以是：

![428c587743351742d1f32eb30914b63c.png][]

于是可以得到：

![fa048c1ecd429100cd32b62036f6657c.png][]

此时**欧拉变换矩阵**为：

![7af1eb4ac6fadc180a1be3b3d01723bb.png][]

欧拉变换可以是Z-X-Z的顺序，也可以是其他的顺序，查阅wiki百科可以得到其他变换顺序的欧拉变换矩阵。

![2f71c4aa6769b72e45604c533073d3b0.png][]

当欧拉变换矩阵给定后，我们可以反向求解出欧拉角。

以Z-Y-Z变换顺序为例，此时欧拉变换矩阵为：

![d79cf5fa52f2f3f3ad148026cc901d43.png][]

反求欧拉角可以得到：

![879c15b425886e1e9cf9fc163ce1483f.png][]

**（2）RPY变换**

![4d970e80af240e0021c58c335e81c3e9.png][]

**横滚(Roll)：**将船的行驶方向取为z轴，则绕z轴的旋转（**α角**）称横滚（回转）；

**俯仰(Pitch)：**把绕y轴的旋转(**β角**)称为俯仰(Pitch)；

**偏转(Yaw)：**而把铅直方向取为x轴，将绕x轴的旋转(**γ角**)称为偏转或侧摆(Yaw)。

**RPY变换：**将机器人操作臂手爪恣态用RPY角来表示，而手部与此相应的变换称为RPY变换。

**RPY变换的旋转顺序：**绕固定参考系的x轴回转**γ角**，再绕固定参考系的y轴转**β角**，最后绕固定参考系的z轴转**α角**。它们的**总变换**为：

![a6d9df2ae33a51801cd433be0c33ff52.png][]

通过RPY逆变换（即已知RPY变换矩阵），可以求解出RPY的三个旋转角**γ**、**β**和**α。**

![58d28c96bdfef280d1d60d8f83a8863d.png][]

得到   ![4c2eb36180ff7f684ebaaba990bc7564.png][]

**四、齐次坐标变换**

**1. 齐次坐标**

![748f07419071e65e34967a030aa402f7.png][]

![caa6689d3c4303d8d0cfdbec50d6c5ca.png][]

![be8416e7674f9477b8d540f7e99860a4.png][]

**2. 齐次变换（Homogeneous transform）**

由平移和旋转组成的刚体运动的坐标变换一般关系式为：

![eb5dd8d0a491974b4a3768d026a515f2.png][]

用**齐次坐标**表示从坐标![a89e95ce79c691d283a8415ead72e598.png][]到基坐标![ee8684913c6ccced998669dd76fe154f.png][]的变换为：

![2e808f5a21cb4b9baf4db2124a92ae2d.png][]

简写为：

![76624df3e934fcba035b4cd56bb48b76.png][]

其中：![1a572d26a9a1b5c2dbaf9d61e45339a0.png][]

这个变换称之为**齐次变换**。

其中矩阵A称之为**齐次变换矩阵**。

**3. 平移齐次变换**

平移齐次变换矩阵可以表示为：

![5f3bb310499517e47fc96728dddd92a4.png][]

齐次平移变换为：

![03c190231094cecaa8d21ab7b3000c42.png][]

**例题：**已知向量U=3i+4j+6k沿向量P=2i+5j-k平移，**求：**平移变换后生成的新向量V。

![5268931e264f04e6d2ae9a1ffefd8649.png][]

**解：**若用矢量相加，可以得到：

V=U+P=(3+2)i+(4+5)j+(6-1)k=5i+9j+5k

若用齐次平移变换，可以得到：

![b380fc49d11881f81127791c3edb9480.png][]

**4. 旋转齐次变换**

旋转齐次变换矩阵可以表示为：

![18b2c864ab0ec44a07b1a5f228f057dc.png][]

![13ed80757adeb1ed4c6d1e5c52e8416e.png][]

![96e5e8ea621d729c54435e085f8ca649.png][]

**例题：**已知齐次坐标系中一点U=\[7，3，2，1\]T，将此点绕Z轴旋转90度，再绕y旋转90度，**求：**旋转变换后所得的点W。

**解：**本题中是**相对固定参考系的旋转**，所以变换矩阵应该**左乘**。

![4c2127fb5c8d4a9e07330a01dadb93d3.png][]

**5. 平移加旋转的齐次变换**

例题：空间某点的位置矢量为U=\[a，b，c，1\]T，它按如下顺序完成转动和移动：（1）绕z轴转动90°；（2）绕x转动90°；（3）沿着x, y, z 轴进行移动，\[d，e，f\]T。**求：**完成复合运动后的新位置矢量V。

