【转载】向量叉乘求三维空间中两直线(或线段)的交点

叁歲伎倆 2022-12-02 13:56 165阅读 0赞

作者：[xdedzl][]

[原文地址][Link 1]

> 以下是原文，我把格式整理一下，方便大家理解阅读

### 1. 2D空间的直线相交 ###

在二维空间中，利用两个直线方程 ![y = kx + b][y _ kx _ b] 我们可以直接计算出交点，但是这种方法麻烦了些，并且套用到三维空间用公式就更麻烦了，接下来介绍的是**如何利用向量叉乘求出直线交点**。并且由于利用叉乘最后可以的到一个比例值，这个值的大小还可以判断四个点所得到的两个线段是延长线相交还是线段相交。

### 2. 向量叉乘 ###

三维空间中，两个向量叉乘得到的是一个垂直于两向量组成的平面的向量，方向可利用右手螺旋法则获取，这一点百度谷歌一搜一大把，不细说了大小可由下面的公式得到，注意和点乘的区别。

![20190111201239712.JPG][]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hkZWR6bA_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

向量叉乘的几何意义是得到一个三角形的有向面积，如下图所示，向量 ![\\vec\{OA\}][vec_OA] 和 ![\\vec\{OB\}][vec_OB] 叉乘的到的向量大小的二分之一就等于三角形![\\triangle OAB][triangle OAB] 的面积

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hkZWR6bA_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

有了以上基础，我们就可以开始计算三维空间中的直线交点了

### 3. 三维空间中的两直线交点 ###

下图 CE 和 AB 是平行线且长度相等。

首先确定两条直线是否平行，利用向量点乘结果是否等于 0 来判断，等于 0 垂直，等于 1 则平行。

接着我们需要确定两条直线在一个平面内，否则无论如何也无法相交，这个用向量叉乘来判断，即判断 ![\\vec\{CA\}][vec_CA] 和 ![\\vec\{AB\}][vec_AB] 叉乘得到的向量是否垂直于 ![\\vec\{CD\}][vec_CD]。

然后明确一个目标，在四个点 ABCD 已知的情况下，求交点 O 我们只需要知道 ![\\frac\{\\left | AO \\right |\}\{\\left | AB \\right |\}][frac_left _ AO _right _left _ AB _right] 就可以了。通过观察发现，![\\triangle ACD][triangle ACD] 的面积比 ![\\triangle CDE][triangle CDE] 的面积等于线段 AO 和 AB 的比值，我们来证明一下，步骤很简单。

**证明 ：![\\frac\{\\textbf\{S\}\\triangle ACD\}\{\\textbf\{S\}\\triangle CDE\}=\\frac\{\\left | AO \\right |\}\{\\left | AB \\right |\}][frac_textbf_S_triangle ACD_textbf_S_triangle CDE_frac_left _ AO _right _left _ AB _right]**

![\\triangle AFO][triangle AFO] 和 ![\\triangle EGC][triangle EGC] 相似  
![\\frac \{AF\} \{EG\} = \\frac\{AO\}\{CE\}][frac _AF_ _EG_ _ _frac_AO_CE]；  
CE = AB 所以等式成立。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hkZWR6bA_size_16_color_FFFFFF_t_70 2][]

问题转化成要计算两个三角形的面积，那么我们只需要 ![\\vec\{AB\}][vec_AB]，![\\vec\{CD\}][vec_CD] 和 ![\\vec\{CA\}][vec_CA] 就可以了，开始写代码

