随机抽样一致性算法（RANSAC）详解

蔚落 2022-12-03 13:18 289阅读 0赞

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它可以从一组包含“局外点”的观测数据集中，**通过迭代方式估计数学模型的参数**。它是一种不确定的算法——它有一定的概率得出一个合理的结果；为了提高概率必须提高迭代次数。该算法最早由Fischler和Bolles于1981年提出。

### 1. Example ###

一个简单的例子是从一组观测数据中找出合适的2维直线。假设观测数据中包含局内点和局外点，其中局内点近似的被直线所通过，而局外点远离于直线。简单的最小二乘法不能找到适应于局内点的直线，原因是**最小二乘法尽量去适应包括局外点在内的所有点**。相反，RANSAC能得出一个仅仅用局内点计算出模型，并且概率还足够高。但是，RANSAC并不能保证结果一定正确，为了保证算法有足够高的合理概率，我们必须小心的选择算法的参数。  
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### 2. RANSAC基本假设 ###

（1）数据由“inlier”组成，例如：数据的分布可以用一些模型参数来解释；  
（2）“outlier”是不能适应该模型的数据；  
（3）除此之外的数据属于噪声。  
outlier产生的原因有：噪声的极值；错误的测量方法；对数据的错误假设。  
RANSAC也做了以下假设：给定一组（通常很小的）inlier，存在一个可以估计模型参数的过程；而该模型能够解释或者适用于inlier。

### 3. 概述 ###

RANSAC算法的输入是一组观测数据，一个可以解释或者适应于观测数据的参数化模型，一些可信的参数。RANSAC通过反复选择数据中的一组随机子集来达成目标。被选取的子集被假设为局内点，并用下述方法进行验证：

*  采样出假设的局内点，计算出一个模型，即模型所有的未知参数都能从假设的局内点计算得出。
 *  用1中得到的模型去测试所有的其它数据，如果某个点适用于估计的模型，认为它也是局内点。
 *  如果有足够多的点被归类为假设的局内点，那么估计的模型就足够合理。
 *  然后，用所有假设的局内点去重新估计模型，因为它仅仅被初始的假设局内点估计过。（进行迭代）
 *  最后，通过估计局内点与模型的错误率来评估模型。

这个过程被重复执行固定的次数，每次产生的模型要么因为局内点太少而被舍弃，要么因为比现有的模型更好而被选用。

### 4. 算法 ###

输入：

data // 一组观测数据
    model // 适应于数据的模型
    n // 适应于模型的最少数据个数，如果是直线的话，n=2
    k // 算法的迭代次数
    t // 用于决定数据是否应用于模型的阈值
    d // 判定模型是否适用于数据集的数据个数，人为设定

输出：

best_model // 跟数据最匹配的模型参数（如果没有好的模型，返回null）
    best_consensus_set // 估计出模型的数据点
    best_error // 跟数据相关的估计出的模型错误
    伪

代码如下：

iterations = 0
    best_model = null
    best_consensus_set = null
    best_error = 无穷大
    while(iterations < k)
      maybe_inliers = 从数据集中随机选择n个点
      maybe_model = 适合于maybe_inliers的模型参数
      consensus_set = maybe_inliers
    
      for(每个数据集中不属于maybe_inliers的点)
        if(如果点适合于maybe_model，且错误小于t)
          将点添加到consensus_set
      if(consensus_set中的元素数目大于d)
        已经找到好的模型，现在测试该模型到底有多好
        better_model = 适合于consensus_set中所有点的模型参数
        this_error = better_model究竟如何适合这些点的度量
        if(this_error < best_error)
          我们发现了比以前更好的模型，保存该模型直到更好的模型出现
          best_model = better_model
          best_error = this_error
          best_consensus_set = consensus_set
        if(this_error < t)
          break
      iteration++
    return best_model, best_consensus_set, best_error

RANSAC算法的可能变化包括以下几种：  
（1）如果发现了一种足够好的模型（该模型有足够小的错误率），则跳出主循环。这样可能会节约计算额外参数的时间。  
（2）直接从maybe\_model计算this\_error，而不从consensus\_set重新估计模型。这样可能会节约比较两种模型错误的时间，但可能会对噪声更敏感。

### 5. 参数的确定 ###

用于决定数据是否适应于**模型的阀值 t** 和判定模型**是否适用于数据集的数据个数 d** 是需要根据特定的问题和数据集通过实验来确定的。**然而参数k（迭代次数）可以从理论结果推断。**  
以下参数符号与文章第4部分有出入。  
p —— desired probablity that we get a good sample(得到的模型中没有外点的概率)  
e —— probablity that a point is an outlier  
s —— number of points in a sample (要估计的数学模型需要的参数个数，如果是直线，那么s=2)

**choose k such that with p=0.99 at least on random sample is not an outlier.**  
以上就是通过设定要得到的模型中没有外点的概率p，计算得到的所需迭代次数k。  
 (1-e) 为这个点不是外点的概率  
 (1-e)^s 为模型所需的s个点都不是外点的概率  
 1-(1-e)^s 为模型所需的s个点至少有一个点是外点的概率  
因为P(A,B) = P(A)P(B),  
 (1-(1-e)s)k 表示算法永远都不会选择到s个点都不是inlier的概率，也就是迭代过程中永远有外点，=1-p

### 6. 优点和缺点 ###

RANSAC的优点是它能**鲁棒的估计模型参数**。例如，它能从包含大量局外点的数据集中估计出高精度的参数。RANSAC的缺点是它计算参数的**迭代次数没有上限**；如果设置迭代次数的上限，得到的结果可能不是最优的结果，甚至可能得到错误的结果。RANSAC只有一定的概率得到可信的模型，概率与迭代次数成正比。RANSAC的另一个缺点是它**要求设置跟问题相关的阀值。**  
RANSAC**只能从特定的数据集中估计出一个模型**，如果存在两个（或多个）模型，RANSAC不能找到别的模型。

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