**解：**本题中是**相对固定参考系的旋转**，所以变换矩阵应该**左乘**。

V= Trans(d, e, f)Rot(x, 90°)Rot(z, 90°)U

![41ad5baaeb64fd1e5162d58023649016.png][]

**五、坐标变换的相对性**

![eb6a30a5e9728a7f4e3dc609e88a96ec.png][]

![ccca620908867ad248d61cf79b7b5a86.png][]

这种坐标变换的实现是**具有相对性**的，**可以相对于定坐标系，也可以相对于动坐标系**。**这种相对性具有普遍性。**

**（1）相对于定坐标系的变换实现**

O2先绕基坐标绕的z轴旋转90度，相对基础坐标系平移(1,1,0)，最后得坐标系O2-x2y2z2。

![3faad793a04ee180f75f7c2abbfa049a.png][]

相对于定坐标系

**（2）相对于动坐标系的****变换实现**

O2先相对基坐标平移(1,1,0) ，再绕新坐标系的z轴旋转90度，最后得到坐标系O2-x2y2z2。

![1ca5108653bac9079a9601e41a2d8e23.png][]

相对于动坐标系

**六、坐标变换的逆变换**

从坐标![a89e95ce79c691d283a8415ead72e598.png][]到基坐标![ee8684913c6ccced998669dd76fe154f.png][]的齐次变换为：

![8ae063685aec3f821975518d6541faf3.png][]

则其逆坐标变换为将基坐标系向量![ee8684913c6ccced998669dd76fe154f.png][]变换为刚体坐标系向量![a89e95ce79c691d283a8415ead72e598.png][]：

![31b1d6433fa65ac3795e0f6d9ab193ad.png][]

**这需要求出齐次变换矩阵A的逆矩阵**![94ee76167882cbd3a0edf94ceaba8bf9.png][]：

从刚体坐标系到基础坐标系的一般变换关系式可以重新表述为：

![72e0f48ee279df2ecad378d08d9b7362.png][]

由于旋转矩阵R是正交矩阵，所以

![362b4caa04eb7391771c32673eefb369.png][]

于是可以得到：

![f849fb98cd2bafc988da4e76af21bb0b.png][]

写成齐次变换的矩阵形式

![3b39ca319e19a671292d74b35358ec4f.png][]

**于是得到齐次变换矩阵A的逆矩阵：**

![7e3adfd62ce226418159accb25b49503.png][]

**七、多坐标间的齐次变换及位姿变换方程**

**1. 多坐标系间的齐次变换**

**例题：**如图所示，要求将空间一点P点从c系变换到b系，再将其由b系变换到基础参考系。**求：**其坐标变换。

![80806e1b65164849b401c833a5d836a9.png][]

**解：**

![9f72b6cd6e3d6ce6b312c0c4b0244d67.png][]

![9fc2306b3b4565674a160acf68b261e6.png][]

**多坐标系间变换公式的推广：**

![8a6d305f9c439f329e2a380199b6665e.png][]

![c3213188971ad8aa9dbe0e5ad4b21f5e.png][]

我们称此式为**齐次坐标变换方程式 **。

总的变换矩阵为：

![85015699b37202e47f4263e37cc4e383.png][]

**2. 机器人的位姿变换方程**

![d8d71ebce63fba4ff5c01e5255830094.png][]

建立机器人坐标系统，相应的变换矩阵有：

![3af15cbd690803238a11bb31371d6fea.png][]

**工具坐标系E相对通用坐标系U的位姿，可以通过两种变换方法实现：**

![076fa3684931d0b665195cc060c6f252.png][]

![ffc8095e4c744953efb1c2bfae30d208.png][]

以上两式联立，

![24f5a3c72deaab84e5e9813d89f203af.png][]

于是，机械手H相对于基座B的位姿可以表示为：

![dc32d27f7dfe1b2be71845bc4bd4e64c.png][]

**例题：**一个棱柱体的原始位置如图所示，变换前定系和动系是重合的，棱柱体在动系中的位姿可用6个点的齐次坐标所组成的矩阵来描述为

![e73cba72525081c2ed3d1c8506e5a1fa.png][]

让棱柱体先绕Z轴转90°，再绕Y轴转90°，最后沿X方向平移4。

![ffb91c1b1487f9602071cb8426935b7d.png][]

**求：**变换后的棱柱体的位姿。

**解：**总变换矩阵为

![5acab5f4403461b3a0648e189681afb0.png][]

棱柱体上的六个点经变换后：

![8110c4d63711d0736bb4c47c6bd33bfa.png][]