### 4.代码实现 ###

利用叉乘求交点少了很多 if / else 的判断，并且可以做到二维和三维的通用，传递参数的时候只要将所有点和向量 y 轴的值设为 0 就可以当作二维来使用了。

利用代码中得到的比例值 num2 的大小还可以判断是延长线相交还是线段相交

注意下述方法所传入的参数是两个点和两个方向，可以改写成传入四个点。

/// <summary>
            /// 判断线与线之间的相交
            /// </summary>
            /// <param name="intersection">交点</param>
            /// <param name="p1">直线1上一点</param>
            /// <param name="v1">直线1方向</param>
            /// <param name="p2">直线2上一点</param>
            /// <param name="v2">直线2方向</param>
            /// <returns>是否相交</returns>
            public static bool LineLineIntersection(out Vector3 intersection, Vector3 p1, Vector3 v1, Vector3 p2, Vector3 v2)
            {
                intersection = Vector3.zero;
                if (Vector3.Dot(v1, v2) == 1)
                {
                    // 两线平行
                    return false;
                }
     
                Vector3 startPointSeg = p2 - p1;
                Vector3 vecS1 = Vector3.Cross(v1, v2);            // 有向面积1
                Vector3 vecS2 = Vector3.Cross(startPointSeg, v2); // 有向面积2
                float num = Vector3.Dot(startPointSeg, vecS1);
     
                // 打开可以在场景中观察向量
                //Debug.DrawLine(p1, p1 + v1, Color.white, 20000);
                //Debug.DrawLine(p2, p2 + v2, Color.black, 20000);
     
                //Debug.DrawLine(p1, p1 + startPointSeg, Color.red, 20000);
                //Debug.DrawLine(p1, p1 + vecS1, Color.blue, 20000);
                //Debug.DrawLine(p1, p1 + vecS2, Color.yellow, 20000);
     
                // 判断两这直线是否共面
                if (num >= 1E-05f || num <= -1E-05f)
                {
                    return false;
                }
     
                // 有向面积比值，利用点乘是因为结果可能是正数或者负数
                float num2 = Vector3.Dot(vecS2, vecS1) / vecS1.sqrMagnitude;
     
                intersection = p1 + v1 * num2;
                return true;
            }

> 根据原作者的实现， 0<= num2<=1时，交点在线段上； 否则，在延长线上

[xdedzl]: https://blog.csdn.net/xdedzl
[Link 1]: https://blog.csdn.net/xdedzl/article/details/86009147
[y _ kx _ b]: https://private.codecogs.com/gif.latex?y%20%3D%20kx%20&plus;%20b
[20190111201239712.JPG]: /images/20221123/f61762481b3c48a18b33e1bfe4fcc5c5.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hkZWR6bA_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20221123/b27098c19f7145ee9dbcd0a7f3c12fc3.png
[vec_OA]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BOA%7D
[vec_OB]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BOB%7D
[triangle OAB]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Ctriangle%20OAB
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hkZWR6bA_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: /images/20221123/ec0b6dc73c0d4e5e97e0541e9405dc43.png
[vec_CA]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BCA%7D
[vec_AB]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BAB%7D
[vec_CD]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BCD%7D
[frac_left _ AO _right _left _ AB _right]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cleft%20%7C%20AO%20%5Cright%20%7C%7D%7B%5Cleft%20%7C%20AB%20%5Cright%20%7C%7D
[triangle ACD]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Ctriangle%20ACD
[triangle CDE]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Ctriangle%20CDE
[frac_textbf_S_triangle ACD_textbf_S_triangle CDE_frac_left _ AO _right _left _ AB _right]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Ctextbf%7BS%7D%5Ctriangle%20ACD%7D%7B%5Ctextbf%7BS%7D%5Ctriangle%20CDE%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cleft%20%7C%20AO%20%5Cright%20%7C%7D%7B%5Cleft%20%7C%20AB%20%5Cright%20%7C%7D
[triangle AFO]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Ctriangle%20AFO
[triangle EGC]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Ctriangle%20EGC
[frac _AF_ _EG_ _ _frac_AO_CE]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%20%7BAF%7D%20%7BEG%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BAO%7D%7BCE%7D
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3hkZWR6bA_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]: /images/20221123/1c7e1e93eecb44c0ad00aaf487b9dfa9.png