变换后的棱柱体如下图所示

![663385bd9d899d88b231fe815cc79016.png][]

至此，机器人的位姿描述和坐标变换内容介绍完毕。

[20200913221255340.png]: /images/20221123/e190c632aa4542e6bb1f8e68a6af0f18.png
[Link 1]: https://blog.csdn.net/ethan_guo/article/details/82756750
[Link 2]: https://www.cnblogs.com/csyisong/archive/2008/12/09/1351372.html
[Link 3]: https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzI1MTA3MjA2Nw==&mid=400475395&idx=1&sn=5c8e7a5842cebdd79054d2111708b6ed&mpshare=1&scene=1&srcid=0917aagtoG3tbus72lCfysqn&pass_ticket=WEAIGR9nk2i4olN82v1EbH%2ByYEsUuqXPSLoEIOHaCJLWNb2u1EQ0n1O4RzGojKaZ#rd
[Link 4]: https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzU1MDk0ODg3OQ==&mid=2247488041&idx=1&sn=c4b96f7c1bcc470d3c4bb1b9cc4c4793&chksm=fb998b49ccee025f0c68d1f71f5f76f66841a0fc880c3adb45dfe8fef1abb3a4edd9dd3f1054&mpshare=1&scene=1&srcid=0913WJVxEPF1Q6C5dxxD1zBw&sharer_sharetime=1600003505901&sharer_shareid=a0fbf7410fc4a5c9634a9f08ebbc7585&key=4f0ba211a03b4e1bc69cc3d317972784a971592c31b9f30a564312bd5ea450751c1b3b96970c8523aabce2e56959b337fb651bef1095750ddfe004f129e012f9e45865188d625e4f72968a576cac252bcba098f9da10df3d04edd6bca467526caad06b82a0958a194e9323573f3fe3dc4f9d3167e346f2ad2c585bdc6ee35c8b&ascene=1&uin=MjEzMTk1NzI2Mg%3D%3D&devicetype=Windows+10+x64&version=62090529&lang=zh_CN&exportkey=AcNYOVpBTGiXGznEQXh%2FQg8%3D&pass_ticket=lOMMGJeocyA0p6gbzNU9igJLOEAv9BnI8gIpFXoAdlfqc1Ylb651%2BF0RUKglodkA&wx_header=0
[f86059972923f1ffead30773bea58236.png]: /images/20221123/5b41e875512d44f3bc7190ce95f9642b.png
[ca0a9f318debd66740afe25bef77833a.png]: /images/20221123/e8f710a141ee432c954425f742078f09.png
[309aad434c2b5c222d1e192a50d9683a.png]: /images/20221123/7fe043c66a7a46adb262c4710b9e57e2.png
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[781c51bf01073242a8938e9bd27cd08b.png]: /images/20221123/c6ab3a36cb654300af89aaf584d9356d.png
[effd4e5bb4aa9957fc61d5e1c2fd4c80.png]: /images/20221123/363aaa95b4a3479d8f76f14d89a33d80.png
[2c5d8aace7001b13b5aafecebb2de391.png]: /images/20221123/c17a3ad30a474db8845aca7daa508b84.png
[9c9dfb7ceb68651e1a1d7bc94bbc77e0.png]: /images/20221123/4b7db6e6575141f190d0a320395fbc7c.png
[519ce7954397097fa4f48605fb59684b.png]: /images/20221123/d3fa480701b544a7a67a21092311aa60.png
[ee8684913c6ccced998669dd76fe154f.png]: /images/20221123/52c8cb1ddb304721a7dbfb5faef77784.png
[a89e95ce79c691d283a8415ead72e598.png]: /images/20221123/43d8170c4fa449e494f8d69dc6d60930.png
[da7ae69fa45fc3ba840d59d64ddd9201.png]: /images/20221123/807f4d27470c4aa6bcd83a364b1c019a.png
[eb5dd8d0a491974b4a3768d026a515f2.png]: /images/20221123/7ae3e16b44ab4752a1e879f4a1150419.png
[fecf5595d1fed140f9bc717eb46bd408.png]: /images/20221123/b55e2ee7a17e4c42bc73ef2072792c23.png
[2361e5e4f7dddda2e6d6b66fecb510e1.png]: /images/20221123/634762091aa44a98aa0cf671da36e1ff.png
[3a0e0132c9cd4d526f7cb31d491ffb91.png]: /images/20221123/f549bf913a534d0f82ded73d96812a86.png
[ffb305d52ada754c3583536c133a9b6f.png]: /images/20221123/211885eed1ec48aa80c3ec7b592e5e66.png
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